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衡水中学2013届高三上学期期中考试数学(理)


河北衡水中学 2013 届高三上学期期中考试 数 学(理) 试 题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) 1、已知集合 R,若集合 A ? {x || x ? 2 ? 3}, B ? {x | 2 x ? 1 |? 1}, 则CR ( A ? B) 为 A.{x | 1< x ? 5}

B.{x | x ? ??1 或 x> 5} C.{x | x? ? —1 或 x> 5} D.{x??—1 ? x ? 5} 2.命题 P:若 a, b? ? R, 则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分不必要条件;命题 q:不等式

|

x x 的解集为 {x |0<x<1},则 |? x ?1 x ?1

A.“p 或 q” 为假命题B.“p 且 q” 为真命题 A.“ ? p 或 q” 为假命题 B.“ ? p 且 q” 为真命题 3.已知? an } 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10, 则a1 a7 ? 2a3 a7 ? a3 a9 的值为 { A.10 4. 已知直线 B.20 C.60 D.100

? 和平面? ? ,? ,? ∩ ? =l,a ? ? ,a ? ? ,a 在 ? ,? 内的射影分别为直线 b
B.相交或异面 D.相交﹑平行或异面

和 c ,则 b 和 c 的位置关系是 A.相交或平行 C.平行或异面 5.已知 tan ? ? 2, 则

sin(

? ?
2 2

? ? ) ? cos(? ? ? )
等于

sin(
A.2

? ? ) ? sin(? ? ? )
C.0 D.

B.—2

2 3

6. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,实数解, 则这个几何的体积 为 A.

(4 ? ? ) 3 3

B. (4 ? ? ) 3

C.

(8 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 6

D.

7.函数 y ? a x ?3 ? 2a (a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 m,n>0 则 3m??+n 的最小值为 ( ) A.13 B.16 C.11+ 6 2 D.28

x y ? ? ?1上, 且 m n

8.若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? ax ? ) 有最小值,则实数 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (0,1) ? (1,2) C. (1,2) D. [2, ??)

1 2

9.在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起, 使 A、B 间的距离为

2 ,则 M 到面 ABC 的距离为
3 2
3 2

A.

1 2

B.

C.1

D.

10.若 函 数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x, x ? R, 又f (a ) ? ?2, f ( ? ) ? 0, 且| ? - ? |的 最

3? , 则正数? 的值为 4 1 2 A. B. 3 3
小值为 心 , 动 点 P 满 足 OP ?

C.

4 3

D.

3 2

11.已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 三 角 形 ABC 的 重

??? ?

? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? ( OA ? OB ? 2OC ) ,则点 P 一定为三角形的 3 2 2

A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 12.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有 5 个不

同的实数解,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2) C. (1,2) 二.填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分

D. (0,3)

? 3x ? y ? 0 ? ? 13.若点 P(x,y)满足线性约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, 点A(3, 3) , ?y ? 0 ? ?
O 为坐标原点,则 OA ? OP 的最大值_________. 14.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 CEFB 为正方形, 平面 ABCD⊥平面 CEFB,CE=1,∠AED=30°,则异面直 线 BC 与 AE 所成角的大小_________.

??? ??? ? ?

15











{an }满足an ? 3an ?1 ? 3n ? 1(n ? N *, n ? 2)





a1 ? 5, 若bn ?

1 (an ? t )(n ? N *)且 {bn } 的等差数列,则 t=_________. 3n

16.已知函数 f ( x) 的定义域为?[-1,5],部分对应值如下表, f ( x) 的导函数 y?= f ?( x) 的图 像如图所示,给出关于 f ( x) 的下列命题:

①函数 y ? f ( x) 在 x=2 时,取极小值 ②函数 f ( x) 在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函 数,③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点④如果当 x ? [?1, t ] 时, f ( x) 的 最大值是 2,那么 t 的最大值为 5,其中所有正确命题序号为_________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2c ? a )cosB ? b cos A ? 0. (1)若 b ? 7, a ? c ? 13 求此三角形的面积; (2)求 3 sin A ? sin(C ?

?
6

) 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 2, a5 ? 128, 若bn ? log 2 an , 数列{bn }的前n 项的和为 Sn。 (1)若 S n ? 35, 求n 的值; (2)求不等式 S n ? 2bn 的解集。

19. (本小题满分 12 分)

? 1 ?6 ? x 0 ? x ? c ? 工厂生产某种产品, 次品率 p 与日产量 x (万件) 间的关系为: p ? ? (c ?2 x?c ?3 ?
为常数, 且 0<c<6) 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元, . 每出现 1 件次品亏损 1. 元. 5 (1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=

次品数 ? 100% ) 产品总数

20. (本小题共 12 分) 四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E 为 BB1 延长 线上的一点,D1E⊥D1AC. (Ⅰ)求二面角 E—AC—D1 的大小; (Ⅱ)在 D1E 上是否存在一点 P,使 A1P// 面 EAC ?若存在,求 D1P : PE 的值;不存在, 说明理由.

21. (本小题共 12 分) 如图,设 S—ABCD 是一个高为 3 的四棱锥,底面 ABCD 的边长为 2 的正方形,顶点 S 在 底面上的射影是正方形 ABCD 的中心,K 是棱 SC 的中点,过 AK 作平面与线段 SB,SD 分别 交于 M,N(M,N 可以是线段的端点) 。 (1)求直线 AK 平面 SBC 所成角的正弦值; (2)当 M 是 SB 中点时,求四棱锥 S-AMKN 的体积.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中a 为常数. (1) 当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的最大值; (2) 若 f ( x) 在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,试推断方程 | f ( x) |?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2


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