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2014世纪金榜课时提升作业(四十一) 第六章 第六节


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课时提升作业(四十一)
一、填空题 1.在证明命题“对于任意角θ ,cos4θ -sin4θ =cos2θ ”的过程:“cos4θ -sin4θ =(cos2θ +sin2θ )·(cos2θ -sin2θ )=

cos2θ -sin2θ =cos2θ ”中应用了 __________(填分析法或综合法). 2.(2013·宿迁模拟)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ________条件(填“充分” “必要” “充要”). 3.设 a ? 3 ? 2, b ? 6 ? 5, c ? 7 ? 6, 则 a,b,c 的大小顺序是 .

4.(2013· 泰州模拟)在不等边三角形 ABC 中,a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结 论,三边 a,b,c 应满足的条件是 a2 5.如果 a<0,b<0,则必有 a3+b3
1 b

b2+c2(填不等号). a2b+ab2(填不等号).
1 c 1 a

6.已知 a,b,c 都是负数,则三数 a ? , b ? , c ? 至少有一个不大于 7.(2013·徐州模拟)如果 a a ? b b ? a b ? b a, 则 a,b 应满足的条件 是 . .

.

8.设 P ? 2,Q ? 7 ? 3,R ? 6 ? 2, 则 P,Q,R 的大小顺序是

9.(2013·扬州模拟)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的 m,n∈N* 都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1).
-1-

给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有 .

10.设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保 证 “若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y” 为真命题的是 ①x 为直线,y,z 为平面; ②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面; ④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. 二、解答题 11.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至少有一个是 负数. 12.已知 a 是整数,a2 是偶数,求证:a 也是偶数.
a ? mb 2 a 2 ? mb 2 ) ? . 13.已知 m>0,a,b∈R,求证: ( 1? m 1? m

(填写所有正确条件的代号).

答案解析
1.【解析】从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 答案:综合法 2.【解析】由分析法定义可知逐步寻求使结论成立的充分条件. 答案:充分 3.【思路点拨】首先通过分子有理化将根式的差转化成根式的和,再比较根式和
-2-

的大小,最后转化成根式差的大小. 【解析】? a ? 3 ? 2 ?
1 , 6? 5 1 c? 7? 6? , 7? 6 ? a ? b ? c. b? 6? 5?

1 , 3? 2

答案:a>b>c 4.【解析】当 A 为钝角时,cos A<0,
b2 ? c2 ? a 2 2 2 2 ? 0, 于是 a >b +c . 因此 2bc

答案:> 5.【解析】(a3+b3)-(ab2+a2b) =(a3-ab2)-(a2b-b3) =a(a2-b2)-b(a2-b2) =(a2-b2)(a-b) =(a-b)2(a+b), 由于 a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0, 于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0, 故 a3+b3≤ab2+a2b. 答案:≤ 6.【解析】假设三个数都大于-2, 即 a ? ? ?2, b ? ? ?2, c ? ? ?2, 则得到
1 1 1 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6. b c a
-3-

1 b

1 c

1 a

而 a,b,c 都是负数,
1 1 1 所以(a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) b c a 1 1 1 ? (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) a b c ? ?2 ?2

? ? a ??

1 ?2 ?a

? ? b ??

1 ?b

? ? c ??

1 ? ?6, ?c

这与 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6 矛盾,因此三个数中至少有一个不大于-2. 答案:-2 【方法技巧】适用反证法证明的四类数学命题 (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题. (2)关于惟一性、存在性的命题. (3)结论以“至多” “至少”等形式出现的命题. (4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题. 【变式备选】设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则实数 a,b,c 中至少有一个不小 于 .
1 3 1 3 1 3 1 3

1 b

1 c

1 a

【解析】假设 a,b,c 都小于 ,即a ? , b ? , c ? , 则 a+b+c<1,这与 a+b+c=1 矛盾,因此实数 a,b,c 中至少有一个不小于错误! 未找 到引用源。. 答案:
1 3

7.【解析】 a a ? b b ? a b ? b a
?

?

a? b

??
2

a ? b ? 0 ? a ? 0, b ? 0, 且a ? b.

?

答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 8.【解析】? P ?
4 2 2 ,Q ? 4 4 ,R ? , 7? 3 6? 2
-4-

而 2 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 7, ? 1 1 ? , 2 2 2? 6 3? 7 4 4 4 故 ? ? , 2 2 2? 6 3? 7 即P ? R ? Q. ? 1

答案:P>R>Q 9.【解析】在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 则 f(1,5)=f(1,4)+2=?=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=?=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③ 10. 【解析】 ①中 x 为直线,y,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z,而 x ? y,∴必有 x∥y 成立, 故①正确. ②中若 x,y,z 均为平面,由墙角三面互相垂直可知②是错的. ③x,y 为直线,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z 可知 x∥y,③正确. ④x,y 为平面,z 为直线,z⊥x,z⊥y,则 x∥y 成立,④正确. ⑤x,y,z 均为直线,x⊥z 且 y⊥z,则 x 与 y 还可能异面,垂直,故⑤不正确. 答案:①③④ 11.【证明】假设 a,b,c,d 都是非负数,因为 a+b=c+d=1, 所以 a,b,c,d∈[0,1],
a?c b?d , bd ? bd ? , 2 2 a ?c b?d 所以 ac ? bd ? ? ? 1, 2 2

所以 ac ? ac ?

-5-

这与已知 ac+bd>1 相矛盾,所以原假设不成立,即证得 a,b,c,d 中至少有一个是 负数. 12.【证明】(反证法)假设 a 不是偶数,即 a 是奇数. 设 a=2n+1(n∈Z),则 a2=4n2+4n+1, ∵4(n2+n)是偶数, ∴4n2+4n+1 是奇数,这与已知 a2 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a 一定是偶数. 13.【证明】∵m>0,∴1+m>0,
a ? mb 2 a 2 ? mb2 ) ? , ∴要证 ( 1? m 1? m

即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立, 故(
a ? mb 2 a 2 ? mb 2 ) ? . 1? m 1? m

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