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安徽省六安市霍邱一中2013届高三12月月考数学(文)试题


第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设集合 U ? {1, 2,3, 4}, A ? {1, 2}, B ? {2, 4}, 则CU ( A ? B) ? ( A. {1,2,4} B. {1,4} C. {2} D. {3} )

(2

)复数 a2 ? a ? 6 ? (a 2 ? a ? 12)i 为纯虚数的充要条件是( A . a ? 3 或 a ? ?2 B. a ? 3 或 a ? ?4 C. a ? 3



[来源:Z#xx#k.Com]

D. a ? ?2

(3)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,则下列结论正确的是( 3 A. f ( x) 的图象关于直线 x ? C.把 f ( x) 的图象向左平移

?



?
3

对称

B. f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称 4

?

?
12

个单位,得到一个偶函数的图象

D. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 6 (4)已知 A、B 是两个不同的点, m、n 是两条不重合的直线,?、? 是两个不重合的平 面, 则① m ? ? ,A ? m ? A ? ? ; m ? n ? A ,A ? ? ,B ? m ? B ? ? ; m ? ? , ② ③

?

n ? ? , m // n ? ? // ? ;④ m ? ? , m ? ? ? ? ? ? .其中真命题为(
A.①③
[来源:学,科,网]



B.①④

C.②③

D.②④

(5)若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(



第5题
第 1 页 共 8 页

(6)已知 点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, a2 b2

过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是直角三角形,则该双曲线的 离心率等于( A. ) B. 2 C. 3 D. 4

3

(7)已知 ?ABC 中, AB ? AC ? 4, BC ? 4 3 ,点 D 为 BC 边的中点,点 P 为 BC 边所在直

??? ???? ? 线上的一个动点,则 AP ? AD 满足(
A.最大值为 8 B.为定值 4

) C.最小值为 2 D.与 P 的位置有关

(8)实数 a , b, c, d 满足 a ? b, c ? d , a ? b ? c ? d , ab ? cd ? 0 ,则 a ,b,c,d 四个数的大小关系为 ( ) B. a ? b ? c ? d C. a ? c ? b ? d D. c ? a ? d ? b A. c ? d ? a ? b

(9)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为

1 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,?, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
[来源:学科网ZXXK]

则第7行第4个数(从左往右数)为(



1 140 1 C. 60
A. 10. 以椭圆

1 105 1 D. 42
B.

第9题

x2 ? y 2 ? 1 的短轴的一个端点 B(0,1) 为直角顶点,作椭圆的内接等腰直角三角形 4 的个数为( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. (11)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率 分布直方图如右图所示,其中支出在 [50,60) 元的同学有 30 人,则 n 的值为 .

第 2 页 共 8 页

(12)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P-ABCD 的体积为________.
频率 组距 0.036

0.024 0.01


20 30 40 50 60

第 12 题

第 11 题 (13) A, B, C 三个城市, 有 它们各有一个著名的旅游点依此记为 a , b, c . A, B, C 和 a , b, c 分 把 别写成左、右两列,现在一名旅游爱好者随机用 3 条线把左右全部连接起来,构成“一一对 应” ,如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的(比如 A 与 a 相连) , 我们就称城市 A 是连对的,则这三个城市都连对的概率是 (14)右图是计算 y ? f ( x) 的函数值的程序框图,则 f [ f (2)] = . . 开始 输入 x

?x ? 1 ? (15)已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小 ?ax ? by ? c ? 0 ?
b?c 值为 1,则 a
.

x ? 1?




y ? x ?1
输出 y

y ? log2 x

(16)设点 A, B 是圆 x 2 ? y 2 ? 4 上的两点,点 C (1,0) ,如果 ?ACB ? 90? , 则线段 AB 长度的取值范围为 . 结束 第 14 题

( 17 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

9x ? k ? 3x ? 1 , 当 k ? 1 时 , 对 任 意 的 实 数 x1 , x 2, x 3, 均 有 9x ? 3x ? 1

f ( x )? f ( x ) 1 2 ?

f ( 3x ? ,这样就存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形.当 k ? 1 时, ) 1

若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的 三角形,则实 数 k 的最大 值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (18) (本小题满分 14 分) 已知 tan(

?

4 (Ⅰ)求 tan ? 的值;

??) ?

1 . 2

第 3 页 共 8 页

(Ⅱ)求

sin 2? ? cos2 ? 的值. 1 ? cos 2?

(19) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的相邻两项 an , an?1 是关于 x 的方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0(n ? N * ) 的两实 根,且 a1 ? 1. (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值; (Ⅱ)求证:数列 {an ?

1 n ? 2 } 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式. 3

( 20) (本小题满分 14 分) 如图所示, AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , AC ? AD ? AB ? 1 , BC ? 2 , 凸多面体 ABCED 的体积为

1 , F 为 BC 的中点. 2 (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ;
(Ⅱ)求证: 平面 BDE ? 平面 BCE . ( 21) (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中,已知点 P(1, ?1) ,过点 P 作抛物线 T0 : y ? x2 的切线,其切点分

别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) (其 中 x1 ? x2 ) . (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值; (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (Ⅲ)过原点 O (0, 0) 作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC, BD ,求四边形 ABCD 面积的 最大值.

(22) (本小题满分 15 分)

?? x3 ? x 2 , x ? 1, 已知函数 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.
(Ⅰ)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ) 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? f ( x) 上是否 存在两点 P, Q , 使得 POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?

第 4 页 共 8 页

数学(文)答案
(1) D (2) D (3) C (4) B
[来源:学*科*网]

(5) A
[来源:Zxxk.Com]

(6) B

(7) B

(8) C

(9) A

(10) D
[来源:学科网]

第Ⅱ卷(共 100 分)
二.填空题:本大题共 7 小题,每 小题 4 分,共 28 分. 2 1 (11)100. (12) .(13) .(14)0. (15) ?3 .(16) [ 7 ? 1, 7 ? 1] . (17) 2 . 3 6 三.解答题:本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

? 1 tan ? tan? ? 1 1 ? tan? 4 , ? (18)解: (Ⅰ)解: tan( ? ? ) ? ,由 tan( ? ? ) ? , ? ? 4 2 1 ? tan? 3 4 1 ? tan tan? 4 , 1 ? tan ? 1 1 ? ,解得5tan ? ? ? . 有 ??7 分
1 ? tan ? 2 3
(Ⅱ)

sin 2? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? 2 cos2 ? ? 1

??11 分

?

2sin ? ? cos? 1 1 1 5 ? tan ? ? ? ? ? ? ? . ??14 分 2cos? 2 3 2 6
(19) (Ⅰ)解:? an , an ?1 是关于 x 的方程 x2 ? 2n ? x ? bn ? 0(n ? N * ) 的两实根,

?a ? an ?1 ? 2n ? ?? n ?bn ? an ? an ?1 ?

??3 分,因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 5 .??6 分

1 1 1 an?1 ? ? 2n?1 2n ? an ? ? 2n?1 ?(an ? ? 2n ) 3 3 3 (Ⅱ)? ? ? ? ?1. ??10 分 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {an ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ?1 的等比数列.??14 分 3 3 3 1 n 1 1 n n ?1 n 所以 an ? ? 2 ? ? (?1) ,即 an ? [2 ? (?1) ] . 3 3 3

[来源:Zxxk.Com]

(20)证明: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC ,∴四边 形 ACED 为梯形,且
2 2 2 平面 ABC ? 平面 ACED , ∵ BC ? AC ? AB ,∴ AB ? AC , ??2 分

∵平面 ABC ? 平面 ACED ? AC ,∴ AB ? 平面 ACED ,

即 AB 为四棱锥 B ? ACED 的高,??4 分

第 5 页 共 8 页



1 1 1 1 VB ? ACED ? ? S ACED ? AB ? ? ? (1 ? CE ) ?1?1 ? 3 3 2 2
, ∴ CE ? 2 ,??6 分 作 BE 的中 点 G ,连接 GF , GD ,∴ GF 为三角形

BCE 的中位线,
∴ GF // EC // DA , GF ?

1 CE ? DA , 2

??8 分

∴ 四 边 形 GFAD 为 平 行 四 边 形 , ∴ AF // GD , 又 GD ? 平 面 B D E , ∴ AF // 平 面

B D E.??10 分
(Ⅱ)∵ AB ? AC , F 为 BC 的中点, ∴ AF ? BC ,又 GF ? AF ,∴ AF ? 平面 BCE , ??12 分 ∵ AF // GD ,∴ GD ? 平面 BCE ,又 GD ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ? 平面 BCE . ?? 14 分

(21)解: (Ⅰ)由 y ? x2 可得, y? ? 2 x .??1 分 ∵直线 PM 与曲线 T0 相切,且过点 P(1, ?1) ,∴ 2 x1 ?

x12 ? 1 2 ,即 x1 ? 2x1 ?1 ? 0 , x1 ? 1

∴ x1 ?

2? 4?4 ? 1 ? 2 ,或 x1 ? 1? 2 , 2

??3 分

同理可得: x2 ? 1 ? 2 ,或 x2 ? 1 ? 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .

??4 分 ??5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?1,则直线 MN 的斜率
2 y1 ? y2 x12 ? x2 k? ? ? x1 ? x2 ,??6 分 x1 ? x2 x1 ? x2

∴直线 M 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 ,
2

∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x1x2 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2

??7 分

∵点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即 r ?

| 2 ? 1 ? 1| 4 ? , 4 ?1 5

?? 8 分

[来源:Zxxk.Com]

第 6 页 共 8 页

16 16 ? ? .??9 分 5 5 1 (Ⅲ)四边形 ABCD 的面积为 S ? AC g BD 2
故圆 E 的面积为 S ? ? r ? ? ?
2

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

不妨设圆心 E 到直线 AC 的距离为 d1 ,垂足为 E1 ;圆心 E 到直线 BD 的距离为 d2 , 垂足为 E2 ;则 AC ? 2 r ? d1 , BD ? 2 r ? d 2 ,
2 2 2 2
2

??10 分 ??11 分

2 2 2 2 由于四边形 EE1OE2 为矩形.且 d1 ? d 2 ? OE ? (1 ? 0) ? (?1 ? 0) ? 2

所以 S ?

1 2 AC g BD ? 2 r 2 ? d12 g r 2 ? d 2 ,由基本不等式 2ab ? a 2 ? b2 可得 2 22 2 2 S ? ( r 2 ? d12 )2 ? ( r 2 ? d 2 )2 ? 2r 2 ? (d12 ? d 2 ) ? , 5
??15 分

当且 仅当 d1 ? d 2 时等号成立.

?? x3 ? x 2 , x ? 1, (22)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.

2 ;解 f ?( x) ? 0 得到 3 2 2 2 ?1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 .所以 f ( x) 在 (?1,0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增,从而 3 3 3 2 2 4 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ( ) ? .??3 分, 3 3 27
①当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? x(3x ? 2) ,解 f ?( x) ? 0 得到 0 ? x ? 又 f (?1) ? 2, f (1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2.??4 分 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x ,当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e] 上 单调递增,所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值为 a .所以当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值 为 a ;当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 2. ??8 分 (Ⅱ)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角 形,则 P, Q 只 能在 y 轴的两侧,不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 . ??9 分

??? ???? ? 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 ,
即: ?t 2 ? f (t ) ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 (1)??10 分 是否存在点 P, Q 等价于方程(1)是否有解.

[来源:学|科|网]

若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入方程(1)得: t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无实数解. ??11 分
第 7 页 共 8 页

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? a ln t ,代入方程(1)得到:

1 ? (t ? 1)ln t ,??12 分 a

1 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h?(x) ?ln x ? ?0 在 [1, ??) 上恒成立.所以 h( x) 在 [1, ??) 上 x 1 单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,所以当 a ? 0 时,方程 ? (t ? 1)ln t 有解,即 方程(1)有 a
解.??14 分 所以, 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q , 使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.??15 分

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