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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(人教B版必修2)


1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
自主学习

学习目标 1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式,并学会运用这些公式解决一些简单的问 题. 2.认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点,由此推导出侧面积公式. 自学导引 1.棱柱、棱锥、棱台侧面积 (1) 设直棱柱高为 h ,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式:S 直棱柱侧 = ________,即直棱柱的侧面积等于它的________________________. (2)设正 n 棱锥的底面边长为 a,底面周长为 c,斜高为 h′,则正 n 棱锥的侧面积的计 算 公 式 : S 正 棱 锥 侧 = __________ = ________ , 即 正 棱 锥 的 侧 面 积 等 于 它 的 ________________________________________________________________________. (3)设棱台下底面边长为 a,底面周长为 c,上底面边长为 a′,周长为 c′,斜高为 h′, 则正 n 棱台的侧面积公式: S 正棱台侧=________________=________________. 2.棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于__________________. (2) 用 球 的 半径 R 计 算球 表 面 积的 公 式 : S 球 = ________ ,即 球面 面积 等 于 它的 ________________. 对点讲练 知识点一 直棱柱、正棱锥的表面积 例 1 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求直平行六面体 的侧面积.

点评 本题主要考查棱柱的结构特征,特别是直平行六面体,它的特点:底面是平行四 边形且侧棱与底面垂直,对角面是矩形.设边长后就可以转化为矩形内线段的研究.在解方 程组时注意运用整体代入的方法,充分运用式子的特征来解决问题. 变式训练 1 设正三棱锥 S—ABC 的侧面积是底面积的 2 倍,高为 SO=3.求此正三棱 锥的全面积.

知识点二 正棱台的表面积 例 2 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 cm 和 8 cm 的正方形,侧面是腰长为 8 cm 的等腰梯形,求它的侧面积.

点评 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形, 它是架起求侧面积 关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁. 另外, “还台为锥”的思想在 计算中也经常用到. 变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm,其侧面积等于两底面积 的和,求棱台的高.

知识点三 球的表面积公式的应用 例 3 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的 . 3

点评 球的体积和表面积只与半径有关, 利用球与其他几何体的位置关系, 灵活求解球 的半径是关键. 变式训练 3 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )

A.9π

B.10π

C.11π

D.12π

1.柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的,不要死记公式,要根据展开图的 特点进行计算. 2.要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系,

1 1 c′=0 S 台侧= (c+c′)h′― ― →S 锥侧= ch′ 2 2 ,c=c′ S 柱侧=ch′. 3.计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截面)找到关键 量,借助它们的数量关系解决问题.另外,还要注意整体代换的思想方法的运用. 课时作业 一、选择题 1.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线为 2,体对角线为 6,则这个棱柱的侧面 积是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a,则该三棱锥的表面积是( ) 3+ 3 2 A. a 4 ( 3 B. a2 4 C. 6 2 a 2 D. 3 2 a 3

3.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长之和为 12π,这两个球的半径之差为 ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知正三棱台的上底面边长为 2,下底面边长为 4,高为 15 ,则正三棱台的侧面积 3

S1 与底面面积之和 S2 的大小关系为( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.以上都不是 5.正四棱锥的侧面积为 60,高为 4,则正四棱锥的底面边长为( A.24 B.20 C.12 D.6 题 答 号 案 1 2 3 4

) 5

二、填空题 6.正六棱柱的高为 5 cm,最长的对角线为 13 cm,则它的侧面积为________. 7.若一个直立圆柱的侧视图是面积为 S 的正方形,则该圆柱的表面积为________. 8.长方体的体对角线长度是 5 2,若长方体的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球 的表面积是__________. 三、解答题 15 9.已知正三棱锥的底面三角形的边长为 ,侧棱与高的夹角为 60° ,求三棱锥的侧面 2 积及全面积.

10.如图所示是一个建筑物的三视图,现需要将其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用 油漆 0.2 kg, 问共需要油漆多少 kg?(尺寸如图所示, 单位: m, π 取 3.14, 结果精确到 0.01 kg)

【答案解析】 自学导引 1. (1)ch 底面周长和高的乘积 n(a+a′)h′ 1 (c+c′)h′ 2 1 1 1 (2) nah′ ch′ 底面周长和斜高乘积的一半 (3) 2 2 2

2.(1)侧面积与底面积之和 (2)4πR2 大圆面积的四倍 对点讲练 例1

解 如图所示,设底面边长为 a,侧棱长为 l,底面两条对角线的长分别为 c,d,即 BD =c,AC=d,则 c· l=Q ① ? ?d· l=Q ② ?1 ? ?1 ? ? ?? ?2c? +?2d? =a
1 2 2 2

2



Q1 Q2 由①得 c= ,由②得 d= ,代入③得 l l

?Q1?2+?Q2?2=a2, ? 2l ? ? 2l ?
2 2 2 2 2 ∴Q2 1+Q2=4l a ,∴2la= Q1+Q2. 2 ∴S 侧=4al=2 Q2 1+Q2. 变式训练 1

解 设正三棱锥的底面边长为 a,斜高为 h′, 过 O 作 OE⊥AB,SE⊥AB, 则 SE=h′. ∵S 侧=2S 底, 1 3 ∴ · 3a· h′= a2· 2, 2 4 ∴a= 3h′. ∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2, ∴32+? 3 ?2=h′2, ? 6 × 3h′? 3 2 3 a = ×62=9 3. 4 4

∴h′=2 3,a= 3h′=6, ∴S 底=

S 侧=2S 底=18 3,S 全=S 侧+S 底=9 3+18 3=27 3. 例 2 解 方法一

图(1) 如图(1),过 B1 作 B1F⊥BC 交 BC 于 F. Rt△B1FB 中,B1F=h′ 1 BF= ×(8-4)=2,B1B=8, 2 ∴B1F= 82-22=2 15, ∴h′=B1F=2 15, 1 ∴S 四棱台侧= ×(8+4)×4×2 15 2 =48 15 (cm2). 方法二

图(2) 如图(2),四棱台的侧棱延长后交于点 P,过 P 作 PE⊥BC 交 BC 于 E,交 B1C1 于 E1, 则 PE1⊥B1C1. x 4 设 PB1=x,则 = , x+8 8 得 x=8. ∴PB1=B1B=8, ∴E1 为 PE 的中点, ∴PE1= 82-22=2 15,PE=2PE1=4 15, ∴S 四棱台侧=S 大四棱锥侧-S 小四棱锥侧 1 1 = ×8×4×PE- ×4×4×PE1 2 2 1 = ×8×4×4 2 1 15- ×4×4×2 15 2

=48 15 (cm2). 变式训练 2 解 如图所示,正三棱台 ABC—A1B1C1 中,O1、O 是上、下底面中心, D1、D 是 B1C1、BC 的中点,则 DD1 是斜高.

设 A1B1=20,AB=30,

10 则 OD=5 3,O1D1= 3, 3 ∵S 侧=S 底, 1 ∴ (60+90)· DD1 2 = 3 2 (20 +302). 4

13 ∴DD1= 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中, O1O= D1D2-?OD-O1D1?2 =

?13 3?2-?5 3-10 3?2=4 3 (cm), 3 ? ?3 ? ?

即棱台的高是 4 3 cm. 例 3 证明 (1)

如图所示,设球的半径为 R, 则圆柱的底面半径为 R,高为 2R, 得 S 球=4πR2, S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2, ∴S 球=S 圆柱侧. (2)∵S 圆柱全=4πR2+2πR2=6πR2, 2 S 球=4πR2,∴S 球= S 圆柱全. 3 变式训练 3 D [由三视图知,几何体是由圆柱与球组成的组合体, ∴S 表=S 球+S 柱=4π·12+2·π·12+2π·3=12π.] 课时作业 1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.180 cm2 解析 设正六棱柱的底面边长为 a,则底面正六边形的最长对角线为 2a,∴52+(2a)2= 132,∴a=6 cm. ∴S 正六棱柱侧=6ah=180 cm2. 7. 3π S 2

S 解析 设圆柱的底面半径为 r, 母线长为 l, ∵l=2r, ∴S=2r· l=4r2.∴r2= , ∴S 表=2πr2 4 3π +2πrl=6πr2= S. 2 8.50π

解析 设球半径为 R,由题意知 2R=5 2, 则 S 球=4πR2=π(2R)2=π·(5 2)2=50π. 9.解

如图所示,设 O 为正三角形 ABC 的中心,则正三棱锥的高、侧棱、底面半径组成 Rt△AOS. 15 ∵AB= , 2 2 15 ∴AO= × sin 60° , 3 2 ∵侧棱与高的夹角为 60° , AO ∴SA= =5. sin 60° 过点 S 作 SE⊥AB,垂足为点 E, 则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的一半构成 Rt△SEA, ∴斜高 SE= SA2-AE2= 225 5 7 25- = , 16 4

1 15 5 7 225 7 ∴S 正三棱锥侧= × × ×3= , 2 2 4 16 ∴S 正三棱锥全=S 正三棱锥侧+S 正三棱锥底 = 225 7 1 ?15?2 225 + ×? 2 ? ×sin 60° = ( 3+ 7). 16 2 16

10. 解 由图知建筑物为自上到下分别是圆锥和四棱柱的组合体. 并且圆锥的底面半径 2 为 3 m,母线长为 5 m,四棱柱的高为 4 m,底面是边长为 3 m 的正方形.圆锥的表面积为 πr 2 2 2 2 +πrl=3.14×3 +3.14×3×5=28.26+47.1=75.36 m ;四棱柱的一个底面积为 3 =9 m . 2 所 以 建 筑 物 的 外 壁 面 积 = 75.36 - 9 + 48 = 114.36 m , 所 以 需 要 油 漆 114.36×0.2 = 22.872≈22.87 kg.


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