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2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测五解析几何


专题综合检测五解析几何
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小 题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(文)(2013· 泗县双语中学模拟)若直线 2tx+3y+2=0 与直线 x +6ty-2=0 平行,则实数 t 等于( 1 1 A.2或-2 1 C.-2 [答案] B 2t 3 2

1 [解析] 由条件知, 1 =6t≠ ,∴t=2. -2 (理)(2013· 吉大附中二模)若曲线 y=2x2 的一条切线 l 与直线 x+ 4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为( A.x+4y+3=0 C.4x-y+3=0 [答案] D 1 [解析] y′=4x,直线 x+4y-8=0 的斜率 k=-4,令 4x=4 得 x=1, ∴切点(1,2),∴切线 l:y-2=4(x-1), 即 4x-y-2=0,故选 D. 2.(2013· 眉山二诊)抛物线 y=4x2 的焦点坐标是( A.(1,0) B.(0,1) ) ) B.x+4y-9=0 D.4x-y-2=0 ) 1 B.2 1 D.4

1 C.(0,16) [答案] C

1 D.(0,8)

1 1 1 [解析] y=4x2 化为 x2=4y,∴2p=4,∴p=8, 1 ∴焦点 F(0,16). x2 y2 3.(文)(2013· 北京理,6)若双曲线a2-b2=1 的离心率为 3,则 其渐近线方程为( A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 [答案] B [解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质. 因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,∴b2=c2-a2=2a2,∴b= 2 a,因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以渐近线方程为 y=± 2x.选 B. y2 (理)(2013· 北京文,7)双曲线 x -m=1 的离心率大于 2的充分必
2

) B.y=± 2x 2 D.y=± 2 x

要条件是( 1 A.m>2 C.m>1 [答案] C

) B.m≥1 D.m>2

[解析] 双曲线离心率 e= 1+m> 2, 所以 m>1,选 C. x2 y2 4.(2013· 天津理,5)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近 线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A、 两点, 为坐标原点. B O 若

双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p=( A.1 C.2 [答案] C 3 B.2 D.3

)

c b [解析] ∵e=a=2,∴b2=c2-a2=3a2,∴a= 3,双曲线的两 p 3p p 3p 条渐近线方程为 y=± 3x,不妨设 A(-2, 2 ),B(-2,- 2 ),则 p 1 p AB= 3p,又三角形的高为2,则 S△AOB=2×2× 3p= 3,∴p2=4, 又 p>0,∴p=2. 5.(2013· 哈六中二模)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A, 直线 l 与抛物线的准线的交点为 B, → → → → 点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若AF=FB,BA· =36,则抛 BC 物线的方程为( A.y2=6x C.y2=12x [答案] D p p [解析] ∵F(2,0),设 A(x0,y0),y0>0,则 C(-2,y0),B(p-x0, p 3p 3p 2 -y0),由条件知 p-x0=-2,∴x0= 2 ,∴y0=2p· =3p2,∴y0= 3 2 → → p 3p p p,∴B(-2,- 3p),A( 2 , 3p),C(-2, 3p),∴BA· =(2p,2 3 BC p)· (0,2 3p)=12p2=36,∴p= 3, ∴抛物线方程为 y2=2 3x. 6.(2013· 江西八校联考)若圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,其中心 ) B.y2=3x D.y2=2 3x

3 为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过 A(-2,2 3),B(2,- 5),则 ( ) A.曲线 C 可为椭圆,也可为双曲线 B.曲线 C 一定是双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆 D.这样的曲线 C 不存在 [答案] B [解析] 设曲线为 mx2+ny2=1,∵A、B 在曲线 C 上,

?4m+12n=1, ∴?9 ?4m+5n=1,
2

?m=1, ∴? 1 n=-4. ?

y2 ∴曲线方程为 x - 4 =1,故选 B. 7.(2013· 江西师大附中、鹰潭一中模拟)已知等边△ABC 中,D、 E 分别是 CA、CB 的中点,以 A、B 为焦点且过 D、E 的椭圆和双曲 线的离心率分别为 e1、2, e 则下列关于 e1、2 的关系式不正确的是( e ... A.e2+e1=2 C.e2e1=2 [答案] A [解析] 设正三角形的边长为 2,椭圆的长半轴、短半轴、半焦 距长分别为 a、 c, b、 双曲线的实半轴、 虚半轴、 半焦距长分别为 a′、 b′、 c′, 2c′=2c=|AB|=2, 则 ∴c′=c=1,2a=|DB|+|DA|= 3+ c 1,2a′=|DB|-|DA|= 3-1,∴e1=a= 3+1,故选 A. 2 2 = 3-1,e2= = 3+1 3-1 B.e2-e1=2 e2 D.e >2 1 )

y2 8.(2013· 苍南求知中学月考)过双曲线 M:x -b2=1 的左顶点 A
2

作斜率为 2 的直线 l, l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、 若 → → C,且BC=2AB,则双曲线 M 的离心率是( A. 5 C. 17 [答案] C [解析] 由条件知 A(-1,0),∴l:y=2(x+1),双曲线渐近线方 B. 10 D. 37 )

→ → ?y=2?x+1?, ? 程为 y=± ∵BC=2AB, bx, ∴B 在 A, 之间, C ∴由? 得 ? ?y=-bx, B(- 2 2b , ), b+2 b+2
?y=2?x+1?, ? 2 2b 由? 得 C( , ), b-2 b-2 ?y=bx, ?

→ → 再由BC=2AB得 b=4,∴e= 17. 9.(2013· 天津和平区质检)若抛物线 y2=2px 上恒有关于直线 x+ y-1=0 对称的两点 A、B,则 p 的取值范围是( 2 A.(-3,0) 2 C.(0,3) [答案] C [解析] 设直线 AB: y=x+b, 代入 y2=2px 中消去 x 得, 2-2py y +2pb=0,∴y1+y2=2p,x1+x2=y1+y2-2b=2p-2b,由条件知线 x1+x2 y1+y2 段 AB 的中点( 2 , 2 ), 即(p-b,p)在直线 x+y-1=0 上,∴b=2p-1,Δ=4p2-8pb 3 B.(0,2) 2 D.(-∞,0)∪(3,+∞) )

2 =4p2-8p(2p-1)=-12p2+8p>0,∴0<p<3. 10.(文)(2013· 海淀区期中)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P(x, |PF| y)为该抛物线上的动点,又点 A(-1,0),则 |PA| 的最小值是( 1 A.2 3 C. 2 [答案] B [解析] 设 P 点在准线上射影为 B 点, 则|PB|=|PF|, 显然当直线 |PF| AP 与抛物线 y2=4x 相切时,|PA| 取最小值,设 PA:y=k(x+1)(k>0), 4y 16 代入 y2=4x 中消去 x 得,y2= k -4,由 Δ= k2 -16=0 及 k>0 得 k= 1,∴PA:y=x+1,P(1,2),|PA|=2 2,|PB|=2, |PF| |PB| 2 ∴ |PA| = |PA| = 2 . [点评] 也可以不用判别式法,用导数法求解. (理)(2013· 北京东城区模拟)已知点 A(2,1),抛物线 y2=4x 的焦点 是 F,若抛物线上存在一点 P,使得|PA|+|PF|最小,则 P 点的坐标为 ( ) A.(2,1) 1 C.(2,1) [答案] D [解析] 过 P 作 PB 与准线垂直,垂足为 B,则|PF|=|PB|,∴P 点在抛物线弧内,∴当 P、A、B 共线时,|PA|+|PF|取最小值,此时 B.(1,1) 1 D.(4,1) 2 B. 2 2 2 D. 3 )

1 yP=yA=1,∴xP=4, 1 即 P(4,1). x2 y2 11.(文)(2013· 保定二模)双曲线a2-b2=1(b>a>0)与圆 x2+y2=(c b -2)2 无交点,c2=a2+b2,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( 5 A.(1,3) C.( 2,2) [答案] B b [解析] 由条件知 c-2<a, ∴2(c-a)<b,两边平方得,4(c2-2ac+a2)<c2-a2,∴3c2-8ac +5a2<0, 5 ∴3e2-8e+5<0,∵e>1,∴1<e<3, 5 ∵b>a,∴c2-a2>a2,∴e> 2,∴ 2<e<3. x2 y2 (理)(2013· 绍兴市模拟)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 为 F,O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交 于 O,A 两点,若△AOF 的面积为 b2,则双曲线的离心率等于( A. 3 3 C.2 [答案] D [解析] ∵A 在以 OF 为直径的圆上,∴AO⊥AF, B. 5 5 D. 2 ) 5 B.( 2,3) D.( 3,2) )

a b a2c abc ∴AF:y=-b(x-c)与 y=ax 联立解得 x= 2 2,y= 2 2,∵ a +b a +b △AOF 的面积为 b2, 1 abc 5 ∴2· 2 2=b2,∴e= 2 . c· a +b 12.(2013· 大兴区质检)抛物线 y=x2(-2≤x≤2)绕 y 轴旋转一周 形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使 正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ( )

A.1 C.2 2 [答案] B [解析] 当 x=2 时,y=4,

B.2 D.4

2 设正方体的棱长为 a,由题意知( 2 a,4-a)在抛物线 y=x2 上,∴ 1 4-a=2a2,∴a=2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 写在题中横线上.)

13.(2013· 天津六校联考)已知直线 2ax+by=1(其中 a,b 为非 零实数)与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 1 2 为直角三角形,则a2+b2的最小值为________. [答案] 4 [解析] ∵△AOB 为等腰直角三角形,⊙O 的半径为 1,∴O 到 2 1 2 2 2 直线 2ax+by-1=0 的距离为 2 ,即 2 2= 2 ,∴2a +b =2, 2a +b
2 2 1 2 1 2 2a +b 2a2 b2 2a2 b2 ∴a2+b2=(a2+b2)( 2 )=2+ b2 +2a2≥4,等号在 b2 =2a2,

即 b2=2a2=1 时成立,∴所求最小值为 4. x2 y 2 14.(文)(2013· 黄埔区模拟)已知点 P(2,-3)是双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)上一点,双曲线两个焦点间的距离等于 2,则该双曲线方 程是________. y2 [答案] x - 3 =1
2

[解析]

? 42- 92=1, 由条件知,?a b ?a2+b2=4.
2 2 2

y2 解之得,a =1,b =3,∴双曲线的方程为 x - 3 =1. x2 y2 (理)(2013· 天津十二区县联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e= 10,它的一条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交 点的纵坐标为 6,则正数 p 的值为________. [答案] 4 c bp [解析] 由条件知a= 10,a·=6, 2

a2+b2 c b 由a= 10得 a2 =10,∴a=3,∴p=4. 15. (文)(2013· 西城区模拟)抛物线 y2=2x 的准线方程是________; 5 该抛物线的焦点为 F,点 M(x0,y0)在此抛物线上,且|MF|=2,则 x0 =________. 1 [答案] x=-2 2 1 [解析] 由 2p=2 得 p=1,∴准线方程为 x=-2; 1 5 ∵|MF|=x0-(-2)=2,∴x0=2. (理)(2013· 苍南求知中学月考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作一条倾 3 斜角为 α, 长度不超过 8 的弦, 弦所在的直线与圆 x2+y2=4有公共点, 则 α 的取值范围是________. π π 2π 3π [答案] [4,3]∪[ 3 , 4 ] [解析] F(1,0),直线 AB:y=tanα(x-1),由条件知,圆心(0,0) 到直线 AB 的距离 d= |tanα| 3 2 ≤ 2 ,∴- 3≤tanα≤ 3.(1) 1+tan α

将 y=k(x-1)代入 y2=4x 中消去 y 得, k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 2k2+4 4 ∴x1+x2= k2 ,y1+y2=k(x1+x2-2)=k , k2+2 2 ∴AB 的中点坐标为 P( k2 ,k), k2+2 ∵|AB|≤8,∴P 到准线的距离 k2 +1≤4, ∴|k|≥1,∴|tanα|≥1,(2)

π π 2π 3π 由(1)(2)得4≤α≤3或 3 ≤α≤ 4 . x2 y2 16.(文)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点, → → → → → → 弦 BC 过椭圆的中心 O,且AC· =0,|OC-OB|=2|BC-BA|,则椭 BC 圆的方程为________. x2 3 2 [答案] 4 +4y =1 → → → → [解析] ∵|OC-OB|=2|BC-BA|, → → ∴|BC|=2|AC|, → → → → 又AC· =0,∴AC⊥BC. BC ∴△AOC 为等腰直角三角形. → ∵|OA|=2,∴点 C 的坐标为(1,1)或(1,-1), ∵点 C 在椭圆上, 1 1 ∴a2+b2=1,又 a2=4, 4 x2 3 2 ∴b =3,故所求椭圆方程为 4 +4y =1.
2

x2 y2 (理)(2013· 湖南理, 14)设 F1, 2 是双曲线 C: 2-b2=1(a>0, F b>0) a 的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小 内角为 30° ,则 C 的离心率为________. [答案] 3

[解析] 设点 P 在 C 的右支上, 1 为左焦点, 2 为右焦点, F F 则|PF1| -|PF2|=2a,又已知|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,又在

双曲线中 c>a, ∴|F1F2|>|PF2|,故在△PF1F2 中,最小内角为∠PF1F2=30° , 在△PF1F2 中,由余弦定理得, |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· 1F2|cos30° |F , 3 即 4a2=16a2+4c2-2×4a×2c× 2 , ∴3a2+c2-2 3ac=0, 两边同除以 a2 得,e2-2 3e+3=0, ∴e= 3. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2013· 重庆一中月考)(1)已知直线 l1:mx +2y+1=0 与直线 l2:2x-4m2y-3=0 垂直,求直线 l1 的方程;(结 果要求用一般式) (2)若直线 l1:mx+2y+1=0 被圆 C:x2+y2-2x+2y-2=0 所截 得的线段长为 2 3,求直线 l1 的方程.(结果要求用一般式) 1 [解析] (1)∵l1⊥l2?m· 2+2· (-4m2)=0?m=0 或 m=4, 所以直 线 l1 的方程为:2y+1=0 或 x+8y+4=0. (2)由圆的方程得:(x-1)2+(y+1)2=4,所以圆心为 C(1,-1), |m-2+1| 2 半径 r=2,由题意知,( ) +3=4?(m-1)2=m2+4?m=- 2 m +4 3 2, 3 ∴l1 的方程为:-2x+2y+1=0,即 l1:3x-4y-2=0. 18.(本小题满分 12 分)(文)

如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(-2,0),直角顶点 B(0, -2 2),顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 相切, 求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方 程. 2 [解析] (1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= 2 , 2 ∴BC 边所在直线方程为 y= 2 x-2 2. (2)在 BC 边所在直线方程中,令 y=0,得 C(4,0), ∴圆心 M(1,0).又∵|AM|=3, ∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1,0),M(1,0), 圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该圆的半径. 又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3, ∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆.

3 ∴a=2,c=1,b= a2-c2= x2 y2 ∴轨迹方程为 9 + 5 =1. 4 4 (理)

5 4,

在平面直角坐标系 xOy 中, 过定点 C(2,0)作直线与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,如图,设动点 A(x1,y1)、B(x2,y2). (1)求证:y1y2 为定值; (2)若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点, 求△ADB 面积的最 小值. (3)求证: 直线 l: x=1 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值. [解析] (1)当直线 AB 垂直于 x 轴时,y1=2 2,y2=-2 2,因 此 y1y2=-8. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),
?y=k?x-2? ? 由? 2 ,得 ky2-4y-8k=0,∴y1y2=-8. ? ?y =4x

因此有 y1y2=-8 为定值. (2)∵C(2,0),∴C 点关于原点的对称点 D(-2,0), 1 ∴DC=4,S△ADB=2DC· 1-y2|. |y

1 当直线 AB 垂直于 x 轴时,S△ADB=2×4×4 2=8 2; 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 4 由(1)知 y1+y2=k,因此 |y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2= 1 ∴S△ADB=2×4×|y1-y2|>8 2. 综上,△ADB 面积的最小值为 8 2. x1+2 y1 (3)AC 中点 E( 2 , 2 ),
2 AC= ?x1-2?2+y1,

16 k2 +32>4 2,

因此以 AC 为直径的圆的半径 1 1 1 r=2AC=2 ?x1-2?2+y2=2 x2+4, 1 1 x1+2 |x1| AC 中点 E 到直线 x=1 的距离 d=| 2 -1|= 2 , ∴所截弦长为 2 r -d =2 =2(定值). 19.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 江西八校联考)在平面直角坐标 系 xOy 上取两点 A1(-2,0)、A2(2,0),再取两个动点 N1(0,m)、N2(0, n),且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与曲线 M 分别交于 A、B 两 点.证明点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值. [解析] (1)依题意知直线 A1N1 的方程为:
2 2

x2+4 |x1| 2 1 4 -? 2 ?

m y= 2 (x+2),① n 直线 A2N2 的方程为:y=-2(x-2),② 设 Q(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 的交点, mn ①×②得 y2=- 4 (x2-4).③ x2 y2 将 mn=3 代入③整理得 4 + 3 =1, ∵N1、N2 不与原点重合, ∴点 A1(-2,0)、A2(2,0)不在轨迹 M 上, x2 y2 ∴轨迹 M 的方程为 4 + 3 =1(y≠0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),若直线 AB 的方程为 y=kx+m,与椭 圆

x2 y2 2 2 2 4 + 3 =1 联立消去 y 并化简得(4k +3)x +8kmx+4m -12=0, 由根与系数的关系得: x1+x2=- 8km , 3+4k2

4m2-12 x1x2= . 3+4k2

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即:(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, 4m2-12 8k2m2 2 ∴(k +1) 2 - 2+m =0, 3+4k 3+4k
2

整理得 7m2=12(k2+1), 所以 O 到直线 AB 的距离: d= |m| = k2+1 12 2 21 7= 7 .

2 21 若直线 AB 的方程为 x=t,易得 O 到直线 AB 的距离也为 7 . 故点 O 到直线 AB 的距离为定值. ∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA· OB, 当且仅当 OA=OB 时取“=”号. 由直角三角形面积公式得: d· AB=OA· OB, AB2 AB2 ∵OA· OB≤ 2 ,∴d· AB≤ 2 , 4 21 ∴AB≥2d= 7 , 4 21 即当 OA=OB 时,弦 AB 的长度的最小值是 7 . (理)(2013· 苍南求知中学月考)已知点 M 是圆 C:2+y2=2 上的一 x → 2→ 点,且 MH⊥x 轴,H 为垂足,点 N 满足NH= 2 MH,记动点 N 的轨 迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦,O 为坐标原点,求△AOB

面积 S 的最大值. [解析] (1)设 N(x,y),M(x′,y′),则由已知得,x′=x,y′ = 2y, 代入 x2+y2=2 得,x2+2y2=2. x2 2 所以曲线 E 的方程为 2 +y =1. (2)因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、O、B 能 构成三角形,则弦 AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y =kx+m,

?y=kx+m, 由?x2 2 ? 2 +y =1,

消去 y 并整理得,

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 又 Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0, 2?m2-1? 4km 所以 x1+x2=- ,x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 因为|AB|=2, 所以 ?1+k2??x2-x1?2=2, 即(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]=4,
2 4km 2 8?m -1? 所以(1+k )[(- )- ]=4, 1+2k2 1+2k2 2

1+2k2 即m= , 2+2k2
2

1 因为 k2≥0,所以2≤m2<1. 又点 O 到直线 AB 的距离 h= |m| , 1+k2

1 因为 S=2|AB|· h=h, 1+2k2 m2 所以 S =h = = . 1+k2 2?1+k2?2
2 2

令 S2=u,1+k2=t,则 t≥1,∴1+2k2=2t-1, 2t-1 2t-1 1-t ∴S2= 2t2 ,即 u= 2t2 ,u′= t3 ≤0, 2t-1 ∴u= 2t2 在[1,+∞)上单调递减, 1 ∴t=1 时,umax=2, 1 2 2 即 S2≤2,∴0<S≤ 2 ,即 S 的最大值为 2 . y2 20.(本小题满分 12 分)(文)已知双曲线方程 x - 2 =1.
2

(1)求证:对一切实数 k,直线 kx-y- 2k+ 2=0 与双曲线均相 交; (2)求以点 A(2,1)为中点的弦所在直线的方程.

[解析]

?x2-y =1, 2 (1)解法 1:由? ?kx-y- 2k+

2

得 2=0,

(2-k2)x2+2 2k(k-1)x-2(k2-2k+2)=0(*) 当 k=± 2时,方程(*)有根;当 k≠± 2时,Δ=8(k-2)2≥0,故 方程(*)总有实根,即直线与双曲线均相交. 解法 2:kx-y- 2k+ 2=0 可化为 y- 2=k(x- 2),即直线 y2 过定点 M( 2, 2),显然点 M 在双曲线 x - 2 =1 上,
2

∴对一切实数 k,直线 kx-y- 2k+ 2=0 与双曲线均相交. (2)设过点 A(2,1)的弦的端点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),

?x2-y1=1, ?1 2 则? y2 2 ?x2- 22=1. ?
y1-y2 2×2 = = =4, x1-x2 1×1

2

2 2 y1 y2 2 2 两式相减得,(x1-x2)-( - )=0,∴kP1P2

2

2

故直线方程为 4x-y-7=0. x2 y2 (理)(2013· 内江市一模)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率 2 3 3 e= 3 ,过点 A(0,-b)和点 B(a,0)的直线与原点的距离为 2 .

(1)求双曲线方程; (2)直线 y=kx+m(k≠0)与该双曲线交于不同两点 C、D,且 C、 D 两点都在以 A 为圆心的同一个圆上,求 m 的取值范围. 2 3 c 2 3 [解析] (1)∵e= 3 ,∴a= 3 ,

x y 直线 AB 方程为:a-b=1,即 bx-ay-ab=0, ∴ |-ab| 3 3c 2 2= 2 ,∴ab= 2 , a +b

又 c2=a2+b2,∴a= 3,b=1, x2 2 ∴双曲线方程为: 3 -y =1.

?x -y2=1, (2)联立? 3 ?y=kx+m
0,

2

消去 y 可得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=

由 1-3k2≠0 及 Δ=36k2m2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0, 得 m2+1>3k2,且 3k2≠1, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),CD 中点 E(x0,y0), ∴x1+x2= 6km 3km m , 2,∴x0= 2,y0= 1-3k 1-3k 1-3k2

由题意知 AE 垂直平分 CD, m +1 1-3k2 ∴kAE· k=-1,即 3km · k=-1,∴3k2=4m+1, 1-3k2 代入 m2+1>3k2 得 m2+1>4m+1,∴m<0 或 m>4, 1 这时 3k2≠1,又∵4m+1=k2>0,∴m>-4, 1 ∴m 的取值范围是(-4,0)∪(4,+∞). 21. (本小题满分 12 分)(文)(2013· 全国大纲理, 21)已知双曲线 C: x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6

(1)求 a、b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、 两点, B 且|AF1| =|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列. a2+b2 c [解析] (1)由题设知a=3,即 a2 =9,故 b2=8a2. 所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2. 将 y=2 代入上式,求得 x=± 由题设知,2 1 a2+2.

1 a2+2= 6,解得 a2=1.

所以 a=1,b=2 2. (2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8 ①

由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得, (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 9k2+8 6k2 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1·2= 2 x . k -8 k -8
2 于是|AF1|= ?x1+3?2+y1= ?x1+3?2+8x2-8=-(3x1+1), 1

|BF1|= ?x2+3?2+y2= ?x2+3?2+8x2-8=3x2+1. 2 2 由|AF1|=|BF1|得,-(3x1+1)=3x2+1, 2 6k2 2 即 x1+x2=-3,故 2 =-3, k -8 4 19 解得 k2=5,从而 x1·2=- 9 . x
2 由于|AF2|= ?x1-3?2+y1= ?x1-3?2+8x2-8=1-3x1, 1

|BF2|= ?x2-3?2+y2= ?x2-3?2+8x2-8=3x2-1. 2 2

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|· 2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. |BF 因而|AF2|· 2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列. |BF (理)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离 的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1、l2,设 l1 与轨迹 → → C 相交于点 A、B,l2 与轨迹 C 相交于点 D、E,求AD· 的最小值. EB [解析]

(1)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 ?x-1?2+y2-|x|=1. 化简得 y2=2x+2|x|. 当 x≥0 时,y2=4x; 当 x<0 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程

为 y=k(x-1).
?y=k?x-1?, ? 由? 2 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ? ?y =4x

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是上述方程的两个实根,于是 4 x1+x2=2+k2,x1x2=1. 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为-k . 设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1. → → → → → → 故AD· =(AF+FD)· +FB) EB (EF → → → → → → → → =AF· +AF· +FD· +FD· EF FB EF FB → → → → =|AF|· |+|FD|· | |FB |EF =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4 =1+(2+k2)+1+1+(2+4k2)+1 1 =8+4(k2+k2)≥8+4×2 1 k2·2=16. k

→ → 1 当且仅当 k2=k2,即 k=± 时,AD· 取最小值 16. 1 EB 22.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 德阳市二诊)如图,在平面直角 x2 y2 坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)经过点(1,e),其中 e 为椭圆的离心率.F1、F2 是椭圆的两焦点,M 为椭圆短轴端点且△ MF1F2 为等腰直角三角形.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设不经过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,第一象限 内的点 P(1,m)在椭圆上,直线 OP 平分线段 AB,求:当△PAB 的面 积取得最大值时直线 l 的方程. x2 y2 [解析] (1)∵椭圆a2+b2=1 经过(1,e), 1 e2 ∴a2+b2=1, c 1 c2 又 e=a,∴a2+a2b2=1,解之得 b2=1, x2 2 ∴椭圆方程为a2+y =1. 又△MF1F2 为等腰直角三角形, ∴b=c=1,a= 2, x2 2 故椭圆方程为 2 +y =1. x2 2 (2)由(1)可知椭圆的方程为 2 +y =1, 2 故 P(1, 2 ),

由题意,当直线 l 垂直于 x 轴时显然不合题意. 设不经过原点的直线 l 的方程 y=kx+t(t≠0)交椭圆 C 于 A(x1,1), y B(x2,y2),

?x +y2=1, 由? 2 ?y=kx+t.

2

消去 y 得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,

Δ=(4kt)2-4(1+2k2)· 2-2)=16k2-8t2+8>0, (2t ∴x1+x2=- 4kt 2t , 2,y1+y2=k(x1+x2)+2t= 1+2k 1+2k2

2t2-2 x1x2= , 1+2k2 2 直线 OP 方程为 y= 2 x 且 OP 平分线段 AB, ∴ 2t 2 -4kt 2 × 2= 2,解得 k=- 2 1+2k 2. 1+2k

∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = ?1+k2??4-2t2?, 又∵点 P 到直线 l 的距离 d= | 2-t| =h, 1+k2

1 1 ∴S△PAB=2|AB|h=2 ? 2-t?2?4-2t2?. 设 f(t)=( 2-t)2(4-2t2) =-2t4+4 2t3-8 2t+8, 由直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点可得- 2<t< 2. 2 27 求导可得 t=- 2 时 f(t)在(- 2, 2)上有最大值 2 ,此时 S△PAB 取得最大值,

2 2 此时直线 l 的方程 y=- 2 x- 2 . x2 y2 (理)(2013· 保定市一模)设 F1、F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的 左、右焦点,M,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形 MF1NF2 的 4 周长为 4,设过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AB|=3.

(1)求|AF2|· 2|的最大值; |BF (2)若直线 l 的倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积. [解析] (1)因为四边形 MF1NF2 为菱形,又其周长为 4,故 a=1. 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4, 4 8 又因为|AB|=3,所以|AF2|+|BF2|=3, 所以|AF2|· 2|≤( |BF |AF2|+|BF2| 2 16 )=9, 2

4 当且仅当|AF2|=|BF2|=3时,等号成立. 3 2 (此时 AB⊥x 轴,故可得 A 点坐标为(- 3 ,3),代入椭圆 E 的方 y2 程 x +b2=1,
2

6 6 4 得 b= 3 <1,即当且仅当 b= 3 时|AF2|=|BF2|=3), 16 所以|AF2|· 2|的最大值为 9 . |BF (2)因为直线 l 的倾斜角为 45° ,所以可设 l 的方程为 y=x+c,其 中 c= 1-b2, y2 由(1)知椭圆 E 的方程为 x +b2=1.
2

所以,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组

?y=x+c, ? 2 y2 ?x +b2=1.

化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0, -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = , 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 l 的斜率为 1,所以|AB|= 1+k2|x1-x2|, 4 8 即3= 2|x1-x2|,所以9=(x1+x2)2-4x1x2,
2 2 8 4?1-b ? 4?1-2b ? 1 2 2 = 2 2- 2 ,得 b = ,b= 9 ?1+b ? 2 2, 1+b

2 2 所以 c= 2 ,l 的方程为:y=x+ 2 ,

F2 到 l 的距离 d=1, 1 1 4 2 所以 S△ABC=2|AB|×1=2×3×1=3.

一、选择题 1. (文)(2012· 浙江台州调研)“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于 直线 x+y=1”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C

[解析] 若 a=2,则直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1,反之 也成立,即“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充 要条件,故应选 C. (理)若直线 l1:x-ay+1=0 与直线 l2:(a+4)x+(2a-1)y-5=0 互相垂直,则直线 l1 的倾斜角为( A.45° C.60° [答案] D [解析] ∵l1⊥l2,∴1×(a+4)-a(2a-1)=0, ∴a=-1 或 2, ∴l1 的方程为 x+y+1=0 或 3x-3y+5=0, ∴l1 的倾斜角为 135° 45° 或 . 2. (文)已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0, 则过点 M(3,0) 的最短弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 ) B.x-y-3=0 ) B.135° D.45° 135° 或

C.2x-y-6=0 [答案] A

D.2x+y-6=0

[解析] 圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0,即(x-4)2+(y- 1)2=7, 圆心 O(4,1),设过点 M(3,0)的最短弦所在的直线为 l,∵kOM=1, ∴kl=-1, ∴l 的方程为:y=-1· (x-3),即 x+y-3=0. (理)(2012· 北京海淀期末)已知动圆 C 经过点 F(0,1)并且与直线 y =-1 相切,若直线 3x-4y+20=0 与圆 C 有公共点,则圆 C 的面积 ( ) A.有最大值为 π C.有最大值为 4π [答案] D [解析] 如图所示,由圆 C 经过点 F(0,1),并且与直线 y=-1 相切,可得点 C 的轨迹为抛物线 x2=4y,显然以抛物线 x2=4y 上任 一点为圆心可作出任意大的圆与直线 3x-4y+20=0 相交, 且此圆可 无限大,即圆 C 的面积不存在最大值,设圆 C 与 3x-4y+20=0 相 3x0-4y0+20 切于点 A,其圆心为(x0,y0),则由 AC=PC 可得 d= = 5 3x0-x2+20 1 2 0 y0+1(点 C 在直线 3x-4y+20=0 的右方),即 =4x0+1, 5 10 解得 x0=-2 或 x0= 3 (舍去),当 x0=-2 时,圆心 C 面积为(-2,1), 此时圆 C 的半径为 2,即可得圆 C 的面积的最小值为 4π,故应选 D. B.有最小值为 π D.有最小值为 4π

1 3.(2013· 山东文,11)抛物线 C1:y=2px2(p>0)的焦点与双曲线 x2 2 C2: 3 -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( 3 A. 16 2 3 C. 3 [答案] D p [解析] 抛物线焦点 A(0,2),双曲线右焦点为 B(2,0),双曲线渐 3 近 线 方 程 为 y = ± 3 x , 直 线 AB 方 程 为 px + 4y - 2p = 0 , 由 3 B. 8 4 3 D. 3 )

?y= 1 x2, ? 2p ?px+4y-2p=0.

-p2+ p4+16p2 得 M 点横坐标为 xM= , 4

1 1 3 又 y′=px,∴pxM= 3 , -p+ p2+16 3 4 3 即 = 3 ,即 p2+16= 3 +p, 4 4 3 又 p>0,平方可解得 p= 3 .

x2 y2 4.(文)以双曲线 4 -m =1 的离心率为半径,右焦点为圆心的圆 与双曲线的一条渐近线相切,则 m 的值为( 1 A.3 C.1 [答案] D x2 y2 [解析] 以双曲线 4 -m=1 的离心率为半径, 右焦点为圆心的圆 与双曲线的一条渐近线相切, ∴ m= m+4 4 ,解得 m=3,故选 D. 2 2 B.3 4 D.3 )

x2 y2 (理)(2012· 山东文,11)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离 心率为 2.若抛物线 C2:2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距 x 离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y [答案] D [解析] 本题考查双曲线离心率、抛物线方程等. a2+b2 由双曲线离心率为 2 知 a2 =4,即 b2=3a2, ∴b= 3a,∴双曲线的渐近线方程 y=± 3x, P 由抛物线焦点 F(0, 2 )到双曲线渐近距离为 2 知, p | 3×0-2| =2,∴p=8,∴抛物线方程为 x2=16y. 2 ) 16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y

x2 y2 5.“-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭圆”的( 5-m m+3 A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

x2 y2 要使方程 + =1 表示椭圆,应满足 5-m m+3

?5-m>0 ? ?m+3>0 ?5-m≠m+3 ?

,解得-3<m<5 且 m≠1,因此“-3<m<5”是“方

x2 y2 程 + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. 5-m m+3 x2 y2 6.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2)与 y 轴交于 A,B 两点,点 F 为该 椭圆的一个焦点,则△ABF 面积的最大值为( A.1 [答案] B [解析] 1 1 S △ ABF = 2 ×2b×c = 2 ×2b× 4-b2 = b2?4-b2? B.2 C.4 ) D.8

b2+?4-b2? ≤ =2,当且仅当 b2=2 时,△ABF 面积的最大值取 2,故 2 应选 B. x2 y2 7.(2012· 山东烟台模拟)已知抛物线 y =mx(m<0)与双曲线 8 - n
2

=1 有一个相同的焦点,则动点(m,n)的轨迹是( A.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 [答案] C

)

B.双曲线的一部分 D.直线的一部分

m [解析] 据题意得 8+n=( 4 )2,∴m2=16(n+8)(m<0,n>0),方 程表示的曲线为抛物线的一部分. 8.抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上,直线 x-y=0 与抛 物线 C 交于 A、B 两点,若 P(1,1)为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的 方程为( ) B.y2=2x D.y2=-2x

A.y=2x2 C.x2=2y [答案] B [解析]

设 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2),抛物线方程为 y2 =2px,则

?y2=2px1 ? 1 y1-y2 ? 2 ,两式相减可得 2p= ×(y1+y2)=kAB×2=2,即可得 x1-x2 ?y2=2px2 ?

p=1,∴抛物线 C 的方程为 y2=2x,故应选 B. 9.(2012· 河南桐柏实验中学期末)半径不等的两定圆 O1、O2 没有 公共点,且圆心不重合,动圆 O 与定圆 O1 和定圆 O2 都内切,则圆心 O 的轨迹是( ) B.椭圆 D.双曲线或椭圆

A.双曲线的一支 C.双曲线的一支或椭圆 [答案] C

[解析] 设⊙O1, 2, ⊙O ⊙O 的半径分别为 r1, 2, 且 r1>r2>0, r R, 当⊙O1 与⊙O2 外离时,由条件知⊙O1 与⊙O2 都内切于⊙O,∴|OO1| =R-r1,|OO2|=R-r2,∴|OO2|-|OO1|=r1-r2,0<r1-r2<|O1O2|,∴ 点 O 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的双曲线靠近 O1 点的一支;当⊙O2 内含于⊙O1 时,应有⊙O 内切于⊙O1,⊙O2 内切于⊙O, ∴|OO1|=r1 -R,|OO2|=R-r2,∴|OO1|+|OO2|=r1 -r2,∵O1 与 O2 不重合,且 r1>r2,∴r1-r2>|O1O2|,∴点 O 的轨迹为以 O1、O2

为焦点的椭圆,故选 C. x2 y2 10.(文)(2013· 吉大附中二模)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的 |AF1| 左、右焦点分别为 F1、F2,点 A 在双曲线上,且 AF2⊥x 轴,若|AF |=
2

5 3,则双曲线的离心率等于( A.2 [答案] A B.3

) C. 2 D. 3

[解析] 设|AF2|=3x,则|AF1|=5x, ∴|F1F2|=4x,∴c=2x, 由双曲线的定义知,2a=|AF1|-|AF2|=2x, c ∴a=x,∴e=a=2. x2 (理)(2013· 德阳市二诊)已知 P 点是 x +y =a +b 与双曲线 C: 2 a
2 2 2 2

y2 -b2=1(a>0,b>0)在第一角限内的交点,F1、F2 分别是 C 的左、右 焦点,且满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率 e 为( A.2 10 C. 2 [答案] C [解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=3x, ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=10x2=4c2, 10 ∴c= 2 x, 由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2x, 6 B. 2 5 D. 2 )

c 10 ∴a=x,∴e=a= 2 ,故选 C. x2 y2 11.(文)过原点 O 作直线 l 交椭圆a2+b2=1(a>b>0)于点 A、B, 椭圆的右焦点为 F2,离心率为 e.若以 AB 为直径的圆过点 F2,且 sin ∠ABF2=e,则 e=( 1 A.2 2 C. 3 [答案] B [解析] 记椭圆的左焦点为 F1, 依题意得|AB|=2c, 四边形 AF1BF2 |AF2| |AF2| 为矩形,sin∠ABF2= |AB| = 2c =e,|AF2|=2ce,|AF1|2=(2a-|AF2|)2 =(2a-2ce)2,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,(2a-2ce)2+(2ce)2=(2c)2,由 2 此解得 e= 2 ,选 B. x2 y2 6 (理)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 3 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA、MB 分别交椭圆于 A、B 两点,且斜率分别为 k1、k2,若 点 A、B 关于原点对称,则 k1·2 的值为( k 1 A.2 1 C.3 [答案] D b2x2 [解析] 设点 M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则 y =b - a2 ,
2 2 2 b2x1 2 2 y1=b - 2 ,所以

) 2 B. 2 3 D. 2

)

1 B.-2 1 D.-3

a

2 y-y1 y+y1 y2-y1 b 2 c2 k1·2= k · = 2 2=-a2=a2-1=e2-1= x-x1 x+x1 x -x1

1 1 -3,即 k1·2 的值为-3. k x2 y2 12.(文)(2013· 辽宁文,11)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦 点为 F,C 与过原点的直线相交于 A、B 两点,连接 AF,BF.若|AB| 4 =10,|BF|=8,cos∠ABF=5,则 C 的离心率为( 3 A.5 [答案] B [解析] 如图,由余弦定理|AF|2 =|BF|2 +|AB|2 -2|BF|· |AB|cos∠ 5 B.7 4 C.5 6 D.7 )

4 ABF=64+100-160×5=36,即|AF|=6, 4 又|OF|2 =|BF|2 +|OB|2 -2|OB||BF|cos∠ABF=64+25-80× 5 = 25,即|OF|=5,由椭圆的对称性知:

5 |AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5=c,所以 e=7,故选 B. (理)(2013· 北京理,7)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴 垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )

4 A.3 8 C.3 [答案] C

B.2 16 2 D. 3

[解析] 依题意,l 的方程为 y=1,它与抛物线相交弦的长为 4, x3 2 8 所求的面积 S=4-2? 4 dx=4-2(12|0)=3.选 C. ?
2x 0 2

二、填空题 13.(2013· 天津六校联考)如下图,ABCD 是边长为 4 的正方形, → → 动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上,则PC · 的取值范围是 PD ________.

[答案] [16,32] → → [解析] 设 AB 的中点为 O,则由条件知BC=AD, → → → → → → → PA+PB=2PO,0≤PO· ≤8,PA· =0, AD PB → → → → → → ∴PC· =(PB+BC)· +AD) PD (PA → → → → → → → → =PA· +BC· +PB· +BC· PB PA AD AD

→ → → → =AD· +PB)+|AD|2 (PA → → =AD· +16∈[16,32]. 2PO x2 y 2 14.(文)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有公共 焦点,且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为 1,则该双曲线的离 心率为________. [答案] 2 x2 y2 [解析] ∵抛物线 y =8x 的焦点为(2,0), ∴双曲线a2-b2=1(a>0,
2

b>0)中 c=2, c 又 a=1,∴e=a=2. x2 y2 (理)过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂 x2 y2 线,垂足恰好落在曲线b2+a2=1 上,则双曲线的离心率为________. [答案] 2

[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0),(c>0),一条渐近线方

?y-0=-a?x-c? ? b b 程为 y=ax,由? b ?y=ax ?

a2 ab 得垂足的坐标为( c , c ),把此点

x2 y2 a4 a2b2 坐标代入方程b2+a2=1,得b2c2+a2c2=1,化简,并由 c2=a2+b2 得 c a=b,∴e=a= 2. x2 y2 15.(2013· 福建理,14)椭圆 Γ:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点 分别为 F1、F2,焦距为 2c,若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点

M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. [答案] 3-1

[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解. 如图,由题意易知 F1M⊥F2M 且|MF1|=c,|MF2|= 3c,∴2a= c 2 ( 3+1)c,∴a= = 3-1. 3+1

16.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物 → → 线相交于 A、 两点, B 且点 P 恰为 AB 的中点, 则|AF|+|BF|=________. [答案] 10 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 x1+x2=2,且 x2=4y1, 1 y1-y2 x1+x2 1 x2=4y2,两式相减整理得, = 4 =2,所以直线 AB 的方程 2 x1-x2 为 x-2y+7=0,将 x=2y-7 代入 x2=4y 整理得 4y2-32y+49=0, → → 所以 y1+y2=8,又由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2=10. 三、解答题 x 2 y2 17.(文)(2012· 河北郑口中学模拟)椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点

6 P( 3,1),且离心率为 3 ,F 为椭圆的右焦点,M、N 两点在椭圆 C → → 上,且MF=FN,定点 A(-4,0). (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)求证:MN⊥AF. c 6 [解析] (1)由椭圆离心率为 e=a= 3 ,即 b2 6 b2 1 1-?a? = 3 ,可得a2=3. 3 1 又椭圆 C 过点 P( 3,1),∴a2+b2=1. x2 y2 解得 a =6,b =2,∴椭圆 C 的方程为 6 + 2 =1.
2 2

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),又 F(2,0), → → ∴MF=(2-x1,-y1),FN=(x2-2,y2), → → ?2-x1=x2-2 ?x1+x2=4 ? ? ∵MF=FN,∴? ,∴? , ? ? ?-y1=y2 ?y1+y2=0 x2 y2 x2 y2 1 1 1 2 2 由 M、N 在椭圆上得, 6 + 2 =1, 6 + 2 =1,两式相减得:6(x1 1 +x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0, → → ∴x1=x2,∴MN=(x2-x1,y2-y1)=(0,-2y1),AF=(6,0),∴ → → → → MN· =0,∴MN⊥AF. AF x2 y2 (理)已知 F1、F2 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭 → → 圆上位于第一象限内的一点, B 也在椭圆上, 点 且满足OA+OB=0(O

→ → 2 为坐标原点),AF2· 1F2=0.若椭圆的离心率等于 2 . F (1)求直线 AB 的方程; (2)若△ABF2 面积等于 4 2,求椭圆的方程. → → [解析] (1)由OA+OB=0 知,直线 AB 经过原点, → → 又由AF2· 1F2=0,知 AF2⊥F1F2. F 2 c 2 1 因为椭圆的离心率等于 2 ,所以a= 2 ,b2=2a2, 故椭圆方程可以写为 x2+2y2=a2. 1 设点 A 的坐标为(c,y),代入方程 x2+2y2=a2,得 y=2a, 2 1 所以点 A 的坐标为( 2 a,2a), 2 故直线 AB 的斜率 k= 2 , 2 因此直线 AB 的方程为 y= 2 x. (2)连接 AF1、BF1,由椭圆的对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2, 1 1 所以2· 2a=4 2,解得 a2=16,b2=16-8=8, 2c· x2 y2 故椭圆方程为16+ 8 =1. 18.(2013· 泗县双语中学模拟)已知方程 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求实数 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且坐标 原点 O 在以 MN 为直径的圆的外部,求实数 m 的取值范围.

[解析] (1)∵x2+y2-2x-4y+m=0 表示圆, ∴(-2)2+(-4)2-4m>0,∴m<5.
?x+2y-4=0, ? (2)由? 2 2 消去 x 得,5y2-16y+m+8=0, ? ?x +y -2x-4y+m=0,

24 由 Δ=162-20(m+8)=96-20m>0 得,m< 5 . m+8 16 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2= 5 ,y1y2= 5 , 16 于是 x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=16-8× 5 m+8 4m-16 +4× 5 = 5 , → → ∵O 在以 MN 为直径的圆的外部,∴OM· >0, ON 4m-16 m+8 8 ∴x1x2+y1y2>0,∴ 5 + 5 >0,∴m>5, 8 24 综上知,m∈(5, 5 ). 19.(2013· 陕西文,20)已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离 是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若 A 是 PB 的 中点,求直线 m 的斜率. [解析] (1)设 M 到直线 l 的距离为 d,根据题意,d=2|MN|,由 此得|4-x|=2 ?x-1?2+y2, x 2 y2 化简得 4 + 3 =1, x2 y2 所以,动点 M 的轨迹方程为 4 + 3 =1.

(2)由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). x2 y2 将 y=kx+3 代入 4 + 3 =1 中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,△=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 24k 由根与系数的关系得,x1+x2=- ,① 3+4k2 x1x2= 24 .② 3+4k2

又因为 A 是 PB 的中点,故 x2=2x1,③ 将③代入①,②,得 x1=- -8k 2 8k 12 12 2 2 3 2,x1= 2,可得( 2) = 2,且 k > , 2 3+4k 3+4k 3+4k 3+4k

3 3 3 3 解得 k=-2或 k=2,所以,直线 m 的斜率为-2或2. 20.曲线 C 是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线,已知它的一 个焦点 F 的坐标为(2,0),一条渐近线的方程为 y= 3x,过焦点 F 作 直线交曲线 C 的右支于 P、Q 两点,R 是弦 PQ 的中点. (1)求曲线 C 的方程; (2)当点 P 在曲线 C 右支上运动时, 求点 R 到 y 轴距离的最小值. x2 y2 [解析] (1)设所求双曲线 C 的方程为a2-b2=1,(a>0,b>0)

?c=2, b 由题意得:?a= 3, ?a +b =c
2 2

2

?a=1, ? 解得?b= 3, ?c=2 ?
2

y2 所以,所求曲线 C 的方程为 x - 3 =1. (2)若弦 PQ 所在直线斜率 k 存在,则设其方程为 y=k(x-2)

?y=k?x-2? 由? 2 y2 ?x - 3 =1



消去 y 得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0, 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),

? ?x +x = 4k >0, k -3 则? ?x x =4k +3>0, ? k -3
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ=16k4+4?3-k2??4k2+3?>0, 解得 k2>3,

x1+x2 2k2 6 此时点 R 到 y 轴的距离|xR|=| 2 |= 2 =2+ 2 , k -3 k -3 而当弦 PQ 所在直线的斜率不存在时,点 R 到 y 轴的距离为 2, 所以,点 R 到 y 轴距离的最小值为 2.

x2 y2 21.(文)(2013· 北京西城区模拟)如图,已知椭圆 4 + 3 =1 的左焦 点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 G, AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点.

1 (1)若点 G 的横坐标为-4,求直线 AB 的斜率; (2)记△GFD 的面积为 S1,△OED(O 为原点)的面积为 S2.试问: 是否存在直线 AB,使得 S1=S2?说明你的理由. [解析] (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+ 1). x2 y2 将其代入 4 + 3 =1 中消去 y 整理得,(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12 =0. -8k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2= 2 . 4k +3 x1+x2 -4k2 故点 G 的横坐标为 2 = 2 . 4k +3

-4k2 1 依题意得, 2 =-4, 4k +3 1 解之得 k=± . 2 (2)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,显然直线 AB 不能与 x 轴,y 轴垂直.

-4k2 3k 由(1)可得 G( 2 , 2 ). 4k +3 4k +3 3k 4k2+3 ∵DG⊥AB,∴ ×k=-1, -4k2 -x 4k2+3 D -k2 -k2 解得 xD= 2 ,∴D( 2 ,0). 4k +3 4k +3 ∵△GFD∽△OED, ∴S1=S2?|GD|=|OD|. ∴
2 -k2 -4k2 2 3k 2 ? -k ? ? 2 - 2 ? +? 2 ? =? 2 ?. 4k +3 4k +3 4k +3 ?4k +3?

整理得 8k2+9=0. 因为此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 S1=S2. x2 y 2 (理)(2013· 吉大附中二模)已知椭圆 C: 2+b2=1(a>b>0)的短轴长 a 为 2, 且与抛物线 y2=4 3x 有共同的一个焦点, 椭圆 C 的左顶点为 A, 右顶点为 B,点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AP、BP 与 直线 y=3 分别交于 G,H 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 GH 的长度的最小值; (3)在线段 GH 的长度取得最小值时,椭圆 C 上是否存在一点 T, 使得△TPA 的面积为 1,若存在求出点 T 的坐标,若不存在,说明理 由. [解析] (1)由已知得,抛物线的焦点为( 3,0),则 c= 3,又 b=1,由 a2-b2=c2,可得 a2=4. x2 2 故椭圆 C 的方程为 4 +y =1. (2)直线 AP 的斜率 k 显然存在,且 k>0,故可设直线 AP 的方程 3 为 y=k(x+2),从而 G(k-2,3).

?y=k?x+2?, 由?x2 2 ? 4 +y =1.

得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.

16k2-4 设 P(x1,y1),则(-2)x1= , 1+4k2 2-8k2 4k 所以 x1= . 2,从而 y1= 1+4k 1+4k2 2-8k2 4k 即 P( ), 2, 1+4k 1+4k2

1 又 B(2,0),则直线 PB 的斜率为-4k.

?y=- 1 ?x-2?, 4k 由? ?y=3.
所以 H(-12k+2,3).

?x=-12k+2, ? 得? ? ?y=3.

3 3 故|GH|=|k -2+12k-2|=|k+12k-4|. 3 又 k>0,k+12k≥2 3 12k=12. k·

3 1 当且仅当k=12k,即 k=2时等号成立. 1 所以当 k=2时,线段 GH 的长度取最小值 8. 1 (3)由(2)可知,当 GH 的长度取最小值时,k=2. 则直线 AP 的方程为 x-2y+2=0,此时 P(0,1),|AP|= 5. 若椭圆 C 上存在点 T,使得△TPA 的面积等于 1,则点 T 到直线 2 5 AP 的距离等于 5 , 2 5 所以 T 在平行于 AP 且与 AP 距离等于 5 的直线 l 上. 1 设直线 l:y=2x+t.

?y=1x+t, ? 2 则由? 2 x ? 4 +y2=1. ?

得 x2+2tx+2t2-2=0.

Δ=4t2-8(t2-1)≥0.即 t2≤2. |2-2t| 2 5 由平行线间的距离公式,得 5 = 5 ,

解得 t=0 或 t=2(舍去). 2 2 可求得 T( 2, 2 )或 T(- 2,- 2 ). 22.(文)(2013· 天津和平区质检)已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 1 焦点在 x 轴上,离心率为2,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4 3y 的 焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 A、B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点,设 P(-4,0), 连接 PA 交椭圆 C 于另一点 E,求证:直线 BE 与 x 轴相交于定点 M; (3)设 O 为坐标原点,在(2)的条件下, 过点 M 的直线交椭圆 C 于 → → S、T 两点,求OS· 的取值范围. OT x2 y2 [解析] (1)设椭圆 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0), 抛物线 x2=4 3y 的焦点为(0, 3),

? a -b =1 ? 2 依题意? a ?b= 3 ?
2 2

?a=2 ? ,解得? . ?b= 3 ?

x2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 =1. (2)证明:由题意可知直线 PA 的斜率存在,设直线 PA 的方程为 y =k(x+4).

?y=k?x+4?, 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1,

消去 y 得,

(4k2+3)x2+32k2x+64k2-12=0.① 设点 A(x1,y1),E(x2,y2),则 B(x1,-y1),

直线 BE 的方程为 y-y2= 令 y=0,得 x=x2-

y2+y1 (x-x2). x2-x1

y2?x2-x1? . y2+y1

将 y1=k(x1+4),y2=k(x2+4)代入上式并整理, 2x1x2+4?x1+x2? 得 x= .② x1+x2+8 64k2-12 32k2 由①得 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,将其代入②,整理得 4k +3 4k +3 ?128k2-24?+4· ?-32k2? x= =-1. -32k2+8· 2+3? ?4k ∴直线 BE 与 x 轴相交于定点 M(-1,0). (3)当过点 M 的直线 ST 的斜率存在时, 设直线 ST 的方程为 y=m(x+1),且 S(xS,yS),T(xT,yT)在椭圆 C 上,

?y=m?x+1? 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1

,得(4m2+3)x2+8m2x+4m2-12=0,

则 Δ=(8m2)2-4(4m2+3)(4m2-12)=144(m2+1)>0. 4m2-12 8m2 故有 xS+xT=- 2 ,xSxT= 2 ,从而 4m +3 4m +3 ySyT=m2(xS+1)(xT+1) 9m2 =m [(xS+xT)+xSxT+1]=- 2 . 4m +3
2

→ → ∴OS· =xSxT+ySyT OT 5m2+12 5 33 =- 2 =-4- . 4m +3 4?4m2+3?

→ → 5 由 m ≥0,得OS· ∈[-4,-4). OT
2

当过点 M 的直线 ST 的斜率不存在时, → → 3 3 直线 ST 的方程为 x=-1,S(-1,2),T(-1,-2),此时OS· OT 5 =-4, → → 5 ∴OS· 的取值范围是[-4,-4]. OT x2 y 2 (理)(2013· 江西八校联考)设椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的左、右 焦点分别是 F1、 2, F 下顶点为 A, 线段 OA 的中点为 B(O 为坐标原点), 如图.若抛物线 C2:y=x2-1 与 y 轴的交点为 B,且经过 F1,F2 点.

(1)求椭圆 C1 的方程;

4 (2)设 M(0,-5),N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 P、Q 两点,求△MPQ 面积的最大值. [解析] (1)由题意可知 B(0,-1),则 A(0,-2),故 b=2. 令 y=0 得 x2-1=0 即 x=± 1,则 F1(-1,0),F2(1,0),故 c=1. 所以 a2=b2+c2=5, x 2 y2 于是椭圆 C1 的方程为: 5 + 4 =1. (2)设 N(t,t2-1),由于 y′=2x 知直线 PQ 的方程为: y-(t2-1)=2t(x-t). 即 y=2tx-t2-1. 代入椭圆方程整理得:4(1+5t2)x2-20t(t2+1)x+5(t2+1)2-20= 0, Δ=400t2(t2+1)2-80(1+5t2)[(t2+1)2-4] =80(-t4+18t2+3), 5t?t2+1? 5?t2+1?2-20 x1+x2= ,x1x2= , 1+5t2 4?1+5t2? 故|PQ|= 1+4t2|x1-x2| = 1+4t2· ?x1+x2?2-4x1x2 5· 1+4t2· -t4+18t2+3 = . 1+5t2 设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 4 1 |5-t2-1| |t2+5| d= = . 1+4t2 1+4t2 1 所以,△MPQ 的面积 S=2|PQ|· d

1 =2

5· 1+4t · -t +18t +3 · 1+5t2 1+4t2

2

4

2

1 t2+5

5 5 = 10 -t4+18t2+3= 10 -?t2-9?2+84 5 105 ≤ 10 84= 5 . 当 t=± 时取到“=”,经检验此时 Δ>0,满足题意. 3 105 综上可知,△MPQ 的面积的最大值为 5 .


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