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2015-2016学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(下)期中数学试卷(理科)


2015-2016 学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(下)期中数学 试卷(理科)
一、填空题: (共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.(★★★★)“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角线互相平分且相等”,补充 以上推理的大前提为 矩形的对角线互相平分且相等 .

2.(★★★★)“无理数是无限小数,而 个推理是

演绎

是无限小数,所以

是无理数.”这

推理(在“归纳”、“类比”、“演绎”中选择填空)

3.(★★★★)已知 C

=C

,则 x=

1或3



4.(★★★★)设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为

2



5.(★★★)用反证法证明命题:“在一个三角形的三个内角中,至少有二个锐角”时,设部分 的内容应为 在一个三角形的三个内角中,至多有一个锐角 .

6.(★★★★)规定:A 排列数 A

=x(x-1)…(x-m+1) ,其中 x∈R,m 为正整数,且 A = -1320 .

=1,这是

(n,m 是正整数,且 m≤n)的一个推广,则 A

7.(★★★★)已知平行四边形 OABC 的顶点 A、B 分别对应复数 1-3i,4+2i.O 为复平面的原 点,那么顶点 C 对应的复数是 3+5i .

8.(★★★★)利用数学归纳法证明“ 式的左边应增加的项数是
k

”,从 n=k 推导 n=k+1 时原等

2

k

项.

9.(★★★)已知 z∈C,且|z-2-2i|=1, (i 为虚数单位) ,则|z+2-i|的最大值为 .

10.(★★★)从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) ,要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 种. (用数字作答) 420

11.(★★)设等边△ ABC 的边长为 a,P 是△ ABC 内任意一点,且 P 到三边 AB、BC、CA 的距离 分别为 d 1、d 2、d 3,则有 d 1+d 2+d 3 为定值 a;由以上平面图形的特性类比到空间图形:

设正四面体 ABCD 的棱长为 a,P 是正四面体 ABCD 内任意一点,且 P 到平面 ABC、平面 ABD、平 面 ACD、平面 BCD 的距离分别为 h 1、h 2、h 3、h 4,则有 h 1+h 2+h 3+h 4 为定值 a .

12.(★★)已知扇形的圆心角为 2α(定值) ,半径为 R(定值) ,分别按图

一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为 出的矩形面积的最大值为 .

,则按图二作

13.(★★★★)观察下面的数阵,第 30 行第 20 个数是

861



14.(★★★)己知 x>0,由不等式 结论:
n

,启发我们可以推广 n
n

,则 m=



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(★★★)已知复数 z=(m +m-6)+(m +m-2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为 A. (1)若复数 z+4m 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若点 A 在第二象限,求实数 M 的取值范围; (3)求|z|的最小值及此时实数 m 的值.
2 2

16.(★★★)(1)已知 a,b 都是正数,求证:a +b ≥a b +a b . (2)已知 a>0,证明: .

5

5

2

3

3

2

17.(★★★)试问函数 f(x)=x+cosx 是否为周期函数?请证明你的结论. 18.(★★★)已知集合 A={z||z|≤1}, (1)求集合 A 中复数 z=x+yi 所对应的复平面内动点坐标(x,y)满足的关系?并在复平面内 画出图形. (2)若 z∈A,求|z-(1+i)|的最大值、最小值,并求此时的复数 z (3)若 B={z||z-ai|≤2},且 A? B,求实数 a 的取值范围. 19.(★★★)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的正整数. (1)共有多少个四位数?其中偶数有多少个? (2)比 4301 大的四位数有多少个? (3) )求所有这些四位数之和. 注:以上结果均用数字作答.

20.(★★★)数列{a n}中, (Ⅰ)求 a 1,a 2,a 3,a 4;



(Ⅱ)猜想 a n 的表达式,并用数学归纳法加以证明.


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