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高三文科数学期末试题(淄博四中)


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淄博四中 2014—2015 学年第一学期末测试题 高三数学试题(文科) 命题人:赵文斌
第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.

函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是 A. (??, 2] B. (2, ??) C. (1, 2] D. (1, ??)

A

5

B

2

C

3

D

5 2

8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
3

A.

(8 ? ? ) 3 6

B.

(8 ? 2? ) 3 6 (9 ? 2? ) 3 6

1

正视图

2

2 侧视图

2. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

C.

(6 ? ? ) 3 6

D.

俯视图

9.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 数 g ( x) ? (

9 , x ? (0, 4) ,当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值 b ,则在直角坐标系下函 x ?1

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 个单位后得到 ,0)对称

1 x ?b ) 的图像为 a

3.函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |< 的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象

)的最小正周期为 π ,且其图象向右平移 ,0)对称 B.关于点( 对称

A.关于点( 对称

C 关于直线 x= 4.已知函数 f ( x) ? A. (0,1)

D 关于直线 x=

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 的零点的区间是 x
C. (2, 4) D. (4, ??)

A

B

C

D

10 若函数 h( x) 在定义域 D 上可导,且其导函数 h?( x) 在 D 上也可导,则称 h( x) 在 D 上存在二阶导函数, 记作 h??( x ) , 即 h??( x) ? ? h?( x) ?? , 当 h?? ? x ? ? 0 在 D 上恒成立时, 称 h( x) 在 D 上是凸函数.下列函数

B. (1, 2)

5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和b(a ? b) ,其全程的平均时速为 v ,则 A. a ? v ?

ab

B. v ?

ab

C.

ab ? v ?

a?b 2

D. v ?

a?b 2

在 ? 0,

? ?

??

? 上不是凸函数的是 2 ? ..
B. f ( x) ? ln x ? 2015x ? m ? m ? R? D. f ( x) ? xe ? m ? m ? R ?
x

6.设? 、 ? 是两个不同的平面, l 、 m 为两条不同的直线,命题 p :若平面? ∥ ? , l ? ? , m ? ? , 则 l ∥ m ;命题 q : l ∥? , m ⊥ l , m ? ? ,则 ? ⊥? ,则下列命题为真命题的是 A. p 或 q B. p 且 q C. ? p 或 q D. p 且 ? q 7 设 F 是抛物线

A. f ( x) ? sin x ? cos x ? m ? m ? R? C. f ( x) ? ?x ? 2020x ? m ? m ? R ?
3

C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 , 点 A 是 抛 物 线

C1 与 双 曲 线

C2 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的一个公共点,且 A F ? x 轴,则双曲线 C 2 的离心率 a2 b2
1 ★准确的记忆和规范的表达就是最好的学习方法★ 2

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第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的相应位置 11. 设点 P( x, y ) 为平面上以 A (4 , 0) ,B 为顶点的三角形区域(包括边界)上一动点, (0 , 4) , C( 1 , 2)

A 2 ,b ? 2 , 不变, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a , b, c , 若 f ( ) ? 0, g (B) ? 2 2 求 a 的值. 18.(本小题满分 12 分)

?3 ? ,1? . ?4 ? 12. 若 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ?
O 为原点,且 OP ? ? OA ? ? OB ,则 ? + ? 的取值范围为 ?
50 .

如图 2, 在三棱柱 ABC ? A CC1 ? 平面 ABC ,A1B1 ? BC , 1B 1C1 中,

A1

E

C1 B1

? ln a20 ?

BC ? 1 , AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 AC 1 1 、 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: C1F // 平面 EAB ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? BCE 的体积. 19.本题满分 12 分) 已知等差数列{an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S2 , S4 成等 比数列.(I)求数列{an } 的通项公式; (II)令 bn = (?1)
n ?1

1 1 ? 的最小值是 3+ 2 2 a b x2 y2 x2 y2 14. 已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C 1 的方程为 2 ? 2 ? 1 , 双曲线 C 2 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,C 1 与 C 2 的离心率之 a b a b
13.已知 a? R ? , b ? R ? 函数 y ? 2aex ? b 的图像过(0,1)点,则

A B
图2

C F

3 积为 ,则 C 2 的渐近线方程为 2
15.给出下列命题:

y=

2 ? x 2

①若 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称; ②若函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x)?f(x+4)=1,则 8 是函数 f(x)的一个周期 ③若 logm3<logn3<0,则 0<m<n<1; ④若 f(x)=e
|x﹣a|

4n , 求数列{bn } 的前 n 项和Tn . an an ?1

20. (本小题满分 13 分)

在[1,+∞)上是增函数,则 a≤1.

其中正确命题的序号是 ____① ② ④ _____ . 三、解答题: 本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16. (本小题满分 12 分) 为了解某校学生参加某项测试的情况,从该校学生中随机抽取了 6 位同学,这 6 位同学的成绩(分数)如茎 叶图所示. 学生成绩 7 6 6 8 8 8 2 9 6 (Ⅰ)求这 6 位同学成绩的平均数和标准差; (II)从这 6 位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况,求这两位同学中恰有一位同学成绩低于平 均分的概率. 17(本题满分 12 分)已知向量 m ? (cos x ? sin x,2 cos x), n ? (cos x ? sin x,? sin x) . (Ⅰ)求 f ( x) ? m ? n 的最小正周期和单调减区间; (II)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移
3

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,椭圆C 的左焦点(-1,0) a 2 b2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)直线l 过点T (m, 0) 交椭圆 C 于 M、N 两点,AB 是椭圆 C 经过原点
已知点 P 在椭圆 C : ( 1, ? )

O 的弦,且 MN//AB,问是否存在正数 m ,使
求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

AB 为定值?若存在, MN

2

x ? ax . ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x 2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

?
8

个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标
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16. (Ⅰ)这 6 位同学的成绩平均数为 x ?

1 6 ? xn ? 81 . 6 n ?1

由正弦定理得:

a sin

?
4

?

2 sin

?
3

,? a ?

2sin

?
A1 E B1 C1

1 6 1 又 s ? ? ( xn ? x)2 ? (52 ? 52 ? 32 ? 32 ? 12 ? 152 ) ? 49 , 6 n ?1 6
2

4 ?2 6. 3 sin 3

?

18.解: (Ⅰ)法一:取 AB 中点 G ,连结 EG , FG ????1 分 ∵ E , F 分别是 A1C1 , BC 的中点 ∴ FG ∥ AC ,且 FG ?
1 AC 2
A C

故这 6 位同学成绩的标准差为 s=7. 6分 (Ⅱ) 从 6 位同学中随机选取 2 位同学, 包含的基本事件空间为 (76,76) 、 (76,78) 、 (76,78) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (76,78) 、 (76,78) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (78,78) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (82,96)15 个基本事件,其中括号内数字分别表示 2 位同学的成绩. 记“选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩低于平均分”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为

G

∵ AC ∥ A1C1 ,且 AC ? AC 1 1 ∴ FG ∥ EC1 ,且 FG ? EC1 ∴四边形 FGEC1 为平行四边形????4 分

B

F

8 (76,82) 、 (76,96) 、 (76,82) 、 (76,96) 、 (78,82) 、 (78,96) 、 (78,82) (78,96) 共 8 个基本事件则 P( A) ? , 15
故从 6 位同学中随机地选 2 位同学,恰有 1 位同学的成绩低于平均分的概率为
3 4

∴ C1 F ∥ EG 又∵ EG ? 平面 ABE , C1 F ? 平面 ABE ∴ C1 F ∥ 平面 ABE ????6 分 (Ⅱ)∵ AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , AB ? BC ∴ AB ? CA2 ? CB2 ? 3 ?8 分∴三棱锥 A ? BCE 的体积为 VA? BCE ? VE ? ABC ?10 分
? 1 1 1 3 S△ ABC ? AA1 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ? ?12 分 3 3 2 3

8 . 12 分 15

17.(1) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ), T ? ? [k? ? , k? ? ? ](k ? Z ) ; (2) a ?
8

?

3 8

2 6 . 3
3? ). 4

(1) f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos x sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ?
2? ?T ? ?? . 2

19.解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

由 2 k? ?

3? 3? ? 2 k? ? 得: 2 4 2 ? 3? 2 k? ? ? 2 x ? 2 k ? ? , 4 4 ? 3? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 8 8 ? 2x ?
?
8 3 8

?

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1)
n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

所以 f ( x) ? m ? n 的单调减区间为: [k? ? , k? ? ? ](k ? Z ) .
? ( 2 ) 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 , 所 得 函 数 为
8

? 3? ? y ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,再将所得图象上各点的横坐标伸 8 4 2
长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得函数为 y ? 2 cos x ,即 g ( x) ? 2 cos x . 由题设得: 2 sin( A ?
3? ? 2 1 ? ) ? 0,? A ? .又 2 cos B ? ,? cos B ? , B ? . 4 4 2 2 3
1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

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2

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? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
20. 解: (1)椭圆 C 的左焦点为 (1, 0) ,∴ c ? 1 ,椭圆 C 的右焦点为 (?1, 0) 可得 2a ?
3 (1 ? 1) 2 ? ( ? ) 2 ? 2 3 5 3 (1 ? 1) 2 ? (? ) 2 ? ? ? 4 ,解得 a ? 2 , ??2 分 2 2 2

1 ? a≤0 在 (1, 因 f (x)在 (1, ? ?) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? ?) 上恒成立. ??????1 分 (ln x)

所以当 x ? (1, ? ?) 时, f ?( x) max ≤0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)

? ?

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

? a ,????????????2 ? ?1 4
2

分故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a .所以 1 ? a≤0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 ln x 2 4 4 4 4 (2)命题“若存在 x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 f ( x1 )≤f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x)min ≤f ? ? x ?max ? a ”. ?????????????????5 分 由(Ⅰ) ,当 x ? [e, e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x)min ≤ 1 ”. ???????????6 分 4 ①当 a≥ 1 时,由(1) , f ( x) 在 [e, e2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ≤ 1 ,故 a≥ 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 ∴椭圆 C 的标准方程为

x y ? ? 1 ????????4 分 4 3

2

2

? x2 y 2 ? ?1 (2)设直线 l : y ? k ( x ? m) ,且 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? 3 ?4 ? y ? k ( x ? m) ?

3 x ? 4k ( x ? m) ? 12
2 2 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 12 ? 0



8k 2 m 3 ? 4k 2 4k 2 m 2 ? 12 x1 x2 ? 3 ? 4k 2 x1 ? x2 ? MN ? 1? k
2

?????6 分

?????????????????8 分

16[(12 ? 3m ) k ? 9] 3 ? 4k 2
2 2

②当 a <

1 1 1 1 2 1 ? ? 时,由于 f ' ( x) ? ?( ? )2 ? ? a 在 ? ?e, e ? ? 上的值域为 ? ?a, 4 ? a ? 4 ln x 2 4 ? ?
'

2 2 (ⅰ) ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ( x) ? 0 在 ? ?e, e ? ? 恒成立,故 f ( x) 在 ? ?e, e ? ? 上为增函数,

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 得 x2 ? 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
设 A( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 ) 得 AB ? 1 ? k
2

于是, f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? (ⅱ)? a ? 0 , 即0 ? a ?
'

1 ,矛盾.??????????10 分 4

1 ' ' , 由 f ( x) 的单调性和值域知, 存在唯一 x0 ? (e, e 2 ) , 使 f ( x) ? 0 , 4
'

且满足:当 x ? (e, x0 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 , e 2 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 为增
2

x3 ? x4 得 AB ?

48(1 ? k 2 ) ????????10 分 3 ? 4k 2

函数;所以, f min ( x) ? f ( x0 ) ? x0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e, e 2 ) ????????????12 分
ln x0 4



64k 4 m 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(k 2 m 2 ? 3) ? 16[(12 ? 3m 2 )k 2 ? 9]
2

所以, a ? 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾.?????????13 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4

? 当 12 ? 3m 2 ? 9, m ? 1 时 AB ? 4 为定值,当 k 不存在时,定值也为 4? m ? 1 ???13 分
MM

综上,得 a ? 1 ? 1 ???????????????????????????14 2
2 4e

21.解: (1)由已知得 x>0,x≠1.
3 ★准确的记忆和规范的表达就是最好的学习方法★ 4


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