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讲义20:实系数一元二次方程


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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号_12SH18SX030872

学员编号: 学员姓名:陶诗卫

年 级:高二 辅导科目:数学

课 时 数:3 学科教师:朱慧



题 2012 年 5 月 1 日 15:00-17:

00

实系数一元二次方程

授课日期及时段

教学目的

掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解; 掌握实系数一元二次 方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用。 教学内容

? 温故而知新
复习并完成上次课讲义的内容

巩固练习 1、已知 z∈C,且 z ? 2 ? 2i ? 1, i 为虚数单位,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 ( )

2、若 z ? C ,且 z ? 4i ? 1 ,则 z ? 4 ? i 的取值范围是____________________ 3、若复数 z 满足 | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则 | z | 的最大值是__________

4、若复数 z 满足| z -4-3 i |≤3,则| z |的取值范围是_________ 5、在复平面上,已知直线 l 上的点所对应的复数 z 满足 z ? i ? z ? 3 ? i ,则直线 l 的倾斜角为 三角函数值表示) (结果用反

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中国领先的中小学教育品牌 6、若复数 z 满足 | z ? 1| ? | z ? 1|? 2,那么 | z ? i ? 1| 的最小值是___________ 7、已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R )满足: z ? 5 ? z ? 5 ? 2a ,且 z 在复平面上的对应点 P 的轨迹 C 经过点

(4, 3) [
(1) 求 C 的轨迹; (2) 若过点 A(4, 0) ,倾斜角为

? 的直线 l 交轨迹 C 于 M 、N 两点,求 △OMN 的面积 S 。 4

一、知识梳理
1、复数的平方根:如果 a ? bi , c ? di (a , b , c , d ? R) 满足: (a ? bi) ? c ? di ,则称 a ? bi 是 c ? di 的一个平方
2

根。 【说明】 (1)一个非零复数的平方根都有相应的两个复数; (2)复数的平方根一般不要记为 z . 2、复数的立方根:若复数 z1 , z 2 满足 z1 ? z 2 ,则称 z 1 是 z 2 的立方根。
3

1 的立方根:1, ? , ? (其中 ? ? ?
2

1 3 2 ,满足 1 ? ? ? ? ? 0 。 ? i) 2 2

3、实系数的一元二次方程
2 实系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a 、 b 、 c ? R ,且 a ? 0 )

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中国领先的中小学教育品牌 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根;
2

当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根;
2

当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程在复数集范围内有一组共轭虚根 x ?
2

? b ? 4ac ? b 2 i b 4ac ? b 2 ?? ? i 2a 2a 2a

x1和x2 为一对共轭虚根,即 x2 ? x1 ,∴ x1 ? x2 ?| x1 |2 , x1 ? x2 ? 2Re x1 .
这时两根仍然满足韦达定理: x1 ? x 2 ? ?
2



b c , x1 ? x 2 ? 。 a a

结论: (1)实系数一元二次方程如果有虚根必定成对出现,并且共轭; ( 2 )实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 在复数范围内总有两个解 x1 、 x2 ,总可以进行因式分解:

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。
二、典型例题解析
例 1 (1)在复数集中解方程: 3x
2

? x ? 2 ? 0;
2

(2)在复数集中解关于 x 的方程: x

? ax ? 4 ? 0(a ? R) .

例 2 方程 z (A)2

2

? 5| z | ?6 ? 0 在复数集中解的个数为
(B)4 (C)6
2





(D)8
2

例 3 已知关于 x 的方程 3 x - 6(m ? 1) x + m +1=0 的两个虚根 z 1 、 z 2 满足| z 1 |+| z 2 |=2,则实数 m 的值 是______

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中国领先的中小学教育品牌 例 4 已知方程 x ? x ? m ? 0 有两个根 x1 , x2 , m ? R
2

(1)若 | x1 ? x2 |? 3 ,求 m ; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 3 ,求 m 。

例 5 已知关于 x 的方程 x

2

? (k ? 2i) x ? 2 ? ki ? 0(k ? R) 有实根,求实数 k 的值,并解方程。

巩固训练 1、设 x ? C ,方程 | x | ? | x |? 0 的解集为
2

(

) D.以上都不对

A. {0,1}

B. {0, ?1,1}

C. {0, ?1,1, ? i , i }

2 2、在复数范围内分解因式: 2 x ? 5 x ? 8 =___________________________________.

3、若方程 x

2

? ax ? 2 ? 0(a ? R) 有虚数根 z,则|z|=

.

4、若两个数之和为 2,两个数之积为 3,则这两个数分别为
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.
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5、已知关于 x 的方程 x +5 x + m =0 的两个虚根 z 1 、 z 2 满足| z 1 - z 2 |=3,则实数 m 的值是__________ 6、已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,则 p, q 的值为( A、 p ? ?4, q ? 5 B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5 )
()]

2

D、 p ? ?4, q ? ?5

7、若 1 ? 2i 是方程 2 x 2 ? bx ? c ? 0, (b, c ? R) 的一个根,则 b ? __________, c ? __________ 8、若 ? 、 ? 是方程 x
2

? x ? 7 ? 0 的两个根,则 ? ? ?
5

2

=

.

9、已知复数 ? 满足 ? ? 4 ? (3 ? 2? )i , z ?

?

? | ? ? 2 | ,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程。

10、已知实系数方程 x 2 ? (k ? 1) x ? k ? 0 的虚根的模等于 5 ,求 k 的值,并解此方程。

2 2 11、已知关于 x 的实系数方程 x ? kx ? k ? 3k ? 0 有一个模为 1 的根,求实数 k 的值。

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12、已知方程 x

? px ? 1 ? 0( p ? R) 的两根为 x1 、 x2 ,若 x1 ? x2 ? 1,求实数 p 的值.

13、设 ? , ? 是关于 x 的方程 x 2 ? 3x ? m ? 0 的两根, m ? R ,且 ? ? ? ? 9 ,试求 m 的值。

14、设 ? , ? 是关于 x 的方程 x ? 2x ? m ? 0(m ? R) 的两个根,求 ? ?
2

? 的值.

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中国领先的中小学教育品牌 15、已知关于 x 的方程 ax
2

? (1 ? 2i) x ? 2a(1 ? i) ? 0 (a ? R) 有实数根,求实数 a 的值.

三、总结反思

四、课后练习
1、设 z1、z 2 为复数,则 z1 ? z 2 ? 0 是 z1 ? z 2 ? 0 的 (A)充分非必要条件 (C)充要条件
2 2

(

)

(B)必要非充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2、设复数 z ? 2 cos ? ? 2i sin ? , (? ? R) ,则复数 z 在复平面上所对应的图形是( ) A.一个模为 2 的向量 C.一个半径为 2 的圆 B.一条长度为 4 的线段 D.一个到原点距离为 4 的点

n n ? ? ? ? ? 1? i ? ? 1? i ? ? , n ? Z 3、若 i 是虚数单位,则下列集合中与集合 A ? ? x x ? ? ? 相等的是( ? ? ? 1 ? i 1 ? i ? ? ? ? ? ? ? ?



A.{0,1} C.{-2,0,2}

B.{-1,0,1} D.{0,2}

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中国领先的中小学教育品牌 4、已知复数 z 满足: z ? 3i ? z ? 3i ? 5 ,则它在复平面上对应点的轨迹是 (A)双曲线的上支 (B)双曲线的下支 5、在复数集中分解因式: 3x
2

(

)

(C)双曲线的左支 (D)双曲线的右支 .

? 2x ? 1=
2

6、已知 1-i 是实系数一元二次方程 x 7、若复数 z ?

? px ? q ? 0 的一个根,则 p ? q =

.

(1 ? 2i) 3 (6 ? 8i) ,则 z ? __________ (2 ? i ) 5

8、下列所给的四个命题中 (1)两个共轭复数的模相等 (3) z1 ? z2 ??? z1 ? ? z2 以上命题为真命题的有____________________
2

(2) z ? R ??? z ? z (4) z ? z ? z
2

9、若方程 2x

? 8x ? a ? 1 ? 0(a ? R) 有一个虚根的模为 5 ,则实数 a 的值为

.

10、已知方程 | z ? 2 | ? | z ? 2 |? a 表示等轴双曲线,则实数 a 的值为______________。

11、已知复数 z 1 满足 ?3 ? 4 i? z1 ? ?1 ? 7i , z 2 ? a ? 2 ? i , a ? R . (1)若 z1 ? z 2 ? 2 z1 ,求 a 的取值范围;
2 (2)若 z1 ? z 2 是方程 x ? 2 x ? p ? 0 ( p ? R) 的一个根,求 a 与 p 的值.

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中国领先的中小学教育品牌 12、已知关于 x 的方程 2x2 ? 4(m ?1) x ? m2 ? 1 ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,求实数 m 的值。

13、关于 x 的方程: 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 至少有一个根的模等于 1,求实数 a 的值.
2 2

14、设 x, y ? R ,若 z1 ? ( x ? 4) ? yi , z2 ? ( x ? 4) ? yi ,且 z1 ? z2 ? 12 (1)求动点 M( x, y) 的轨迹方程 C。 (2)若 A(m,0)

m ???6,6? , B(6, 0) A 到直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离等于 AB ,求(1)中的轨迹 C 上的动

点到点 A 的距离的最小值。

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