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吉林省长白山2013学年高中数学 第一章同步检测1-2-3 新人教A版必修5


1-2-3 同步检测基础巩固强化
一、选择题 → → 1.已知△ABC 中,AB=4,AC=5,A 为锐角,△ABC 的面积为 6,则AB·BC的值为( ) A.16 B.-6 C.9 D.0 2. (2011·德州高二检测)一艘客船上午 9?30 在 A 处, 测得灯塔 S 在它的北偏东 30°, 之后它以每小时 32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行,上午

10?00 到达 B 处,此时测 得船与灯塔 S 相距 8 2n mile,则灯塔 S 在 B 处的( ) A.北偏东 75° B.南偏东 15° C.北偏东 75°或南偏东 15° D.以上方位都不对 3 3.三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 ,面积为 14,那么这个三角形的此两边长分 5 别是( ) A.3 和 5 B.4 和 6 C.6 和 8 D.5 和 7 4.△ABC 周长为 20,面积为 10 3,A=60°,则 BC 边长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.(2011·绵阳检测)甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速 度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲、 乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) 150 15 A. 分钟 B. 小时 7 7 C.21.5 分钟 D.2.15 分钟 6.飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 的俯角为 30°,向前飞行 10 000 米到达 B 处, 此时测得正前下方目标 C 的俯角为 75°, 这时飞机与地面目标的水平距离 为( ) A.2 500( 3-1)米 B.5 000 2米 C.4 000 米 D.4 000 2米 二、填空题 7.如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°. 则 BD 的长为________.

8.如图,在△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,∠ABC 的平分线交过 A 的与 BC 平行的直线 于 D,则△ABD 的面积为________. 9.直线 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 速度由 A 向 B 行
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驶,同时摩托车以 50km 的时速由 B 向 C 行驶,则运动开始约__________小时后,两车的距 离最小.(精确到 0.01) 三、解答题 10.在△ABC 中,C=60°,BC=a,AC=b,a+b=16. (1)试写出△ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式. (2)当 a 等于多少时,S 有最大值?并求出最大值. (3)当 a 等于多少时,周长 l 有最小值?并求出最小值. 能力拓展提升 一、选择题 11.(2010~2011·河南汤阴县高二期中)一艘海轮从 A 处出发,以每小时 60 海里的速 度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察 灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的 距离是( ) A.10 2n mile B.10 3n mile C.15 2n mile D.20 3n mile 12.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若△ABC 的面积为 3 ,c=2, 2

A=60°,则 a 的值为(

)

A.1 B. 3 C.3 D. 5 13. 一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( ) 17 6 A. n mile/h B.34 6n mile/h 2 17 2 n mile/h D.34 2n mile/h 2 14. 在四边形 ABCD 中, B=∠D=90°, A=60°, =4, =5, AC 的长为( ∠ ∠ AB AD 则 ) 5 2 A. 61 B.2 7 C. 53 D. 2 二、填空题 15. 甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60°的 B 处, 乙船正以 a n mile/h 的速度向北行驶. 已 知甲船的速度是 3a n mile/h,问甲船应沿着________方向前进,才能最快与乙船相遇? 三、解答题 16.在△ABC 中,∠A=60°,b=1,S△ABC= 3.求 a+b+c (1) 的值. sinA+sinB+sinC (2)△ABC 的内切圆的半径长. 17. (2012·山东文, 17)在△ABC 中, 内角 A, , 所对的边分别为 a, , , B C b c 已知 sinB(tanA +tanC)=tanAtanC. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. *18.在某海滨城市附近海面有一台风形成, 据监测, 当前台风中心位于城市 O 的东偏南 2 θ (cosθ = )方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西北方向移动,台风侵袭的 10 范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始 受到台风的侵袭?受到台风侵袭的时间有多少小时? C.

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备选题库 1.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°角的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 3h,该船实际航程为( ) A.2 15km B.6km C.2 21km D.8km → → A 2 5 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos = ,AB·AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 c=1,求 a 的值. π 3.在△ABC 中,c=2 2,a>b,C= ,且有 tanA·tanB=6,求 a、b 及三角形的面积. 4
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[分析] 已知 C, 可得 A+B, 进而可由 tan(A+B)和 tanA·tanB 求得 tanA+tanB.从而 得 tanA 和 tanB,只要求出 sinA,sinB,则 a,b 可求. 详解答案 1[答案] D 1 1 3 [解析] 由 S△ABC= AB·AC·sinA= ×4×5·sinA=10sinA=6 得,sinA= , 2 2 5 4 ∵A 为锐角,∴cosA= , 5 2 2 2 ∴BC =AB +AC -2AB·AC·cosA 4 =16+25-40× =9,∴BC=3, , 5 2 2 2 ∵AB +BC =AC ,∴∠B 为直角, → → ∴AB·BC=0,故选 D. 2[答案] C 1 [解析] 画出示意图如图,客船半小时行驶路程为 32× =16n mile,∴AB=16, 2

又 BS=8 2,∠BAS=30°, 8 2 16 由正弦定理得 = , sin30° sin∠ASB 2 ,∴∠ASB=45°或 135°, 2 当∠ASB=45°时,∠B′BS=75°, 当∠ASB=135°时,∠AB′S=15°,故选 C. 3[答案] D 3 4 [解析] 设夹角为 A,∵cosA= ,∴sinA= , 5 5 1 S= bcsinA=14,∴bc=35, 2 又 b-c=2,∴b=7,a=5. 4[答案] C 1 [解析] 由题设 a+b+c=20, bcsin60°=10 3, 2 ∴sin∠ASB=
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∴bc=40. a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc 2 =(20-a) -120. ∴a=7. 5[答案] A [解析] 如图,设航行 t 小时后,甲船到达 C 点,乙船到达 D 点,问题即求 CD 最小时 t 的值.

由题设:∠DBC=120°,BD=6t.BC=10-4t, 2 2 2 由余弦定理 CD =BC +BD -2BC·BDcos120° 2 2 2 =(10-4t) +36t +6t(10-4t)=4(7t -5t+25)
? ?10-4t≥0 ∵? ?t>0 ?

5 ,∴0<t≤ 2

5 故当 t= 时,CD 取最小值.容易判断,当甲船越过 B 14

5 150 岛时,甲、乙两船距离远大于 CD,又 ×60= (分钟).∴选 A. 14 7 6[答案] A [解析] 示意图如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,

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∴∠ACB=45°,AB=10 000. 10 000 BC BD 由正弦定理 = ,又 cos75°= , sin45° sin30° BC 10 000·sin30° ∴BD= ·cos75°=2 500( 3-1)(米). sin45° 9 2 2 [分析] 由于 AB=5,∠ADB=45°,因此要求 BD,可在△ABD 中,由正弦定理求解, 关键是确定∠BAD 的正弦值,在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠ACB=30°,因此可用正弦定理 求出 sin∠ABC,再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定∠BAD 即可. [解析] 在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°. 7[答案] 由正弦定理得, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin∠BCA 9sin30° 9 ∴sin∠ABC= = = . AB 5 10 ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC,于是 9 sin∠BAD=sin∠ABC= . 10 9 9 2 在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD= ,∠ADB=45°,解得 BD= . 10 2

AB

AC

8[答案] 3 2 [解析] 在△ABC 中,由余弦定理得, AC2+BC2-AB2 9+4-9 1 cosC= = = , 2AC·BC 12 3 2 2 ∴sinC= . 3 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, 2 2 ∴sin∠ABC=sinC= . 3 ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 2 2 ∴sin∠BAD=sin∠ABC= . 3 ∵BD 为∠ABC 的平分线,AD∥BC, ∴∠ABD=∠ADB.∴AD=AB=3. 1 ∴S△ABD= AB·ADsin∠BAD 2

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1 2 2 = ×3×3× =3 2. 2 3 9[答案] 1.63 [解析] 设 t 小时后,汽车由 A 运动到 D,摩托车由 B 运动到 E,则 AD=80t,BE=50t, ∵AB=200,∴BD=200-80t.问题就是求 DE 最小时 t 的值.由余弦定理得:

DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2 -42 000t+40 000
70 当 t= ≈1.63 时,DE 最小.因此应填 1.63. 43 10[解析] (1)a+b=16,∴b=16-a. 1 1 ∴S△ABC= absinC= a(16-a)sin60° 2 2 = 3 2 (16a-a ) 4 3 2 (a-8) +16 3(0<a<16). 4

=-

(2)当 a=8 时 S 有最大值 16 3. 2 2 (3)l=a+b+ a +b -2abcos60° 2 2 =16+ a +? 16-a? -a? 16-a? 2 =16+ 3? a-8? +64. ∴当 a=8 时,周长 l 有最小值 24. 11[答案] C [解析]

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如图,由条件知,∠BAC=50°-20°=30°,∠ABC=65°+(90°- 50°)=105°, ∴∠ACB=180°-30°-105°=45°,AB=30, 由正弦定理得, = , sinC sin∠BAC 1 30× 2 AB·sin∠BAC ∴BC= = =15 2,故选 C. sinC 2 2 12[答案] B 3 1 3 [解析] = bcsinA= b, b=1, ∴ 由余弦定理, =b +c -2bccosA=3, a= 3. a2 2 2 ∴ 2 2 2 13[答案] A [解析] 如图所示,在△PMN 中, = , sin45° sin120°

AB

BC

PM

MN

3 68× 2 ∴MN= =34 6, 2 2

MN 17 6 ∴v= = (n mile/h). 4 2 14[答案] B [解析] 如图,连结 AC,设∠BAC=α ,则 AC·cosα =4,

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AC·cos(60°-α )=5,
cos? 两式相除得, 60°-α ? 5 = , cosα 4 3 2 ,∵α 为锐角,∴cosα = , 2 7

展开解得,tanα = ∴AC=

4 =2 7. cosα 15[答案] 北偏东 30° [解析]

如图,设经过 t h 两船在 C 点相遇, 则在△ABC 中, BC=at,AC= 3at,B=180°-60°=120°, 由 = , sin∠CAB sinB BCsinB at·sin120° 1 得 sin∠CAB= = = . AC 2 3at ∵0°<∠CAB<90°, ∴∠CAB=30°, ∴∠DAC=60°-30°=30°. 即甲船应沿北偏东 30°的方向前进,才能最快与乙船相遇. 1 1 3 16[解析] (1)∵S△ABC= bcsinA= c· = 3, 2 2 2 ∴c=4. 1 2 2 2 由余弦定理,a =b +c -2bccosA=1+16-8× 2
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BC

AC

=13,∴a= 13. 由正弦定理得 = = ,故有 sinA sinB sinC

a

b

c

a+b+c a 13 2 = = = 39. sinA+sinB+sinC sinA 3 3
2 (2)设△ABC 的内切圆圆心为 M,连结 MA、MB、MC,那么 S△ABC=S△MAB+S△MAC+S△MBC. 又点 M 到三边的距离均等于内切圆半径 r. 1 ∴S△ABC= (a+b+c)·r 2 1 5 3 39 = (5+ 13)·r= 3.∴r= - . 2 6 6 17[解析] (1)证明:在△ABC 中,由于 sinB(tanA+tanC)=tanAtanC, sinA sinC sinA sinC 所以 sinB( + )= · , cosA cosC cosA cosC 因此 sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC, 所以 sinBsin(A+C)=sinAsinC, 又 A+B+C=π , 所以 sin(A+C)=sinB, 2 因此 sin B=sinAsinC. 2 由正弦定理得 b =ac, 即 a,b,c 成等比数列. (2)解:因为 a=1,c=2,所以 b= 2, a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理得 cosB= = = , 2ac 2×1×2 4 因为 0<B<π ,所以 sinB= 1-cos B=
2

7 , 4

1 1 7 7 故△ABC 的面积 S= acsinB= ×1×2× = . 2 2 4 4 [点评] 本题综合考查了正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、等比数列定义、三 角形面积公式、同角三角函数基本关系式等. 18[解析] 设经过 th 台风中心移动到 Q 点时,台风边沿恰经过 O 城.∴OQ=60+10t. 由题意可得 OP=300, PQ=20t, 2 因为 cosθ = ,α =θ -45°, 10 7 2 所以 sinθ = , 10 cosα =cosθ cos45°+sinθ sin45° 2 2 7 2 2 4 = × + × = . 10 2 10 2 5 2 2 2 2 2 2 由余弦定理可得 OQ = OP + PQ -2·OP·PQ·cosα ,即(60+10t) =300 +(20t) - 4 2·300·20t· , 5 2 即 t -36t+288=0. 解得 t1=12,t2=24.t2-t1=12. 答:12h 后该城市开始受到台风的侵袭,受到台风侵袭的时间有 12h. 1[答案] B
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[解析] v 实= 2 +4 -2×4×2×cos60°=2 3. 所以实际航程为 2 3× 3=6(km).

2

2

A 2 5 (1)因为 cos = , 2 5 3 4 2A 所以 cosA=2cos -1= ,sinA= . 2 5 5 → →
2[解析] 又由AB·AC=3 得,bccosA=3,所以 bc=5. 1 因此 S△ABC= bcsinA=2. 2 (2)由(1)知,bc=5,又 c=1,所以 b=5, 2 2 2 由余弦定理得,a =b +c -2bccosA=20, 所以 a=2 5. 3[解析] ∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)=-tanC·(1-tanAtanB)=5, ∵a>b,∴A>B,又 tanA·tanB=6>0.
? ?tanA+tanB=5 ∴tanA>tanB,由? ? ?tanA·tanB=6

可得:tanA=3,tanB=2,∴sinA=

3 10 ,sinB 10

2 5 = . 5 3 10 2 2· 10 csinA 6 10 由正弦定理,得 a= = = , sinC 5 2 2 2 5 2 2· 5 csinB 8 5 b= = = . sinC 5 2 2 1 ∴S△ABC= absinC 2 1 6 10 8 5 π 24 = · · ·sin = . 2 5 5 4 5

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