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高二理科数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题


选修 2-1 第二章《圆锥曲线与方程》测试题
班级 姓名 座号 分数
1 ,则椭圆的方程是( 3
) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为

A.

x2 y2 + =1 144 128

B.

x2 y2 + =1 36 20 x2 y2 D. + =1 36 32
)

x2 y2 C. + =1 32 36
2.双曲线

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( a2 b2

A.

2

B. 3

C. 2

D.

3 2

3.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆” ,那么( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 2 2 4.椭圆 4 x +y =k 两点间最大距离是 8,那么 k=( ) A.32 B.16 C.8 D.4

x2 y2 ? ? 1 的图象是双曲线,那么 k 的取值范围是( 5.已知方程 2 ? k k ?1
A.k<1
2



B.k>2

C.k<1或 k>2

D.1<k<2

6.过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 ,则 P 1P 2 的 值为 ( A.5 ) B.6 C.8 D.10 )

2 7.圆心在抛物线 y ? 2 x ( y ? 0 )上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是(

A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 ?0 4


8. 已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 , 它们所表示的曲线可能是 (
2 2







D

2 9.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有 4

( ) A.4 条

B.3 条

C.2 条
2 2

D.1 条

10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ y=-2x-3 有交点的所有曲线是 A.①③ B.②④

x x ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直线 2 2 ( ) C.①②③ D.②③④

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分,灯口直径 60cm,灯深 40cm,则光源放置位置为灯轴上 距顶点 处. .

12.点 M 到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的 2 倍,则点 M 的轨迹方程是

13 . 过 原 点 的 直 线 l , 如 果 它 与 双 曲 线 是 14.已知椭圆 .

y2 x2 ? ?1 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围 3 4

x2 y2 x2 y2 + + =1 与双曲线 - =1(m,n,p,q∈R )有共同的焦点 F1、F2,P 是椭圆和 m n p q


双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分) 15、求适合下列条件的双曲线的标准方程:

5 ; 4 3 (2) 顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y ? ? x . 2
(1) 焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为

16、已知椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形,焦点到同侧顶点的 距离为 3 ,求椭圆的方程。

17、正方形的一条边 AB 在直线 y=x+4 上,顶点 C、D 在抛物线 y =x 上,求正方形的边长.

2

18、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发 生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上).

19、设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双曲线 C1 上的任 a2 b2

意一点,引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点 Q. (1)求 Q 点的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹为 C2,C1、C2.的离心率分别为 e1、e2,当 e1 ?

2

时,e2 的取值范围.

1 20、已知动点 P 与双曲线 x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使|MA|=|MB|, 试求 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、5.625cm 12、2x+y=0 或 2x-y=0 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分) 13、k<- 3 /2 或 k> 3 /2 14、m-p

x2 y2 15、解:(1)焦点在 x 轴上,设所求双曲线的方程为 2 ? 2 =1. a b

?2b ? 12, ? 由题意,得 ? c 5 ? . ? ?a 4

解得 a ? 8 , c ? 10 .

∴ b ? c ? a ? 100? 64 ? 36 .
2 2 2

所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1. 64 36
x2 y2 ? =1 a2 b2

(2)方法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为

?2a ? 12, ? 由题意,得 ? b 3 ? . ? ?a 2

解得 a ? 3 ,

b?

9 . 2

所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 81 4

同理可求当焦点在 y 轴上双曲线的方程为

y2 x2 ? ? 1. 9 4

方法二:设以 y ? ?

3 x2 y2 x 为渐近线的双曲线的方程为 ? ? ? (? ? 0) 2 4 9

9 . 4 x2 y2 ? ? 1. 此时,所要求的双曲线的方程为 9 81 4
当 ? >0时, 2 4? ? 6 ,解得, ? = 当 ? <0时, 2 ? 9? ? 6 ,解得, ? =-1. 16、解:? 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形

? 短轴的一个端点与一个焦点的连线和长轴的夹角是 60?

? tan60 ? ?

b c

b ? 3c

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4c2 b 2 ? 3c2

? 焦点到椭圆的最短距离就是焦点到同侧的长轴顶点的距离 3
? a ? c ? 3 a ? 3 ? c a 2 ? 4c2 ? ( 3 ? c)2 ? 3 ? 2 3c ? c2 ? 4c2
即 3c - 2 3c - 3 ? 0
2

c>0 解得: c1 ? 3

c2 ? ?

3 (舍去) 3

c? 3

? 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 12 9 9 12

17、 解: 设 CD 的方程为 y=x+b,由 ?

?y ? x ? b ?y ? x
2

消去 x 得 y -y+b=0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 y1+y2=1,y1y2=b,

2

∴|CD| = 1 ?

1 k2

( y1 ? y1 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 2 ? 8b ,又 AB 与 CD 的距离 d=

4?b 2

,由 ABCD 为正方形有

2 ? 8b =

4?b 2

,解得 b=-2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

18、[解析]:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分 别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360
2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 x ? y ? 1 上, 依题意得 a=680, c=1020, 2 2

a

b

2 ? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340 , 故双曲线方程为 : x 2?
2 2 2 2 2 2

y2 5 ? 3402

680

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,
即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10

答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680 10m 处.

19、[解析]: (1)解法一:设 P(x0,y0), Q(x ,y )
? A(?a,0), B(a,0), QB ? PB, QA ? PA y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1??(1) ? 0 ?? ? y0 ? y ? ?1??(2) ? ? x0 ? a x ? a
由(1) ? (2)得 : y2 0 x2 ? a2 x2 ? a2 0 ? y2 ? 1?? (3)

?

x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1,?

y2 0 x2 ? a2 0

?

b2 a2

代入(3)得b 2 y 2 ? x 2 a 2 ? a 4 , 即a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4

经检验点 (?a,0), (a,0) 不合,因此 Q 点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(除点(-a,0),(a,0)外). 解法二:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA ∴

y0 y ? ? ?1 ??(1)连接 PQ,取 PQ 中点 R, x0 ? a x ? a

? PA ? QA, QB ? PB,?| RA |?

1 1 | PQ |, | RB |? | PQ |,?| RA |?| RB |,? R点在y轴上 2 2 x ?x y y x2 ? a2 ? 0 ? 0, 即x 0 ? ? x ?? (2), 把(2)代入(1)得 : 2 0 2 ? ?1,? y 0 ? 0 ?? (3) 2 y a ?x 把(2)(3)代入
2 2 x0

a

2

?
2

2 y0

b

2 2

? 1, 得
4

x2 a
2

?

(x 2 ? a 2 ) 2 y b
2 2

? 1.? x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0

整理得 : a x ? b y ? a ,? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除去点(?a,0), (a,0)外)
(2)解 :由(1)得C 2的方程为 x2 a2 ? y
2

2

a2 ? ? 1, e2 ?

a4 b2

2 2 1 b 2 ? 1? a ? 1? a ? 1? 2 2 2 2 a b c ? a2 e ?1

a4

? e1 ? 2 ,

2 ? e2 ? 1?

1 ( 2 ) 2 ?1

? 2,

?1 ? e ? 2

20、[解析]:(1)∵x2-y2=1,∴c= 2.设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a> 2 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2 2a2-4 由余弦定理有 cos∠F1PF2= = = -1 2|PF1||PF2| 2|PF1||PF2| |PF1||PF2| |PF1|+|PF2| 2 ∵|PF1||PF2|≤( ) =a2,∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a2. 2 2a2-4 2a2-4 1 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 2 -1,由题意 2 -1=- ,解得 a2=3,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1 a a 3 x2 2 ∴P 点的轨迹方程为 +y =1. 3 ? x2 ① 2 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ? ? y ? 1 ② 将②代入①得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0 (*) x1+x2 -3km m 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点 Q(x0,y0)的坐标满足:x0= = ,y =kx0+m= 2 1+3k2 0 1+3k2 3km m 即 Q(- ) ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, 2, 1+3k 1+3k2 m +1 1+3k2 1+3k2 ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 3km 2 - 1+3k2 2 即 (6km) -4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ ,将③代入④得 1+3k2 2 12[1+3k2-( ) ]>0,解得-1<k<1,由 k≠0,∴k 的取值范围是 k∈(-1,0)∪(0,1). 2
?3 ? y ? kx ? m ?


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