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高三一轮复习丛书39椭圆


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高三文科数学一轮复习

椭圆

(选修 1-1)


【知识要点】



1.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆。(若 2a 等于 2c ,则动点轨迹是线段 F1

F2 。若 2a 小于 2c ,则动点轨迹不存在。) 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质: 标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

中心在原点,焦点在 x 轴上 图形 范围

中心在原点,焦点在 y 轴上

x? a , y? b
A , 0 ? 、A2 ? a, 0? 1 ? ?a B1 ? 0, ? b ? 、B2 ? 0,b ?

x? b , y? a
A , ? a ? 、A2 ? 0,a ? 1 ?0 B1 ? ?b, 0 ? 、B2 ? b, 0?

顶点

对称轴 焦点 焦距 离心率

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

F1 ? ?c, 0 ?、F2 ? c, 0? F1 F2 ? 2c(c ? 0)

F1 ? 0, ? c ?、F2 ? 0,c ? F1 F2 ? 2c(c ? 0)

设椭圆方程有时为了运算方便,设 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0m ? n) 。
2 2

x ? a cos ? 3. 椭圆的参数方程: ? ?? 为参数 ? ? ? y ? b sin ?

? y ? a cos ? ?? 为参数 ? ? ? x ? b sin ?

4. 焦半径公式:椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

椭圆的标准方程焦点在 x 轴上时, P ? x0,y0 ? 是椭圆上任一点,则 PF1 ? a ? ex0 ,

PF2 ? a ? ex0 。

【典例解析】
例 1:求过点 P(3, 0)且与圆 x +6x+y -91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。
2 2

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椭圆

(选修 1-1)

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例 2. 如图,椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l ,交椭 圆 ⑴求椭圆的离心率; 于 A、B 两点,若椭圆上存在一点 C ,使 O A? O B ?

??? ? ??? ?

??? ? O。 C

⑵若 AB ? 15 ,求这个椭圆的方程。

??? ?

【巩固练习】
一选 择题: 1.已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是 ( )
A. 2 3 B. 6 C. 4 3 D. 12

2.椭圆的两个焦点和短轴两个顶点, 是一个含 60°角的菱形的四个顶点, 则椭圆的离心率为 A. 1
2

B.

3 2

(C.

3 3

D. 1 或
2

3 2

(

)

3.方程

x2 y2 ? =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 25 - m 16 ? m
B-16<m<

(

)

A-16<m<25

9 2

C

9 <m<25 2

Dm>

9 2

4.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和为 30, △ABC 的重心 G 的轨迹方程为 ( ) A

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) B ? ? 1( y ? 0) 100 36 100 84

C

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) D ? ? 1( x ? 0) 100 36 100 84

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高三文科数学一轮复习
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椭圆

(选修 1-1)

5. P 是椭圆 A.

x y ? ? ? 1 上的一点, F1 , F2 为两焦点,若 ?F1 PF2 ? 60 ,则 ?F1 PF2 的面积为 12 3
B.

3

2

C. 1

D. 2





6.设 F1、F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P ,使 ?F1 PF2 ? 120 ,则椭圆的离心率 e
?

的取值范围是 A.
? 3 ? , 1? ? ? ? 2 ?

( B.
? 3 ? 1? ? ? 2 , ? ? ?



C.

? 3 ? ? 0,2 ?

? ? ? ?

D.

? 3? ? ? 0,2 ? ? ?

7. 曲线

2 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 x ? y ? 1 ( 9 ? k ? 25 )的 25 9 25 ? k 9 ? k





A. 焦点相同 B. 离心率相同 C. 长轴与实轴相等 D. 以上说法都不对

8. 设 P(x,y)是曲线 A. F1 P ? F2 P ? 10

x2 ? 25

y2 、F2(4,0) ,则 ? 1 上的点,F1( ? 4,0 ) 9
B. F1 P ? F2 P ? 10 D. F1 P ? F2 P ? 10





C. F1 P ? F2 P ? 10

9.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ,过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 A.
2 2

( D.



B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

2 ?1

2 2 10.在椭圆 x ? y ? 1 上有一点 P , F1、F2 是椭圆的左、右焦点, ?F1 PF2 为直角三角形, 40 20 则这样的 P 点有 ( ) A. 4 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个

2 2 ???、Pn ,椭圆的右焦点 F ,数列 Pn F 11.★椭圆 x ? 4 y ? 1 上有 n 个不同的点 P 1、P 2、 9 27

?

?


是公差为 d 的等差数列, d ? ? 1 ,1 ? ,那么正整数 n 的最小、最大值分别为( ? ?
? 669 668 ?

A. 2004,2005

B. 2005,2006

C. 2005,2008

D. 2006,200

高三文科数学一轮复习

椭圆

(选修 1-1)

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二. 填空题:

x2 y2 3 12.若直线 4x-3y+12=0 过椭圆 2 ? 2 ? 1 的一个焦点, 离心率 e= , 则椭圆的方程是 . 5 m n
3 5 , ) , ( 3, 5) 的椭圆标准方程是__________。 2 2

13.经过两点 (?

2 2 2 2 14.Q,P 分别是圆 x ? ( y ? 4) ? 1 和椭圆 x + y = 1 的点,则 QP 最大值,最小值 9 4

分别是

.

15.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过 椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程:

x2 y2 ? ? 1, 16 9

点 A、B 是它的两个焦点,当静止的小球放在点 A 处,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反 弹后,再回到点 A 时,小球经过的最短路程是 . 16.飞船运行轨迹是以地心 为一个焦点的椭圆,其近地点距地面 M,远地点距地面 N,已知 地球半径 R,该椭圆的离心率为 .

17. 过原点的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点, F1、F2 为椭圆的焦点,则四边形 8 4
. .

AF1 BF2 面积的最大值是
18. 椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,则它的离心率 e 的取值范围是 5a 4a ? 1

19.在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任一点 M,过 M 作以 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) 为焦点的椭圆,当 所作椭圆长轴最短时的椭圆方程 .

20. M 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, 椭圆的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 A(1,1) ,则 4 3
.

MF 的最大值是 1 ? MA

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椭圆

(选修 1-1)

21. 已 知 椭 圆 C :

x y ? ? 1 的 右 焦 点 为 F , 过 F 的 直 线 L 交 C 于 A、B 两 点 , 若 4 3
.

??? ? ??? ? AF ? 2 FB ,则直线 L 的斜率为

22. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一组斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程是 4 3



三. 解答题 23.已知椭圆的一个顶点为 A (0, ?1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的 距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、 N,当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围。

24.★. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上的任意一点(异于 顶 a 2 b2 点) ,椭圆短轴上两个端点分别是 B1、B2 若直线 PB1,PB2 分别
与 x 轴交于点 M,N ,求证: OM ?ON 为定值。

【反思后记】


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