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函数奥赛竞赛练习附答案


函数奥赛竞赛练习 一、选择题 1. (2000 年北京市中学生数学竞赛)已知函数 y=f(x)有反函数,现将 y=f(2x-1)的图象 向左平移 2 个单位,所得图形表示的函数的反函数是( ) A. y ? ? 3 ? f ?1 ( x) 2 ? 3 ? f ?1 ( x) B. y ? 2 C. y ? 3 ? f ?1 ( x) 2 3 ? f ?1 ( x) 2 D. y ? 二、填空题 2. (2001 年全国高中数学联赛)函数 y ? x ? 3. (2001 年全国高中数学联赛)不等式 | x 2 ? 3 x ? 2 的值域为_____。 1 3 ? 2 |? 的解集为___________。 log 1 x 2 2 4. (2001 年北京市中学生数学竞赛)函数 f(x)对于任意非负实数 x、y 都满足 f ( x ? y 2 ) ? f ( x) ? 2[ f ( y)] 2 ,且 f(x)≥0,f(1)≠0,则 f (2 ? 3 ) =______。 三、解答题 5. (2000 年北京市中学生数学竞赛)f(x)是定义在 R 上的函数,对任意的 x∈R,都有 f(x+3) ≤f(x)+3 和 f(x+2) ≥f(x)+2,设 g(x)=f(x)-x, (1)求证 g(x)是周期函数; (2)如果 f(998)=1002,求 f(2000)的值。 6. (2000 年全国高中数学联赛)若函数 f ( x) ? ? 2a,最大值为 2b,求区间[a,b]。 1 2 13 x ? 在区间[a,b]上的最小值为 2 2 7. (第一届“希望杯”全国邀请赛试题)求函数 f ( x) ? x 4 ? 4 x 3 ? 17 x 2 ? 26 x ? 106 在区间[-1,1]上的值域。 x 2 ? 2x ? 7 8. (第九届“希望杯”全国邀请赛试题)若实数 x 满足不等式 x 4 ? 2 x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? 12 ? 0 。试求函数 f ( x) ?| x ? 4 | 的最大值。 x 9. (2000 年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)作函数 y ?| 2 ? 2 | ?2 的图象。 x x 10. (2000 年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)函数 f ( x) ? lg( x ? 数还是奇函数? x 2 ? 1) 是偶函 11. (第五届北京高中数学知识应用竞赛)中国青年报 2001 年 3 月 19 日报道:中国移 动通信将于 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资 费“套餐” ,这个: “套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。 具体方案如下: 方案代号 基本月租(元) 免费时间(分钟) 超过免费时间的话费(元/分钟) 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1000 0.40 6 568 1700 0.35 7 788 2588 0.30 原计费方案的基本月租为 50 元,每通话一分钟付 0.4 元,请问: (1) “套餐”中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内每次 通话用时之和,每次通话用时以分为单位取整计算,如某次通话时间为 3 分 20 秒,按 4 分 钟计通话用时)的函数关系式; (2)取第 4 种收费方式,通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱; (3)据中国移动 2000 年公布的中期业

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