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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用突破热点题型 文


第九节

函数模型及其应用

高频考点

考点一 一次函数、二次函数模型

1.以二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,既有选择题、填空题,也有解答 题,难度适中,属中档题. 2.高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度: (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题; (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.

[例 1] (1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为________m. (2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一 般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当 桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度

x 的一次函数.
①当 0≤x≤200 时,求 函数 v(x)的表达式; ②当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 时)f(x)=x·v(x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)

x 40-y [自主解答] (1)设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得 = ,解得 40 40 y=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x2 +40x=-(x-20)2+400(0<x<40),
当 x=20 时,Smax=400.

1

(2)①由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b, 1 ? ?a=-3, 解得? 200 ? b= 3 . ?

? ?200a+b=0, 再由已知得? ?20a+b=60, ?

60,0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 -x ,20≤x≤200. ? ?3 60x,0≤x≤20, ? ? ②依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x -x ,20≤x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ 3 1?x+ ? 3? 2 -x ?2 10 000 ? = 3 ,当且仅当 x=200-x, ?

即 x=10 0 时,等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333, 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. [答案] (1)20

一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点:①二次函数的最值 一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;② 确定一次函数模型时, 一般是借助两个点来确定, 常用待定系数法; ③解决函数应用问题时, 最后要还原到实际问题.

2

(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点:①实际问题中有些变量间 的关系不能用同一个关系式给出, 而是由几个不同的关系式构成, 如出租车票价与路程之间 的关系,应构建分段函数模型求解; ②构造分段函数时, 要力求准确、简洁, 做到分段合理、 不重不漏;③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).

1 .(2013·上海高考 ) 甲厂以 x 千克 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 3? ? 1≤x≤10),每一小时可获得的利润是 100?5x+1- ?元.

?

x?

? 1 3? (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a·?5+ - 2?元; ?
x x?
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 此最大利润. 解:(1)生产 a 千克该产品所用的时间是 小时, 3? ? ∵每一小时可获得的利润是 100?5x+1- ? 元,

a x

?

x?

3? a ? ∴获得的利润为 100?5x+1- ?× 元.

?

x? x

? 1 3? 因此生产 a 千克该产品所获得的利润为 100 a?5+ - 2?元. ?
x x?

? 1 3? (2)生产 900 千克该产品获得的利润为 90 000?5+ - 2?元,1≤x≤10. ?
x x?
3 1 设 f(x)=- 2+ +5,1≤x≤10.

x

x

?1 1?2 1 则 f(x)=-3? - ? + +5,当且仅当 x=6 取得最大值. ?x 6? 12
61 故获得最大利润为 90 000× =457 500 元. 12 因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润 457 500 元.

2.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度

v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km).
(1)当 t=4 时,求 s 的值;
3

(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断 这场沙尘暴 是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城 ? 如果不会,请说明理由. 解:(1)由图象可知: 当 t=4 时,v=3×4=12, 1 ∴s= ×4×12=24. 2 1 3 2 (2)当 0≤t≤10 时,s= ·t·3t= t ; 2 2 1 当 10<t≤20 时,s= ×10×30+30(t-10)=30t-150; 2 1 1 当 20<t≤35 时, s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2 2 2 +70t-550. 3 ? ?2t ,t∈[0,10], 综上,可知 s=? 30t-150,t∈ ,20], ? ?-t +70t-550,t∈ ,35].
2 2

(3)沙尘暴会侵袭到 N 城. 3 2 ∵t∈[0,10]时,smax= ×10 =150<650, 2

t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
∴当 t∈(20,35]时,令-t +70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40. ∵20<t≤35,∴t=30. ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.
2

考点二

函数 y=x+ 模型的应用

a x

[例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热 层.某幢建筑物要建造可使 用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系 C(x)=

k
3x+5

(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20
4

年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [自主解答] (1)由已知条件得 C(0)=8,则 k=40, 800 因此 f(x)=6x+20C(x)= 6x+ (0≤x≤10). 3x+5 800 (2)f(x)=6x+10+ -10 3x+5 ≥2 6x+10 800 -10 3x+5

=70(万元), 800 当且仅当 6x+10= , 3x+5 即 x=5 时等号成立. 所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值为 70 万元. 【方法规律】 把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关 (1)事理关:通过阅读、理解,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破 口; (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数学关系; (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相 应的数学模型.

(2014·杭州模拟)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室,在温室内, 沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室 的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少? 解:设温室的左侧边长为 x m, 800 则后侧边长为 m.

2

x

∴蔬菜种植面积

y=(x-4)?

?800-2?=808-2?x+1 600?(4<x<400). ? ? x ? ? x ? ? ?

1 600 =80,

1 600 ∵x+ ≥2

x

x

∴y≤808-2×80=648.
5

1 600 当且仅当 x= ,

x

即 x=40 时取等号, 800 2 此时 =20,y 最大值=648(m ).

x

即当矩形温室的边长 各为 40 m、20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是 648 m .

2

考点三

指数函数模型

[例 3] 已知某物体的温度 θ (单位: 摄氏度)随时间 t(单位: 分钟)的变化规律是 θ =

m·2t+21-t(t≥0,并且 m>0).
(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. [自主解答] (1)若 m=2, 则θ =2·2 +2
t
1-t

? t 1? =2?2 + t?, 2? ?

1 5 t 当θ =5 时,2 + t= , 2 2 1 5 t 令 2 =x(x≥1),则 x+ = , x 2 即 2x -5x+2=0, 1 解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1. 2 所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度, 即θ ≥2 恒成立, 2 t 亦 m·2 + t≥2 恒成立. 2
2

?1 1 ? 亦即 m≥2? t- 2t?恒成立. ?2 2 ?
1 令 t=y,则 0<y≤1, 2 ∴m≥2(y-y )恒成立, 1 1 2 由于 y-y ≤ ,∴m≥ . 4 2
2

?1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是? ,+∞?. ?2 ?
6

【方法规律】 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型, 常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增 长、 银行利率、 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决; (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入 验证,确定参数,从而确定函数 模型; (3)y=a(1+x) 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
n

一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液 中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》 规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过________小时 才能开车.(精确到 1 小时) 解析:设经过 x 小时才能开车. 由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09, ∴0.75 ≤0.3,x≥log0.750.3≈5. 答案:5 —————————————[ 课 堂 归 纳 —— 通 法 领
x x

悟]———————————————— 个防范——实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 个步骤——解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清 题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下: 实际问题 分析、联想 数学 还原 建立函数模型 ― ― ― → ― → 数学结果 ― ― → 实际结果 抽象、转化 推演 答

7



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