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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.6 课时作业]


§ 2.6

函数模型及其应用

课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函 数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活 中的简单问题,培养对数学模型的应用意识.

1.几种常见的函数模型 (1)一次函数:y=kx+b(k≠0) (2)二次函数

:y=ax2+bx+c(a≠0) (3)指数函数:y=ax(a>0 且 a≠1) (4)对数函数:y=logax(a>0 且 a≠1) (5)幂函数:y=xα(α∈R) (6)指数型函数:y=pqx+r (7)分段函数 2.面临实际问题,自己建立函数模型的步骤: (1)收集数据; (2)画散点图; (3)选择函数模型; (4)求函数模型; (5)检验; (6)用函数模型解释实际问题.

一、填空题 1.细菌繁殖时,细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有 300 个细菌,以后的细菌数如 下表所示: x(h) 0 1 2 3 300 600 1 200 2 400 细菌数 据此表可推测实验开始前 2 h 的细菌数为________.

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如右图 所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是________元. 3.某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格 比较,变化的情况是________. 4.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年 产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是 ________.(填序号)

5.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积 之和的最小值是________.

6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这 些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x,y 分别为________. 7.某不法商人将彩电先按原价提高 40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结 果是每台彩电比原价多赚了 270 元,那么每台彩电原价是________元. 8.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护 区,成立于 1985 年,最初一年年底只有麋鹿 100 头,由于科学的人工培育,这种当初快 要濒临灭绝的动物的数量 y(头)与时间 x(年)的关系可以近似地由关系式 y=alog2(x+1)给 出,则 2000 年年底它们的数量约为________头. 9.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能 繁殖为________个. 二、解答题 10.东方旅社有 100 张普通客床,若每床每夜收租费 10 元时,客床可以全部租出;若每 床每夜收费提高 2 元,便减少 10 张客床租出;若再提高 2 元,便再减少 10 张客床租出; 依此情况继续下去.为了获得租金最多,每床每夜租金选择多少?

11.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容 保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟, 为了了解行情,进行市场调研,从 4 月 1 日起,芦荟的种植成本 Q(单位为:元/10 kg)与 上市时间 t(单位:天)的数据情况如下表: t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化 关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a· bt,Q=alogbt; (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

能力提升 12.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表: 1 2 3 月份 50 52 53.9 产量(千件) 为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 y=ax+b 或 y =ax+b(a,b 为常数,且 a>0)来模拟这种电脑元件的月产量 y 千件与月份的关系.请问: 用以上哪个模拟函数较好?说明理由.

13.一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积 1 2 的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 ,(1)求每年砍伐面积的百分比; 4 2 (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

1.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.函数拟合与预测的一般步骤: (1)能够根据原始数据、表格,绘出散点图. (2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有 实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美 的事情,但在实际应用中,这种情况是一般不会发生的.因此,使实际点尽可能均匀分 布在直线或曲线两侧, 使两侧的点大体相等, 得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近” 的了. (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.

§ 2.6

函数模型及其应用

作业设计 1.75 解析 由表中数据观察可得细菌数 y 与时间 x 的关系式为 y=300· 2x(x∈Z). 当 x=-2 时, 300 -2 y=300×2 = =75. 4

2.300 解析 由题意可知,收入 y 是销售量 x 的一次函数,设 y=ax+b,将(1,800),(2,1 300)代 入得 a=500,b=300. 当销售量为 x=0 时,y=300. 3.减少 7.84% 解析 设某商品价格为 a,依题意得:a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.921 6a,所以 四年后的价格与原来价格比较(0.921 6-1)a=-0.078 4a,即减少 7.84%. 4.① 解析 由于前三年年产量的增长速度越来越快,可用指数函数刻画,后三年年产量保持 不变,可用一次函数刻画. 5.2 3 cm2 解析 设一段长为 x cm,则另一段长为(12-x)cm. 3x 3 x 3 ∴S= ( )2+ (4- )2= (x-6)2+2 3≥2 3(当且仅当 x=6 时,取“=”). 4 3 4 3 18 6.15,12 24-y x 5 解析 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 4 24-8 20 5 ∴S=xy=- (y-12)2+180. 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 7.2 250 解析 设每台彩电的原价为 x 元,则 x(1+40%)×0.8-x=270,解得 x=2 250(元). 8.400 解析 由题意,x=1 时 y=100,代入求得 a=100,2000 年年底时,x=15,代入得 y=400. 9.2ln 2 1 024 解析 当 t=0.5 时,y=2,
1

∴2= e 2 , ∴k=2ln 2, ∴y=e2tln 2,当 t=5 时, ∴y=e10ln 2=210=1 024. 10.解 设每床每夜租金为 10+2n(n∈N),则租出的床位为 100-10n(n∈N 且 n<10) 租金 f(n)=(10+2n)(100-10n) 5 225 =20[-(n- )2+ ], 2 4 其中 n∈N 且 n<10. 所以,当 n=2 或 n=3 时,租金最多, 若 n=2,则租出床位 100-20=80(张); 若 n=3,则租出床位 100-30=70(张); 综合考虑,n 应当取 3,即每床每夜租金选择 10+2×3=16(元). 11.解 (1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数 不可能是常值函数,若用函数 Q=at+b,Q=a· bt,Q=alogbt 中的任意一个来反映时都应 有 a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二 次函数 Q=at2+bt+c 进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数 Q=at2+bt+c, 可得: 150=2 500a+50b+c, ? ? ?108=12 100a+110b+c, ? ?150=62 500a+250b+c, 1 3 425 解得 a= ,b=- ,c= . 200 2 2

k

1 3 425 所以,刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q= t2- t+ . 200 2 2 3 - 2 (2)当 t=- =150(天)时,芦荟种植成本最低为 1 2× 200 1 425 2 3 Q= ×150 - ×150+ =100(元/10 kg). 200 2 2 12.解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得: ? ? ?50=a+b ?50=a+b, ? 或? (a>0) 2 ?52=2a+b ?52=a +b. ? ?
?a=2 ? 解得? (两方程组的解相同). ? ?b=48 ∴两函数分别为 y=2x+48 或 y=2x+48. 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=54; 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=56. 由于 56 与 53.9 的误差较大, ∴选 y=ax+b 较好. 13.解 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),则 1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2

? 1 ?10 解得 x=1- ? ? . ?2?
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m 1

1

2 ,则 2

2 ? 1 ?10 ? 1 ? 2 m 1 a(1-x)m= a,即 ? ? = ? ? , = ,解得 m=5, 2 ?2? ? 2 ? 10 2 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 2 则 n 年后剩余面积为 a(1-x)n. 2 2 1 2 令 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4

? 1 ?10 ? 1 ? 2 n 3 ? ? ≥ ? ? ,10≤2,解得 n≤15. ?2? ?2?
故今后最多还能砍伐 15 年.

n

3


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