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河北省衡水二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年河北省衡水二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z 满足 ?(1+2i)=4+3i,则 z 等于( A.2﹣i B.2+i C.1+2i D.1﹣2i )

2. 若 A={x||x﹣ |<1}, B={x| ≥1}, 定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, 则 A×B=( A. 1] ∪ B. ∪ C.

)

D. (0,

3.下列命题错误的是(
2 2

)
2 2

A. 命题“若 x +y =0, 则 x=y=0”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0, 则 x +y ≠0” B.若命题 ,则¬p:? x∈R,x2﹣x+1>0

C.△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 D.若向量 , 满足 ? <0,则 与 的夹角为钝角

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn

)

D.1+n+lnn

5.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN| 的最大值为( A.1 B. ) C. D.2

6.给定函数 y=f(x)的图象如下列图中,经过原点和(1,1) ,且对任意 an∈(0,1) ,由 关系式 an+1=f(an)得到数列{an},满足 an+1>an(n∈N*) ,则该函数的图象为( )

A.

B.

C.

D.

7.已知三个正态分布密度函数

(x∈R,i=1,2,3)

的图象如图所示,则(

)

A.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2>σ C.μ 1=μ 2<μ 3,σ 1<σ 2=σ

3

B.μ 1>μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ D.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ

3

3

3

8.设 a>b>0,则 a+ + A.2 B.3 C.4

的最小值为( D.3+2

)

9.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*) ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16) >3,f(32)> ,由此推算:当 n≥2 时,有( A.f(2n)> C.f(2 )>
n

) (n∈N*) (n∈N )
*

(n∈N*) (n∈N )
*

B.f(2n)> D.f(2 )>
n

10.已知实数变量 xy 满足

,且目标函数 z=3x﹣y 的最大值为 4,则实数 m

的值为( A. B.

) C.2 D.1

11.已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2] )

在 R 上满足:对任意 x1≠x2,都有 f(x1)≠f(x2) ,

B. (﹣∞,﹣2] C.

19.在三棱锥 P﹣ABC 中,△PAB 是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC. (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=2,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

20. 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究, 在饲料充足 的前提下,兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克)得 到一组观测值,如下表: xi(月) 1 2 0.9 3 1.7 4 2.1 5 2.8

yi(千克) 0.5

(1)在给出的坐标系中,画出关于 x,y 两个相关变量的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程 . (3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)

(参考公式: =

, = ﹣



21.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上 的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正 确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参 赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如 图所示. (1)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你 的理由; (下面的临界值表供参考) P(K ≥k0) k0
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽取 3 名幸运 选手, 求 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间的概率. (参考公式: 其中 n=a+b+c+d)

22.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; (2)求证:{

(n∈N*)

+ }是等比数列,并求{an}的通项公式 an;
n

(3)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)? Tn+
*

?an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1) λ <

n

对一切 n∈N 恒成立,求 λ 的取值范围.

2015-2016 学年河北省衡水二中高二(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z 满足 ?(1+2i)=4+3i,则 z 等于( A.2﹣i B.2+i C.1+2i D.1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:∵ ?(1+2i)=4+3i, ∴ ∴z=2+i. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. = = =2﹣i, )

2. 若 A={x||x﹣ |<1}, B={x| ≥1}, 定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, 则 A×B=( A. 1] 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】常规题型;新定义. ∪ B. ∪ C.

)

D. (0,

【分析】本题要抓住 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}中 x 所满足的条件,然后求出 A∪B、A∩B 的解集,最后再求出(A∪B)∩(A∩B)解集即为所求. 【解答】解:∵A={x||x﹣ |<1},B={x| ≥1}, ∴ ∴A∩B={x|0<x≤1}, ∴ ,B={x|0<x≤1}, ,

故选 B. 【点评】理解题目 A×B 中 x 所满足的条件是关键,同时要会求绝对值不等式和分式不等式 的解集,会求两个集合的交集、并集.

3.下列命题错误的是(
2 2

)
2 2

A. 命题“若 x +y =0, 则 x=y=0”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0, 则 x +y ≠0” B.若命题 ,则¬p:? x∈R,x2﹣x+1>0

C.△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 D.若向量 , 满足 ? <0,则 与 的夹角为钝角 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题. 【分析】 A. 我们知道: 命题“若 p, 则 q”的逆否命题是“若¬q, 则¬p”, 同时注意“x=y=0” 的否定是“x,y 中至少有一个不为 0”,据此可以判断出 A 的真假. B.依据“命题:? x0∈R,结论 p 成立”,则¬p 为:“? x∈R,结论 p 的反面成立”,可 以判断出 B 的真假. C. 由于 >B.由此可以判断出 C 是否正确. D.由向量 以判断出 D 是否正确. 【解答】解:A.依据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,可知:命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆否命题为“若 x,y 中至少有一个不为 0,则 x +y ≠0”.可判断出 A 正确. B.依据命题的否定法则:“命题:? x0∈R, >0”,故 B 是真命题. C.由于 ∴ , ,∴ . ,在△ABC 中,∵0<A+B<π ,∴0 , ﹣x0+1≤0”的否定应是“? x∈R,x2﹣x+1
2 2 2 2

, 因此在△ABC 中, sinA>sinB?

>0?A

,可得

的夹角

,可

又 0<B<A<π ,∴0<A﹣B<π ,∴

据以上可知:在△ABC 中,sinA>sinB? 是 A>B 的充要条件. 因此 C 正确. D.由向量 , ,∴

>0?A>B.故在△ABC 中,sinA>sinB

,∴

的夹角

∴向量 与 的夹角不一定是钝角,亦可以为平角 π ,∴可以判断出 D 是错误的. 故答案是 D. 【点评】本题综合考查了四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的 正弦值之间的大小关系、向量的夹角,解决问题的关键是熟练掌握其有关基础知识.

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ) ,则 an=( A.2+lnn B.2+(n﹣1)lnn C.2+nlnn

)

D.1+n+lnn

【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成 选出正确选项. 【解答】解:∵ , ? ∴ = 故选:A. 【点评】数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换 成 n+1 或 n﹣1 等,这种办法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递 推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项. , ,用迭代法整理出结果,约分后

5.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN| 的最大值为( A.1 B. ) C. D.2

【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【分析】可令 F(x)=|sinx﹣cosx|求其最大值即可. 【解答】解:由题意知:f(x)=sinx、g(x)=cosx 令 F(x)=|sinx﹣cosx|= 当 x﹣ 故选 B. 【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系.属基础题. = +kπ ,x= |sin(x﹣ +kπ ,即当 a= )| +kπ 时,函数 F(x)取到最大值

6.给定函数 y=f(x)的图象如下列图中,经过原点和(1,1) ,且对任意 an∈(0,1) ,由 关系式 an+1=f(an)得到数列{an},满足 an+1>an(n∈N ) ,则该函数的图象为(
*

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an,即函数值恒大于自变量的值, 根据点与直线之间的位置关系,我们不难得到,f(x)的图象在 y=x 上方.逐一分析不难得 到正确的答案. 【解答】解:由 an+1=f(an)>an 知 f(x)的图象在 y=x 上方. 结合图象可得只有 A 符合. 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是点与直线的位置关系,根据“同在上(右) ,异在下(左)” 的原则,我们可以确定将点的坐标代入直线方程后的符号,得到一个不等式,解不等式即可 得到 a 的取值范围.

7.已知三个正态分布密度函数

(x∈R,i=1,2,3)

的图象如图所示,则(

)

A.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2>σ C.μ 1=μ 2<μ 3,σ 1<σ 2=σ

3

B.μ 1>μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ D.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ

3

3

3

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】数形结合. 【分析】正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边,第一个曲线的均值比第二和 第三和图象的均值小,且二,三两个的均值相等,又有 σ 越小图象越瘦长,得到正确的结 果. 【解答】解:∵正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边, ∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小,且二,三两个的均值相等, 只能从 A,D 两个答案中选一个, ∵σ 越小图象越瘦长, 得到第二个图象的 σ 比第三个的 σ 要小, 故选 D. 【点评】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查密度函数中两个特征数均 值和标准差对曲线的位置和形状的影响,是一个基础题.

8.设 a>b>0,则 a+ + A.2 B.3 C.4

的最小值为( D.3+2

)

【考点】基本不等式. 【专题】不等式.

【分析】由题意可得 a﹣b>0,a+ +

=(a﹣b)+ +

+b,由基本不等式可得.

【解答】解:解:∵a>b>0,∴a﹣b>0, ∴a+ + =(a﹣b)+ + +b≥4 =b 即 a=2 且 b=1 时取等号, =4

当且即当(a﹣b)= = ∴a+ + 故选:C.

的最小值为:4

【点评】 本题考查基本不等式的应用, 注意检验等号成立的条件, 式子的变形是解题的关键.

9.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*) ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16) >3,f(32)> ,由此推算:当 n≥2 时,有( A.f(2n)> C.f(2n)> (n∈N*) (n∈N*) B.f(2n)> D.f(2n)> (n∈N*) ) (n∈N*)

【考点】归纳推理. 【专题】推理和证明. 【分析】根据已知中的等式 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,?, 我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案. 【解答】解:观察已知的等式:f(2)= , f(4)>2,即 f(2 )> f(8)> ,即 f(2 )> f(16)>3,即 f(24)> ?, 归纳可得: f(2n)> 故选:D. ,n∈N*)
3 2

, ,

【点评】本题主要考查了归纳推理的问题,其一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些 相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .

10.已知实数变量 xy 满足

,且目标函数 z=3x﹣y 的最大值为 4,则实数 m

的值为( A. B.

) C.2 D.1

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】画出满足条件的平面区域,找到直线 y=3x﹣z 过 A 点时,z 取得最大值 4,将 A 点 的坐标代入直线 z=3x﹣y 的方程,求出 m 的值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:



由 z=3x﹣y 得 y=3x﹣z, 显然直线 y=3x﹣z 过 A 点时,z 取得最大值 4, ∴z= 故选:D. 【点评】本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合,是一道中档题. =4,解得:m=1,

11.已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,2] )

在 R 上满足:对任意 x1≠x2,都有 f(x1)≠f(x2) ,

B. (﹣∞,﹣2] C.

【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题.

14.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必 要条件,则实数 a 的取值的集合是{ a|a<5 }. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;数学模型法;简易逻辑. 【分析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,可得 A?B,即可得出. 【解答】解:∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件, ∴A?B, ∴a<5. 因此实数 a 的取值的集合是{ a|a<5 }. 故答案为:{ a|a<5 }. 【点评】本题考查了充要条件的判定、集合之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

15.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=2016 +log2016x,则函 数 f(x)的零点的个数是 3. 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.

x

【分析】可知 f(0)=0;再由函数零点的判定定理可判断在(0,+∞)上有且只有一个零 点,再结合奇偶性可判断 f(x)在(﹣∞,0)上有且只有一个零点,从而解得. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0; ∵f(x)=2016 +log2016x 在(0,+∞)上连续单调递增, 且 f( )<0,f(1)=2016>0;
x

故 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点, 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上有且只有一个零点, ∴函数 f(x)的零点的个数是 3; 故答案为:3. 【点评】本题考查了函数的性质的应用及函数的零点的判定定理的应用.

16.下表给出了一个“三角形数阵”:

依照表中数的分布规律,可猜得第 10 行第 6 个数是 【考点】归纳推理. 【专题】推理和证明.



【分析】通过观察,得到每行的第一个数组成了首项为 ,公差为 的等差数列,每行的数 组成了公比为 的等比数列,根据此规律求解. 【解答】解:观察“三角形数阵”得出:每行的第一个数组成了首项为 ,公差为 的等差 数列,每行的数组成了公比为 的等比数列.

所以第 10 行第 1 个数为: +(10﹣1)× = , 则第 10 行第 6 个数为: ×( )6﹣1= 故答案为: 【点评】 此题考查的知识点是数字变化类问题, 解题的关键是通过观察得出数字的排列规律 求解. ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|. (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)>2 的解集; (Ⅱ)若二次函数 y=x +2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;二次函数的性质. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)当 m=5 时,把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个 不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由二次函数 y=x +2x+3=(x+1) +2 在 x=﹣1 取得最小值 2,f(x)在 x=﹣1 处取得最 大值 m﹣2,故有 m﹣2≥2,由此求得 m 的范围.
2 2 2

【解答】 解: (Ⅰ) 当 m=5 时,

, 由f (x) >2 可得

①,或

②,或

③.

解①求得﹣ <x<﹣1,解②求得﹣1≤x<0,解③求得 x∈?, 易得不等式即 4﹣3x>2 解集为
2 2



(2)由二次函数 y=x +2x+3=(x+1) +2,该函数在 x=﹣1 取得最小值 2,

因为

在 x=﹣1 处取得最大值 m﹣2,

所以要使二次函数 y=x2+2x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,只需 m﹣2≥2, 求得 m≥4. .

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组 来解;还考查了函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于中档题.

18.已知角 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为 a,b,c,若 =(﹣cos ,sin ) , =(cos ,sin ) ,a=2 (1)若△ABC 的面积 S= (2)求 b+c 的取值范围. 【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用两个向量的数量积公式求出﹣cosA= ,又 A∈(0,π ) ,可得 A 的值,由 三角形面积及余弦定理求得 b+c 的值. (2)由正弦定理求得 b+c=4sin(B+ 可得到 b+c 的取值范围. 【解答】解: (1)∵ =(﹣cos ,sin ) , =(cos ,sin ) , 且 =(﹣cos ,sin )?(cos ,sin )=﹣cos +sin =﹣cosA= , ?.
2 2 2 2

,且 ? = . ,求 b+c 的值.

) ,根据 B+

的范围求出 sin(B+

)的范围,即

即﹣cosA= ,又 A∈(0,π ) ,∴A= 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cos
2 2 2

又由 S△ABC= bcsinA=
2

,所以 bc=4.

=b +c +bc,∴16=(b+c) ,故 b+c=4.?

(2)由正弦定理得:

=

=

=

=4,又 B+C=π ﹣A=



∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin( ∵0<B< ,则 <B+ <

﹣B)=4sin(B+ <sin(B+

) , )≤1,

,则

即 b+c 的取值范围是(2

,4]. ?

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,正弦定理及余弦定理,二倍角公式,根据三 角函数的值求角,以及正弦函数的定义域和值域,综合性较强.

19.在三棱锥 P﹣ABC 中,△PAB 是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC.

(1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=2,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P﹣ABC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)求出 AC 和 BC,取 AB 中点 M,连结 PM,CM,说明 AB⊥PM,AB⊥MC,证明 AB⊥ 平面 PMC,然后证明 AB⊥PC. (2) 在平面 PAC 内作 AD⊥PC, 垂足为 D, 连结 BD, 证明 ABD 为等腰直角三角形, 设 AB=PA=PB=a, 求解 a,然后求解底面面积以及体积即可. 【解答】 解: (1) 证明: 在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中 取 AB 中点 M,连结 PM,CM,则 AB⊥PM,AB⊥MC, ∴AB⊥平面 PMC,而 PC? 平面 PMC,∴AB⊥PC? (2)在平面 PAC 内作 AD⊥PC,垂足为 D,连结 BD ∵平面 PAC⊥平面 PBC,∴AD⊥平面 PBC,又 BD? 平面 PBC, ∴AD⊥BD,又 Rt△PAC≌RtPBC, ∴AD=BD,∴△ABD 为等腰直角三角形 设 AB=PA=PB=a,则 在 Rt△PAC 中:由 PA?AC=PC?AD, 得 解得 ∴ ∴ ? , .?(13 分) , ?

【点评】本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判定与性质的应用,考查空间想 象能力以及计算能力.

20. 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究, 在饲料充足 的前提下,兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克)得 到一组观测值,如下表: xi(月) 1 2 0.9 3 1.7 4 2.1 5 2.8

yi(千克) 0.5

(1)在给出的坐标系中,画出关于 x,y 两个相关变量的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程 . (3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)

(参考公式: =

, = ﹣



【考点】线性回归方程.

【专题】计算题;概率与统计. 【分析】 (1)利用所给数据,可得散点图; (2)利用公式,计算回归系数,即可得到回归方程; (3)x=12 代入回归方程,即可得到结论. 【解答】解: (1)散点图如图所示? (2)由题设 =3, =1.6,?

∴ =

=

=0.58,

a= ﹣

=﹣0.14?

故回归直线方程为 y=0.58x﹣0.14? (3)当 x=12 时,y=0.58×12﹣0.14=6.82? 饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重约为 6.82 千克.?

【点评】本题考查回归分析的初步运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

21.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上 的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正 确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参 赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如 图所示.

(1)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你 的理由; (下面的临界值表供参考) P(K2≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽取 3 名幸运 选手, 求 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间的概率. (参考公式: 其中 n=a+b+c+d)

【考点】独立性检验. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)根据所给的二维条形图得到列联表,利用公式求出 k =3>2.706,即可得出结 论; (2) 按照分层抽样方法可知: 20~30 (岁) 抽取: 6× =2 (人) ; 30~40 (岁) 抽取: 6× =4
2

(人) ,在上述抽取的 6 名选手中,年龄在 20~30(岁)有 2 人,年龄在 30~40(岁)有 4 人,利用列举法求出基本事件数,即可求出至少有一人年龄在 20~30 岁之间的概率. 【解答】解: (1)根据所给的二维条形图得到列联表, 正确 20~30(岁) 30~40(岁) 合计 ? 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120

根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到 k2= ∵3>2.706? ∴有 1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关.? (2)按照分层抽样方法可知:20~30(岁)抽取:6× 30~40(岁)抽取:6× =4(人) ? =2(人) ;

=3

在上述抽取的 6 名选手中,年龄在 20~30(岁)有 2 人,年龄在 30~40(岁)有 4 人.? 年龄在 20~30(岁)记为(A,B) ; 年龄在 30~40(岁)记为(a,b,c,d) , 则从 6 名选手中任取 3 名的所有情况为: (A,B,a) 、 (A,B,b) 、 (A,B,c) 、 (A,B,d) 、 (A,a,b) 、 (A,a,c) 、 (A,a,d) 、 (A,b,c) 、 (A,b,d) 、 (A,c,d) 、 (B,a,b) 、 (B,a,c) 、 (B,a,d) 、 (B,b,c) 、 (B,b,d) 、 (B,c,d) 、 (a,b,c) 、 (a,b,d) 、 (a,c,d) 、 (b,c,d) ,共 20 种情况,? 其中至少有一人年龄在 20~30 岁情况有: (A,B,a) 、 (A,B,b) 、 (A,B,c) 、 (A,B,d) 、 (A,a,b) 、 (A,a,c) 、 (A,a,d) 、 (A,b,c) 、 (A,b,d) 、 (A,c,d) 、 (B,a,b) 、 (B,a,c) 、 (B,a,d) 、 (B,b,c) 、 (B,b,d) 、 (B,c,d) ,共 16 种情况.? 记至少有一人年龄在 20~30 岁为事件 A,则 P(A)= ∴至少有一人年龄在 20~30 岁之间的概率为 .? 【点评】本题考查独立性检验知识的运用,考查分层抽样,考查概率知识,考查学生分析解 决问题的能力,确定基本事件总数是关键. = ?

22.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)求 a2,a3; (2)求证:{

(n∈N*)

+ }是等比数列,并求{an}的通项公式 an;

(3)数列{bn}满足 bn=(3 ﹣1)? Tn+

n

?an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1) λ <

n

对一切 n∈N*恒成立,求 λ 的取值范围.

【考点】数列与不等式的综合;等比关系的确定. 【专题】综合题;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用 a1=1,an+1= ,可求 a2,a3;

(2)把题目给出的数列递推式取倒数,即可证明数列{ 通项公式求得 + ,则数列{an}的通项 an 的通项可求;

+ }是等比数列,由等比数列的

(3)把数列{an}的通项 an 代入 bn=(3n﹣1)? 和为 Tn,对 n 分类,则答案可求. 【解答】解: (1) ?

?an,由错位相减法求得数列{bn}的前 n 项

(2)由



即 又 所以

?

是以 为首项,3 为公比的等比数列.?

所以



?

(3)

? =

两式相减得



∴ ∴ 若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则

?



∴﹣2<λ <3?(14 分) 【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的前 n 项和,考查了利用分类讨论的数学思想方法求解数列不等式,是中档题.


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