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高中数学导数经典综合题


1、已知函数

f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? 0). (I)求函数 f (x ) 的单调区间;
(II)若函数
3 2 y ? f (x) 的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,函数 g ( x ) ? x ? x [ f ' ( x ) ?

m ] 在区间(1, 2

3)上总是单调函数,求 m 的取值范围;

ln 2 ln 3 ln n 1 ? ?? ? ? (n ? 2, n ? N * ) 。 2 3 n n 2 x , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) 2.已知函数 f ( x) ? e (1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间,若 F ( x ) 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数 a ,使 f (x) 与 (x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出 a 的值, g
(III)求证: 以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。

f ( x) ? ex ? e? x . (1)求证: f ( x ) 的导数 f '( x) ? 2 ; (2)若对任意 x ? 0 都有 f ( x) ? ax, 求 a 的取值范围。 a( x ? 1) . ( a ? R) 4,已知函数 f ( x ) ? ln x ? x ?1 (1)若函数 f ( x ) 在定义域上为单调增函数,求 a 的取值范围; m?n m?n ? ? . (2)设 m, n ? R , 且m ? n, 求证 : ln m ? ln n 2
3.设函数 5,已知 f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ )对一切 x∈ +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (0, (Ⅱ )当 a=-1 时,求函数 f(x)在[m,m+3]( m>0)上的最值; (Ⅲ )证明:对一切 x∈ +∞),都有 lnx+1> (0, 6.(1)若 x ? (0, (2)设

?
2

1 2 ? x e ex

成立。

) ,求证: sin x ? x ;

1 ? ,判断 f ( x ) 在 (0, ) 上的单调性; 2 2 1 1 1 1 1 ? (3)求证: cos ? cos ? cos ? ? ? cos ? ( n ? 1, n ? N ) . 2 3 4 n 2

f ( x) ? cos x ? kx2 ?1 ,若 k ? ?

1.

而函数

y ? ?3 x ?

2 ?4 x



(1,3)

上递减函数,则

?

37 37 2 ? ?3x ? ? 4 ? ?5 则 m ? ?5 或 m ? ? 3 . 3 x ,

注:也可以考虑而函数

g ( x) 在区间(1,3)上总是单调函数,则

37 或 m ? ?5 3 ⑶令 a ? ?1, 此时f ( x) ? ? ln x ? x ? 3, 所以f (1) ? ?2, 由(I)知, f ( x) ? ? ln x ? x ? 3在(1,??) 上单调递增, ?当x ? (1,??)时f ( x) ? f (1),? ln x ? x ? 1 ? 0, ? ln x ? x ? 1对一切x ? (1,??)成立 ,

g ?(3) ? 0或g ?(1) ? 0 ,可以得出 m ? ?

?当n ? 2, n ? N *时有 0 ? ln n ? n ? 1,? 0 ?
2.解: (1) F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ?

ln n n ? 1 ln 2 ln 3 ln n 1 2 n ?1 1 ? ,? ? ?? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N * ). n n 2 3 n 2 3 n n

2 x 2a 2( x3 ? ea) ? ? ( x ? 0) e x ex ①当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 恒成立 F ( x)在(0, ??) 上是增函数, F ( x ) F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ,没有最值

2( x ? ea ( x ? ea ) ( x ? 0) , ex 若 0 ? x ? ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在(0, ea ) 上单调递减;若 x ? ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在( ea , ??) 上单调递
②当 a

? 0 时, F ( x) ?

增,?当x 所以当 a

? ea 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,即 F ( x)min ? F ( ea ) ? a ? 2a ln ea ? ?a ln a

? 0 时, F ( x) 的单调递减区间为 (0, ea ) ,单调递增区间为 ( ea , ??) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值 (2)方法一,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x ) 有且只 有一个零点由(1)的结论可知 F ( x)min ? ?a ln a ? 0得a ? 1

x2 ? 2 ln x ? 0, F ( x)min ? F ( e ) ? 0 ? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x)与g ( x) 的图象 此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e 2 的唯一公共点坐标为 ( e ,1) ,又? f ?( e ) ? g ?( e ) ? ,? f ( x)与g ( x) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线, e 2 2 ( x ? e ) ,即 y ? x ? 1 .综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x)与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点 其方程为 y ? 1 ? e e 2 x ? 1. ( e ,1) ,且在该点处的公切线方程为 y ? e 2 ? x0 ? ? 2a ln x0 ① ? f ( x0 ) g ( x0 ) ?e 方法二:设 f ( x)与g(x)图象的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) ,根据题意得 ? ,即 ? ? f ?( x0 ) g ?( x0 ) ? 2 x0 ? 2a ② ? e x0 ?
由②得 a
2 x0 1 ,代入①得 ln x0 ? ,? x2 ? e ,从而 a ? 1 ,此时由(1)可知 F ( x)min ? F ( e ) ? 0 2 e ?当x ? 0且x ? e 时, F ( x) ? 0,即f ( x) ? g ( x) ,因此除 x0 ? e 外,再没有其它 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 )

?

? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线,易求 得公共点坐标为 ( e ,1) , 2 x ?1 公切线方程为 y ? e
故存在 a

f ( x) 的导数 f ?( x) ? ex ? e? x ,由于 ex ? e-x ? 2 ex ? ? x ? 2 ,故 f ?( x) ? 2 , e 当且仅当 x ? 0 时,等号成立;…………………………4 分 x ?x (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e ? e ? a , x ?x (ⅰ )若 a ? 2 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? e ? e ? a ? 2 ? a ? 0 , ? 故 g ( x) 在 (0,∞) 上为增函数, x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax .…………………………8 分 所以,
3.解: (1)
x (ⅱ )若 a ? 2 ,解方程 g ?( x) ? 0 得, e 1 ?

a ? a 2 ? 4 x2 a ? a 2 ? 4 , ,e ? 2 2

a ? a2 ? 4 2 2 a ? a2 ? 4 ? ln ? ln ? 0 (舍去) , x2 ? ln , ? ln 2 2 2 2 a? a ?4 此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数, 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ? ax 相矛盾。
所以 x1 综上,满足条件的 a 的取值范围是

2 ? ?∞,? 。…………………………13 分

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 4.解: (1) ? ? ? . x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2 f ( x) 的定义域是 (0, ??) ,所以 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. f ?( x) ?

即x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立.

……3 分

1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ? 2 ? a ? 2. 所以 a 的取值范围是 (??, 2]. ……6 分 m?n m?n ? , 不妨设 m ? n , m ? n 交换顺序即可) (2) 要证 (若 ln m ? ln n 2 m m m m 2( ? 1) 2( ? 1) ?1 ?1 m m 只需证 n ? n , 即证 ln ? n ? 0. . 只需证 ln ? n m m m 2 n n ln ?1 ?1 n n n 2( x ? 1) 设h( x) ? ln x ? . x ?1 m ? 1 ,………11 分 由(1)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 n m 2( ? 1) m m 所以h( ) ? h(1) ? 0.即ln ? n ? 0成立. m n n ?1 n m?n m?n ? . 所以 ………13 分 ln m ? ln n 2
5.(本小题满分 13 分) 解: )对一切 x ? (0,??), (Ⅰ 也就是 a

………9 分

f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ln x ? ax ? ? x 2 ? 2 恒成立.

2 在 x ? (0,??) 恒成立.………1 分 x 2 令 F ( x ) ? ln x ? x ? , x 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) ? 则 F ? ( x) ? ? 1 ? 2 ? ,……2 分 x x x2 x2 1) 在 (0, 上 F ? ( x ) ? 0 , (1 ? ?) 上 F ? ( x ) ? 0 , 在 , 上 因此,F (x ) 在 x ? 1 处取极小值, 也是最小值, Fmin ( x) ? F (1) ? 3 , 即
? ln x ? x ?
所以 a

? 3 .……4 分

(Ⅱ )当 a

? ?1时, ( x) ? x ln x ? x f



f ? ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x) ? 0 得 x ?

1 e2

.

………6 分

1 1 ) 上 f ? ( x) ? 0 ,在 x ? ( 2 , m ? 3]上 f ? ( x) ? 0 错误!未找到引用源。 上 上 2 e e 1 1 因此, f (x ) 在 x ? 2 处取得极小值,也是最小值. f min ( x ) ? ? 2 . e e m 由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln( ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln( ? 3) ? 1] ………8 分 m 1 ② m ? 2 时 , f ' ( x) ? 0 ,因此 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增,所以 f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) , 当 e f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1]
① 0 当

?m?

1 e2

时,在 x ? [ m,

……9 分 (Ⅲ )证明:问题等价于证明 x ln x ? 由(Ⅱ a )知 ……11 分

? ?1 时,

x 2 ? ( x ? (0,?? )) ,………10 分 ex e 1 1 f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取得, e e x?

x 2 1? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 G ? ( x ) ? x ,易知 x e e e 1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, ………12 分 e 1 2 1 1 但? 2 ? ? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? e e e ex
设 G ( x)

?

成立. ……13 分

6. (1)证明:设 g ( x) ? 所以, g ( x) 在 (0,

? ? f ( x) 在 (0, ) 上是增函数 2 1 ? (3)由(2)可知, k ? ? 时, f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数, 2 2 1 2 1 ? ? f ( x) ? cos x ? x ? 1 ? f (0) ? 0 ,即 f ( x) ? cos x ? 1 ? x 2 ( x ? (0, )) 2 2 2 1 ? 令 x ? ( k ? 1, k ? N ) ,可得 k 1 1 2k 2 ? 1 2(k 2 ? 1) (k ? 1)(k ? 1) cos ? 1 ? 2 ? ? ? (k ? 1, k ? N ? ) k 2k 2k 2 2k 2 k2 令 k ? 2,3, 4, ?, n ,可得 1 1? 3 1 2? 4 1 3? 5 1 (n ? 1)(n ? 1) cos ? 2 , cos ? 2 , cos ? 2 , ?, cos ? ( n ? 1, n ? N ? ) 2 2 3 3 4 4 n n2 1 1 1 1 n ?1 (n ? 1, n ? N ? ) 以上 n ? 1 不等式相乘可得 cos cos cos ? cos ? 2 3 4 n 2n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,? cos cos cos ? cos ? (n ? 1, n ? N ? ) . 又? 2n 2 2n 2 2 3 4 n 2

) 上是增函数,? g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 sin x ? x , x ? (0, ) 2 2 1 (2)解:? k ? ? ,??2k ? ?1 ,? f ?( x) ? ? sin x ? 2kx ? x ? sin x ? 0 2

?

x ? sin x ,则 g ?( x) ? 1 ? cos x ? 0, x ? (0, ) 2

?

?



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