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2011年全国高中数学联赛陕西预赛试卷及答案


2011 年全国高中数学联赛陕西预赛试卷 2011.5.22 第一试 一﹑填空题(每小题 8 分,共 80 分) 1.已知集合 M={2,0,11},若 A ? M ,且 A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合 A 的个
?

数为

5

. .

a?b 2 .若 A+B=a-b

,则 a/b 的值是 3 ? 2 3 ,B ? 1 1 2 ? a b 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2 的最大负角 ? 的弧度数为 3.满足 . 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 2
2.设 a、b 都是正实数, A ? 4.设斜率为 2

2

的直线 l 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、Q 在轴 a 2 b2

上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率是 2

2

.

5.如图所示的数阵中, 每行的三个数依次成等差数列,每列的三个数也依次成等差数列 .
? a11a12 a13 ? ? ? ? a21a22 a23 ? ?a a a ? ? 31 32 33 ?

若 a22 ? 2 ,则所有这 9 个数的和等于 18

.
B

6.如图,矩形 OABC 的四个顶点的坐标依次为(0,0)、( 2? ,0)、 ( 2? ,2)、(0,2),记 BC 边与函数 y ? 1 ? cos x(0 ? x ? 2? ) 的图像

C

?
A O

围成的区域(图中阴影部分)为 ? .若向矩形 OABC 内任意投一 O 点 M,则点 M 落在区域内 ? 的概率是 1/2 .

q ?1 1 ? p ( x ? p ), 7.设函数 f ( x) ? ? 其中 p、 互质(素),且 p ? 2 .则满足 x ? [0,1] ,且 f ( x ) ? 的 x 值的个 q ? 5 ?0( x ? q ), ? p ?

数是

5

. 17 .

8.已知 p、q 都是质数,且 7p+q 和 2q+11 也都是质数.则 pq ? q p 的值是

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9.在侧棱长和底面边长都为 4 的正四棱锥 P-ABCD 的表面上与顶点 P 的距离为 3 的动点所形 成的所有曲线段的长度之和为 6? .

10.现代社会对破译密码的要求越来越高.在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进 行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的 26 个字母 a,b,c, …,z(不论大小写)依次 对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数,见下表: a b c d e f g h i j k 1 1 l 1 2 m 1 3 n 1 4 o 1 5 p 1 6 q 1 7 r 1 8 s 1 9 t 2 0 u 2 1 v 2 2 w 2 3 x 2 4 y 2 5 z 2 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

? x ?1 ? 2 , x为奇数,且1 ? x ? 26 ? 给出明码对应的序号 x 和密码对应的序号 y 的变换公式: y ? ? .利 ? x ? 13, x为偶数,且1 ? x ? 26 ?2 ?

用它可将明码转换成密码,如 5 ?

5 ?1 8 ? 3 ,即 e 变成了 c, 8 ? ? 13 ? 17 ,即 h 变成了 q. 2 2

按上述公式,若将某明码译成的密码是 shxc,那么,原来的明码是 love

.

第二试 二﹑解答题: 1.(本题满分 20 分)

? 1 设函数 f ( x) ? cos x cos( x ? ? ) ? cos ? , x ? R, 0 ? ? ? ? .已知当 x ? 时, f ( x) 取得的最大值. 3 2 2? 1) 求 ? 的值;( ) 3 ? 1 1 3 2) 设 g ( x) ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最小值.( [? , ] ) 3 4 2 2

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2.设 P 为直线 y ? x ? 2 上的动点,过点 P 作抛物线 y ? 1)求证:直线 AB 过定点;(1,2)

1 2 x 的切线,切点分别为 A,B. 2

2)求 ?PAB 面积 S 的最小值,以及取得最小值时 P 点的坐标.

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3.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 ?ABD ? 60? ,AE=AD.延长 AB ﹑DC 交于点 F,求证:点 B 为 ?CEF 的外心.
D C E A F B

4.如图 4,M 为 ?ABC 的中线 AD 的中点,过点 M 的直线分别交两边 AB﹑AC 于点 P﹑Q,设

??? ? ??? ???? ? ??? ? AP ? xAB, AQ ? yAC ,记 y ? f ( x) .
x (0 ? x ? 1) ) 4x ?1 1 2)设 g ( x) ? x3 ? 3a2 x ? 2a, x ?[0,1] .若对任意 x1 ? [ ,1] ,总存在 x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 3

1)求函数 y ? f ( x) 的表达式;( y ?

求实数 a 的取值范围.

A

Q P B M C

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5.设正整数 n ? 4 ,求证: 0 ? 大整数.

(?1)[ 4

4]

?

(?1)[ 5

5]

? ??? ?

(?1)[ n

n]

? 1其中,[ x ]表示不超过实数 x 的最

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