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黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的虚部是( A. ?2 B.2 C. ? 3i D. ?3 ) )

2.已知集合 A ? {1,10, A. ?

1 } , B ? {y y ? lg x, x ? A} ,则 A ? B ? ( 10
C. ?1? D. ?

?1? ? ?10 ?

B. ?10?

3.已知幂函数 y ? xa 图象的一部分如下图, 且过点 P (2, 4) , 则图中阴影部分的面积等于 ( A.



16 3

B.

8 3

C.

4 3

D.

2 3

4.设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,1 ? A. 15
0

?

?

? ? 5 ) ,且 a ? b ,则锐角 ? 为( 4sin ?
0



B. 30
2

0

C. 45

0

D. 60

5.直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 ( a ? 3 )交于 A, B 两点,且弦 AB 的中点为 (0,1) ,
2

则直线 l 的方程是( A. y ? ?2 x ? 1

) B. y ? 2 x ? 1 )
-1-

C. y ? ? x ? 1

D. y ? x ? 1

6.如图,程序框图输出的结果是(

A.12

B.132

C.1320

D.11880

7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( A. )

(4 ? ? ) 3 3

B. (4 ? ? ) 3

C.

(8 ? ? ) 3 2

D.

(8 ? ? ) 3 6

8.下列命题中正确命题的个数是(



(1)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? (2)在区间 [0, ? ] 上随机取一个数,则事件“ tan x cos x ?

1 ? p; 2

1 5 ”发生的概率为 ; 2 6

(3)两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 越接近 1; (4) f ( x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x ) 的最小正周期是 ? . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

x2 y 2 9.若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3x 无交点,则离心率 e 的取值范围( a b
A. (1, 2) B. (1, 2] C. (1, 5) D. (1, 5]

-2-

10.在二项式 ( x ?

4

2 n ) 的展开式中只有第五项的二项式系数最大,把展开式中所有的项重 x


新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为( A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

0 11.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD , ?PAB 和 ?PAD 都

是等边三角形,则异面直线 CD 和 PB 所成角的大小为( A. 90
0



B. 75

0

C. 60

0

D. 45

0

12.已知函数 f ( x) ? ? ( )

?kx ? 1, x ? 0, 则关于函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数的判断正确的是 ?ln x, x ? 0.

A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点; B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点; C.无论 k 为何值,均有 2 个零点; D.无论 k 为何值,均有 4 个零点. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在机读卡上相应的位置.) 13.命题“存在 x0 ? 1 ,使得 x0 ? x0 ? 2016 ? 0 ”的否定是_________.
2

14.假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋 牛奶进行检验,利用随机数表抽样时,先将 800 袋牛奶按 000,001,?,799 进行编号,如 果从随机数表第 8 行第 7 列开始向右读,请你写出抽取检测的第 5 袋牛奶的编号_________. (下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 76
-3-

6301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 79 3321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54

?y ?1 ? x y 15.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 ? 4 的最大值为_________. ?x ? y ? 2 ? 0 ?
16.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c 且满足

? 2b ? 3c cos C , 若B ? , ? 6 cos A 3a

BC 边上中线 AM ? 7 ,则 ?ABC 的面积为_________.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: Sn ? 2an ? 2 ( n ? N )
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (n ?1)an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个学校高三年级分别有 1100 人、1000 人,为了解两个学校高三年级全体学生在该地 区三模考试的数学成绩情况,采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了 105 名学生的数学 成绩,并作出了如下的频数分布表,规定考试成绩在 [120,150] 内为优秀. 甲校: 分 组 频 数 乙校: 分 组 频 数 (1)计算 x , y 的值; 1 2 9 8 10 10 2 3 10 15 15

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

x

3

1

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140)
y

[140,150]

3

-4-

(2)由以上统计数据填写下面列联表,若按是否优秀来判断,是否有 97.5%的把握认为两个 学校的数学成绩有差异?

甲校 优秀 非优秀 总计

乙校

总计

(3)若将频率视为概率,从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩,其中优秀的人数为

X ,求 X 的分布列和期望.
参考数据:

P( K 2 ? k )
k
参考公式: K ?
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? 2, AA1 ? 4 , E 为 AA1 的中点, F 为 BC 中点.
(1)求证:直线 AF // 平面 BEC1 ; (2)求平面 BEC1 和平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

-5-

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,过焦点 F 作动直线交 C 于 A, B 两点,过 A, B 分别作圆

p D : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 P, Q ,若 AB 垂直于 x 轴时, 2

1 1 ? ? 4. sin ?PAF sin ?QBF
(1)求抛物线方程; (2)若点 H 也在曲线 C 上, O 为坐标原点,且 OA ? OB ? tOH , HA ? HB ? 8 ,求实数 t 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)
2 2 设函数 f ( x) ? a( x ? 1) ln( x ? 1) ? bx ( x ? ?1) ,曲线 y ? f ( x) 过点 (e ?1, e ? e ? 1) ,且在

点 (0, 0) 处的切线方程为 y ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ;
2

(3)若当 x ? 0 时, f ( x) ? mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

AB 是 ? O 的直径, OC ? AB , C , F 是 ? O 上的两点, 如图, 过点 F 作 ? O 的切线 FD 交 AB
的延长线于点 D ,连接 CF 交 AB 于点 E .

-6-

求证: DE ? DB ? DA
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? ?2 ? t ( t 为参数)直线 l 与曲线 ? ? y ? 2 ? 3t

C : ( y ? 2)2 ? x2 ? 1交于 A, B 两点.
(1)求 AB 的长; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2, 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a , a ? R (1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)当 a ? 1 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ? 1 ? 2m 成立,求实数 m 的取 值范围.

3? ) ,求 4

-7-

1 D

2 C
2

3 B

4 B

5 D

6 C 14.175

7 D

8 B 15.32

9 B 16.
n?1

10 D

11 A

12 B

13. ?x ? 1, x ? x ? 2016? 0 17. (Ⅰ) an ? 2n ; ?5 分

3

(Ⅱ) Tn ? ? n ? 2? 2

? 4 ?5 分

2 18.(1) x ? 6, y ? 7 ;?2 分(2) K ? 6.109 ? 5.024,?7 分

(3) X ~ B (3, ) , EX ?

2 5

6 ...12分 5

19.法一 (Ⅰ) 取 BC1 的中点为 R , 连接 RE, RF , 则 RF // CC1 ,AE // CC1 , 且 AE ? RF , ? 3分 则四边形 AFRE 为平行四边形,则 AF // RE ,即 AF // 平面 REC 1 .?6 分 (Ⅱ)延长 C1 E 交 CA 延长线于点 Q ,连接 QB ,则 QB 即为平面 BEC 1 与平面 ABC 的交线, 且 BC ? BQ, C1 B ? BQ ,则 ?C1 BC 为平面 BEC 1 和平面 ABC 所成的锐二面角的平面 角.??8 分

-8-

在 ?BCC1 中, cos?C1 BC ?

2 2 5

?

5 .??????????12 分 5

法二 取 B1C1 中点为 S ,连接 FS ,以点 F 为坐标原点, FA 为 x 轴, FB 为 y 轴, FS 为 z 轴 建立空间直角坐标系, 则

A( 3,0,0), B(0,1,0), F (0,0,0),C(0,?1,0)



A1 ( 3,0,4), B1 (0,1,4),C(0,?1,4), E( 3,0,2) ,?2 分
(Ⅰ)则 AF ? (? 3,0,0) , BE ? ( 3,?1,2), BC1 ? (0,?2,4) , 设 平 面 B E1 C 的 法 向 量 为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 m ? BE ? 0, m ? BC1 ? 0 , 即

? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?4 分 ? ?? 2 y1 ? 4 z1 ? 0
令 y1 ? 2 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1,即 m ? (0,2,1) ,所以 AF ? m ? 0 ,故直线 AF // 平面 BEC 1 .? 6分 (Ⅱ)设平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) ,则 cos? ? 20. (Ⅰ) y 2 ? 4 x ;4 分 (Ⅱ) l AB : x ? m y ? 1, A? ?
2 ? y 2 ? 4 x ? y1 ? y 2 ? 4m ? y12 ? ? y2 2? ? ? 则联立: ? ?6 分 , y1 ? , B , y ? ? ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? x ? m y ? 1 ? y1 y 2 ? ?4

m?n mn

?

5 .?12 分 5

? BA ? 8 可得 m 2 ? 1


?8 分,又可得 t ?

2m 2 2m 2 ? 1

?10 分,所以 t ? ? 0, ?

? ?

2? 3?

?12

21. 解 : ( Ⅰ )

f ?( x) ? 2a( x ? 1) ln(x ? 1) ? a( x ? 1) ? b , ? f ?(0) ? a ? b ? 0 ,

f (e ?1) ? ae2 ? b(e ?1) ? a(e2 ? e ? 1) ? e2 ? e ? 1 ? a ? 1 , b ? ?1 . ?4 分
( Ⅱ ) f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x , 设 g ( x) ? ( x ? 1) l nx(? 1) ? x ? x
2 2 2

, ( x ? 0) ,

g ?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x , ( g ?( x))? ? 2ln( x ? 1) ? 1 ? 0 ,? g ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?( x) ? g ?(0) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,? g ( x) ? g (0) ? 0 .? f ( x) ? x 2 .?

-9-

8分 (Ⅲ)设 h( x) ? ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x ? mx2 , h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ? 2mx , (Ⅱ) 中知 ( x ? 1) 2 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) ,? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x ,

? h?( x) ? 3x ? 2mx,
①当 3 ? 2m ? 0 即 m ? 成立. ②当 3 ? m ? 0 即 m ?

3 时, h ?( x) ? 0 ,? h( x) 在 ?0,??? 单调递增,? h( x) ? h(0) ? 0 , 2

3 时, h?( x) ? 2( x ? 1) ln(x ? 1) ? (1 ? 2m) x , 2
2 m?3 2

h??( x) ? 2 ln(x ? 1) ? 3 ? 2m , 令 h??( x) ? 0 , 得 x0 ? e h?( x) ? h?(0) ? 0 , ? h( x)

? 1 ? 0 , 当 x ? ?0, x0 ? 时 ,

在 ?0, x0 ? 上 单 调 递 减 ? h( x) ? h(0) ? 0 , 不 成 立 . 综 上 ,

m?

3 .?12 分 2

22. 证明:连接 OF ,则 OF ? BF ,又 ?OFC ? ?OCF ,所以 ?OEC ? ?EFD ? ?DEF
2 2 所以 DE ? DF ,又 DF ? DB ? BA ,所以 DE ? DB ? BA ?10 分

所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14

? 5分 ?? 6 分所以点 P 在直线 l ,

(2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) ,

中点 M 对应参数为

t1 ? t 2 ? ?2 , 2

由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离

| PM |? 2

??10 分

24. (Ⅰ) ?2,8? ?4 分 (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1

- 10 -

1 ? ? ? 3x ? 3( x ? 2 ) ? 1 ? g ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1( ? x ? 2) 2 ?6 分 ? 3 x ? 3 ( x ? 2 ) ? ? ?

所以 x ?

1 3 , g ( x) 最小值 ,?8 分 2 2

所以

3 1 ? 1 ? 2m, m ? ? ?10 分 2 4

- 11 -



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