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吉林省实验中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题


吉林省实验中学 2014—2015 学年度下学期期末考试

高一数学理试题
一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上) 1.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 3n ? 4(n ? N*) ,则 a 4 等于( A.1 B.2 C.0 D.3



2.在 ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? b ,且 a ? 2, b ? 3, a ? b ? 3 ,则∠C 的大小为( A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 ).

uu u r

r uuu r

r

r

r

r r



3.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么球的体积扩大到原来的 ( A.2 倍 B. 2 2 倍 C. 2 倍 ) b a D. < a b

D. 3 2 倍

4.已知 a,b 为非零实数且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<b2 B.ab2>a2b 1 1 C. 2< 2 ab a b

5 对于直线 m,n 和平面 α,β,γ,有如下四个命题: (1)若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α (2)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α (3)若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ, (4)若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β ) 其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则 ) 该几何体的体积是(

20 A. 3

16 B. 3

π C.8-6

π D.8-3 )

7.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 则其通项公式为 an =(
n A. 2 ? 1

B. 2

n -1

?1

C.2n-1

D.2(n-1)

8.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,∠B= 的面积为( A. 2 3+2 ) B. 3+1 C. 2 3-2

?
6

,∠C=

?
4

,则△ ABC

D. 3-1

9.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=BC=2, AA1 ? 1 ,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成 角的余弦值为( )

A

B.

C.

D.

10 等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , , a22 ? a1a4 , 若a1, a3 , ak1 , ak2 ,L , akn ,L 成等比数列, ,则

kn ? (
A. nd

) B. 3 n ? 2 C. 3 n ?1 D. 3 n

11 正数 x, y满足 log2 ( x ? y ? 3) ? log2 x ? log2 y, 则x ? y 的取值范围是





A. (0,6]

B. [6,??)

C. [1 ? 7 ,??)

D. (0,1 ? 7 ]

12.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=1,若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60° ,则点 C 到 平面 C1 AB 的距离为 ( )

A. 1

B.

1 2

C.

3 2

D.

3 4

二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应的横线 上. ) 13 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,则数列 ?a n ?的通项公式为 14 一个正方体纸盒展开后如图所示, ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 在原正方体纸盒中有下列结论: 成 60° 角;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是

15. 要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_________(单位:元). 16. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 1 (不包括端点)上 1, P 2 分别是线段 AB, BD 的动点,且线段 PP 1 2 平行平面 A 1 ADD 1 ,则四面体 PP 1 2 AB 1 的体积的最大值是 三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. ) 17.(本题 10 分)已知不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 x x ? 2或x ? 1 。

3

?

?

(1)求 b和c 的值; (2)求不等式 cx 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集

18.(本题 12 分) ??? C 的内角 ? , ? , C 所对的边分别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行. (I)求 ? ; (II)若 a ?

r

?

?

r

7 , b ? 2 ,求 ??? C 的面积.

19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP =AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; P (Ⅱ)求四棱锥 P—ABCD 的表面积 S. E A B C F D

20(本题 12 分)如图,在三棱锥 A-BOC 中,OA⊥底面 BOC,∠OAB=∠OAC=30° ,AB =AC=4,BC= 2 2 ,动点 D 在线段 AB 上. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 OD⊥AB 时,求三棱锥 C-OBD 的体积.

21 (本题 12 分) . 如图 , 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 侧棱 AA1 ⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1 ? CE (Ⅱ) 求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值.

2 6 (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为 , 求线段 AM
的长.

22.(本小题 12 分)数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ?

2Sn 2 (n ? 2) 2Sn ? 1

(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? Sn ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式
?

(3) 设存在正数 k , 使 求k 的 ( 1+S1 )(1 ? S2 )L (1 ? Sn ) ? k 2n ?1 对于一切 n ? N 都成立, 最大值。

参考答案 选择题: 1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D

13. a n ? ?

?5(n ? 1) ?2
n ?1

(n ? 2)

14.①③

15.160

16.

1 24

17.

(1)不等式

的解集为 的两个根为 1,2 由根与系数关系的

所以与之对应的二次方程

(2)不等式

化简为

不等式的

解为

18.(I)因为

,所以

由正弦定理,得





,从而



由于



所以

(II)解法一:由余弦定理,得

,而







,即

因为

,所以

,故

面积为

.

解法二:由正弦定理,得

,而

又由



,所以





所以

面积为

.

19. (1)在△ PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC,又 BC∥AD,∴EF∥AD,
∴EF∥平面 PAD。

(2) 3

2+ 3+3

20. (1)证明:∵AO⊥底面 BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB.

∵∠OAB=∠OAC=30° ,AB=AC=4,∴OC=OB=2. ∵BC = 2 ,∴OC⊥OB,∴OC⊥平面 AOB. ∵OC? 平面 COD,∴平面 COD⊥平面 AOB. (2)
3 3

21(Ⅰ)证明:因为侧棱 CC1 ⊥底面 A1B1C1D1 , B1C1 ? 平面 A1B1C1D1 .所以 CC1 ? B1C1 .经
计算可得 B1E ? 5 ,B1C1 ? 2 ,EC1 ? 3 , 从而 B1E ? B1C1 ? EC1 .所以在△ B1EC1 中,
2 2 2

B1C1 ? C1E ,又 CC1 , C1E ? 平面 CC1E , CC1 ? C1E ? C1 ,所以 B1C1 ⊥平面 CC1E ,又
CE ? 平面 CC1E ,故 B1C1 ? CE .
(Ⅱ)解:过 B1 作 B1G ⊥ CE 于点 G,连接 C1G .由(Ⅰ), B1C1 ? CE 垂直,故 CE ⊥平面

B1C1G ,得 CE ? C1G ,所以∠ B1GC1 为二面角 B1-CE-C1 的平面角.在△ CC1E 中,由

CE ? C1E ? 3 , CC1 ? 2 ,可得 C1G ?
sin ?B1GC1 ?
(3)

2 6 42 .在 Rt△ B1C1G 中, B1G ? ,所以 3 3

21 21 ,即二面角 B1-CE-C1 的正弦值为 . 7 7

2

22
(1)因为 n

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ?
1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

2Sn 2 得 Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1 2Sn ? 1

由题意

Sn ? 0 (n ? 2) ?

又 S1

?1? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ?n ? N ? ? 2n ? 1 Sn

(2)由(1)有

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

1 1 2 ? ?? . 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1

? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(3)设 F (n) ?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ???1 ? Sn ?
2n ? 1



F (n ? 1) (1 ? Sn?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4n2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 F (n) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 4n2 ? 8n ? 3

? F (n )在 n ? N ? 上递增
又 F (n) min

故使 F (n) ?

k 恒成立只需 k ? F (n)min

? F (1) ?

2 3 3

又k

?0

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 . 3 3



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