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北京师范大学东莞石竹附属学校2016届高三上学期期中考试(理数)


北京师范大学东莞石竹附属学校 2016 届高三上学期期中考试 数学(理科)
[答卷时长(120)分钟 总分:150 分] 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、.若{1} ? A ? {1,2,3} ,则这样的集合 A 有( )

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2.下列说法正确的是( )

2 (A)命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” (B) 命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 (C)命题“存在 x∈R, 使得 x2+x+1<0”的否定是: “对任意 x∈R, 均有 x2+x+1 <0” (D) “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
?x ? 2 ? 0 ? 3、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

( ) (A)3

(B)4 (C)18 (D)40 2 ? x ≤1, ? 1 ? ?1 ? x , 4、设函数 f ( x) ? ? 2 则f? ) ? 的值为( f (2) x ? x ? 2 , x ? 1 , ? ? ? ? 15 27 8 (A) (B) ? (C) (D) 18 16 16 9 5、 “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如题 ? 5? 图所示,则 该几何体的 体积为( ) 560 (A) 3 580 (C) 3

).

(B) 200 (D) 240

7、已知函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时, f(x)=x(1+x3),则 x<0 时,f(x)=( ) 3 3 ( A)-x(1-x ) (B)-x(1+x ) 3 (C)x(1-x ) (D)x(1+x3)

S4 ? 4 ,则 8.已知 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S2
1

S6 S 4 的值为(



(A) 4

(B)

3 2

(C)

5 4

(D) )

9 4

9.函数 f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是(

A.

B.

C.

D.

10、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1 时,

f ( x) ? ?( x ? 2)2 ;当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(2 016)
=( ) (B)336 (C)338 (D)2 016

(A)335

11.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2

) (D) (0, 2]
?C ( A) ? C ( B),当C ( A) ? C ( B) , ?C ( B) ? C ( A),当C ( A) ? C ( B)

(A) [1, 2]

1? (B) ? ? 0, ? ? 2?

1 ? (C) ? ? 2 , 2? ? ?

12、 用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数, 定义 A ? B ? ?

若 A ? {1, 2}, B ? {x | | x2 ? ax ? 1|? 1},且 A ? B ? 1 ,由 a 的所有可能值构成的 集合是 S,那么 C ( S ) 等于( (A)1 (B). 2 ) (C)3 (D) 4

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13、已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},则 A∩( CU B )等于 14、已知函数 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 ? ?1,0? ,则 a ? b ?
3 1 m 15、 已知 x ? 0, y ? 0, 若不等式 ? ? 恒成立, 则 m 的最大值为 x y x ? 3y

.

16. 如图, 互不-相同的点 A1 , A2 ?, X n ,?和 B1 , B2 ?, Bn ,? 分 别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形

2

An Bn Bn?1 An?1 的面积均相等。设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公
式是_________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写出文字说明、演算步骤或推证 过程. 17、(本小题满分 10 分) 已知二次函数 f(x)=x2+ax+b 关于 x=1 对称,且其图象经过原点. (1)求这个函数的解析式; (2)求函数在 x ??0,3? 的值域.

18、(本小题满分 10 分) 已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实 根. 若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求 m 的取值范围.

19、(本小题满分 12 分) 如题(19 )图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面
ABC, PC ? 3, ? ACB ?

?
2

. D, E 分别为线段 AB, BC

上的点,且 CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2. (1)证明: DE ? 平面 PCD (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

20、(本小题满分 12 分) 东莞某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、 二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉 纱的利润是 600 元, 每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的
3

计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉 纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?

21.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意的 n ? N? ,都有 Sn ? 2 ? an ,数列 ?bn ? 满足

b1 ? 2a1 , bn ?

bn?1 ,(n ? 2, n ? N ? ) 1 ? bn?1

(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求 an 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)求数列 {
1 an+ 2bn } 的前 n 项和 Tn .

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? e 其中 e 是自然对数的底数.
x ?x

(1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数;
? ?) 上恒成立,求实数 m 的取值范 (2) 若关于 x 的不等式 mf ( x) ≤ e ? m ? 1 在 (0 ,
?x

围;
? ?) ,使得 f ( x ) ? a(? x ? 3x ) 成立.试比较 e (3)已知正数 a 满足:存在 x ?[1,
0 0 3 0 0
a ?1

与 a 的大小,并证明你的结论.
e ?1

4

数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11 C 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

3 15、12 16、 an ? 3n ? 2 2 17、 (1)f(x)的解析式为 f ( x ) ? x 2 ? 2 x -----5 分
13、 {4,5} 14、 (2)x=1 时, f(x)有最小值, 最小值为-1 ,----------7 分 x=3 时, f(x)有最大值, 最大值为 3-------------9 分 f(x)的值域是 [?1, 3] -------------10 分

18、 由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假,

若 p 为真,则其等价于

,解可得,m>2;--------2 分

若 q 为真,则其等价于△<0,即可得 1<m<3,-----------4 分 若 p 假 q 真,则 若 p 真 q 假,则 ,解可得 1<m≤2;-------------6 分 ,解可得 m≥3;--------------8 分

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞) .----------------------10 分 19、(1)证明:由 PC ? 平面 ABC,DE ? 平面ABC,故 PC ? DE--------2 分 由 CE=2,CD=DE= 2得 ? CDE为等腰直角三角形,故 CD ? DE-------4 分

由 P C ? CD=C,DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线,故 DE ? 平面 PCD-------6 分 以C为坐标原点,分别以 CACB ,  , CP 的方程为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建 立空间直角坐标系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(

??? ? ??? ?

??? ?

3 ,0,0), 2

5

E(0 ,2,0),D(1,1,0), ED=(1,-1,0),

??? ?

??? ? ??? ? 1 DP=(-1,-1,3)DA = ( ,-1,0) 2 ? 设平面 PAD 的法向量 n =(x1,y1,z1 ), 1

?? x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ? ??? ? ? ??? ? ?? ? 故可取n1 ? (2,1,1) 由 n1? DP ? 0 , n1 ? DA ? 0 , ? 1 x1 ? y1 ? 0 ? ? 2

20、解:将已知数据列成下表: 解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

y

2x+y=300

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 那么 ? z=600x+900y. ..........5 分 ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

50 50

x+2y=250 x

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域.………………………9 分 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直 线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; 350 200 ?2 x ? y ? 300  得 M 的坐标为 x= ≈117,y= ≈67.……………………11 分 ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.………12 分 21. 证 明 : ( 1 ) 当

n ?1





a1 ?

S12 ?

?, a1 解



a1 ? 1 .

…………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? an ,即 2an ? an?1 . ∴

an 1 ? (n ? 2) an ?1 2



…………2 分

6

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为

1 的等比数列,即 2

1 an = ( ) n- 1 , n ? N * . 2
(2) b1 ? 2a1 ? 2 . ∵ bn ?

…………4 分 …………5 分 …………6 分

bn ?1 1 1 1 1 ,∴ ? ? 1 ,即 ? ? 1(n ? 2) . bn bn ?1 bn bn ?1 1 ? bn ?1

∴?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? bn ?
2 1 1 2n ? 1 ,即 bn ? ? ? (n ? 1) ?1 ? 2n ? 1 bn 2 2 (n ? N ? ) .

…………7 分



…………8 分

(3) an+ 2 = ( )

1 2

n+ 1

, bn ?

2 2n ? 1

(n ? N ? ) ,则

1 an+ 2bn

= 2n (2n - 1) .………9 分

22 23 24 2n 2n?1 所以 Tn ? , ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn?1 bn
即 ①

Tn ? 21 ?1 ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? ?? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) 2Tn ? 22 ?1 ? 23 ? 3 ? 24 ? 5 ? ?? 2n ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1)



…………10 分 则 ,



…………12 分 ②-①得 Tn ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2 ? 23 ? 24 ??? 2n?1 , 故

Tn ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2 ?

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 6 . 1? 2

…………12 分

22、 (1) ?x ? R , f (? x) ? e? x ? e x ? f ( x) ,∴ f ( x) 是 R 上的偶函数--------------2 分 (2)由题意, m(e
?x

? e x ) ≤ e? x ? m ? 1 ,即 m(e ? e ? 1) ≤ e ? 1
x ?x ?x

? ?) ,∴ e x ? e ? x ? 1 ? 0 ,即 m ≤ ∵ x ? (0 ,

e? x ? 1 对 x ? (0 , ? ?) 恒成立 e ? e? x ? 1
x

? ?) 恒成立 令 t ? e x (t ? 1) ,则 m ≤ 2 1 ? t 对任意 t ? (1, t ? t ?1



1? t ? ? t ?1 1 ?? ≥?1 , 当 且 仅 当 t ? 2 时 等 号 成 立 t2 ? t ?1 (t ? 1)2 ? (t ? 1) ? 1 1 3 t ?1 ? ?1 t ?1

∴ m ≤ ? 1 ------6 分 3
7

? ?) 上单调增 (3) f '( x) ? e x ? e? x ,当 x ? 1 时 f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1 ,

令 h( x) ? a(? x3 ? 3x) , h '( x) ? ?3ax( x ? 1) ---------------7 分
x ? 1 ,∴ h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上单调减 ∵ a ? 0,

∵存在 x0 ?[1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) ,∴ f (1) ? e ? 1 ? 2a ,即 a ? 1 e ? 1 e 2 e ∵ ln aa?1 ? ln ae?1 ? ln ea?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1 --------------------9 分 e
e-1

? ?

设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m '(a) ? e ? 1 ? 1 ? e ? 1 ? a , a? 1 e?1 a a 2 e 当 1 e ? 1 ? a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调增; 2 e 当 a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调减 因此 m(a) 至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ∴当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 当 1 e ? 1 ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 2 e 当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 .---------------14 分

? ?

? ?

---------------------12 分

? ?

8


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