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河南省信阳高级中学2015-2016学年高二(上)开学数学试题(解析版)


2015-2016 学年河南省信阳高级中学高二(上)开学数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )高二上学期第一次月考数学试题 1.已知集合 A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0},则 A∩B=( ) A.{0,2} B.{(0,2)} C. (0,2) D.? 2.函数 y= A. (﹣∞, ) 的定

义域为( B. (﹣∞,1] C. ( ,1] )

D. ( ,1)

3.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)=﹣xlg(3﹣x) ,那么 f(1) 的值为( ) A.0 B.lg3 C.﹣lg3 D.﹣lg4 4.已知 cos2θ= ,则 sin θ﹣cos θ 的值为( A. B. C.﹣ D.﹣
4 4



5.执行如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

6.将函数 y=sinx﹣ cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0) ,所得图象关于 y 轴对 称,则 a 的最小值为( ) A. B. C. D.

7.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=(



A.7

B.5
2

C.﹣5 D.﹣7 )

8. 函数 f (x) =3x ﹣x﹣1, x∈[﹣1, 2], 任取一点 x0∈[﹣1, 2], 使f (x0) ≥1 的概率是 ( A. B. C. D.

9.在△ ABC 中,设 A. + B. ﹣

= ,

= ,若点 D 满足 + D.

=2 +

,则

=(



C.﹣

10.在△ ABC 中,已知 A 是三角形的内角,且 sinA+cosA= ,则△ ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.无法确定三角形的形状
2 2



11.设直线 ax+2y+6=0 与圆 C:x +y ﹣2x+4y+1=0 相交于点 P,Q 两点,CP⊥CQ,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.3

12. 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (cos x+sinx) ? , 且 x∈[﹣

2

],

则函数 f(x﹣ A. B.

)的最大值是( C. D.1



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为



14.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8=

2



15.已知向量 =(2,l) , ? =10,| + |=5

,则| |=



16.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x)=

,下列说法:

①当﹣1<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2) ;②直线 y=x 与函数 f(x)的图象有 5 个交点; ③当 x∈(0,a]时,f(x)的最小值为 1,则 a∈[1, ];④关于 x 的两个方程 f(x)= 与 f(x)=b 所有根的和为 0,则 b=﹣ ;其中正确的有 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17. (2013 春?吉安期末)已知 A、B、C 为三角形 ABC 的三内角,其对应边分别为 a,b, c,若有 2acosC=2b+c 成立. (1)求 A 的大小; (2)若 ,b+c=4,求三角形 ABC 的面积. 18. (2014?呼伦贝尔二模)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160) , 第二组[160,165) ,…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率并估计该校 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (Ⅱ) 从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生, 记他们的身高分别为 x, y, 事件 E={|x ﹣y|≤5},求 P(E) .

19. (2015 春?银川校级期中)已知圆 M:x +(y﹣2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若点 Q 的坐标为(﹣1,0) ,求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值. 20. (2015?盐城三模)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,BB1=BC,点 P,Q,R 分 别是棱 BC,CC1,B1C1 的中点. (1)求证:A1R∥平面 APQ;

2

2

(2)求证:平面 APQ⊥平面 AB1C.

21. (2010?枣庄模拟)已知向量 . (1)若 ,求 x 的值;
2

(2)函数 f(x)= ? +| + | ,若 c>f(x)恒成立,求实数 c 的取值范围.

22. (2012 秋?莲湖区校级期中)已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满 足 a2?a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; n + (2)设 bn=2 an(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; n+1 (3)设 Fn=(4n﹣5)?2 ,试比较 Fn 与 Tn 的大小.

2015-2016 学年河南省信阳高级中学高二(上)开学数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. )高二上学期第一次月考数学试题 1.已知集合 A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0},则 A∩B=( ) A.{0,2} B.{(0,2)} C. (0,2) D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0}, ∴A∩B═{(x,y)| }={(x,y)| }={(0,2)},

故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.函数 y= A. (﹣∞, )

的定义域为( B. (﹣∞,1] C. ( ,1]



D. ( ,1)

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接根据真数大于 0 以及根号内大于等于 0 列出关于 x 的不等式组,解之即可得到 答案.

解答: 解:由题得:

?

?

?( ,

1]. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的定义域及其求法.当函数是由解析式给出时,其定义域是使解 析式有意义的自变量的取值集合. 3.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)=﹣xlg(3﹣x) ,那么 f(1) 的值为( ) A.0 B.lg3 C.﹣lg3 D.﹣lg4 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数是奇函数,将 f(1)转化为 f(﹣1)即可求值. 解答: 解:因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(﹣1)=﹣f(1) ,即 f(1)=﹣f(﹣ 1) , 当 x∈(﹣∞,0]时,f(x)=﹣xlg(3﹣x) ,所以 f(﹣1)=lg(3﹣(﹣1) )=lg4. 所以 f(1)=﹣f(﹣1)=﹣lg4. 故选 D. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用奇偶性的定义将数值进行转化是解决本题的 关键.
4 4

4.已知 cos2θ= ,则 sin θ﹣cos θ 的值为( A. B. C.﹣ D.﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,原式利用平方差公式及同角三角函 数间的基本关系化简,将得出关系式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵cos2θ=cos θ﹣sin θ= , ∴sin θ﹣cos θ=(sin θ﹣cos θ) (sin θ+cos θ)=sin θ﹣cos θ=﹣(cos θ﹣sin θ)=﹣ ,
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

故选:C. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及二倍角的余弦函数公式,熟练掌握 基本关系是解本题的关键. 5.执行如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数 是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据已知中的程序框图可得:该程序的功能是计算并输出分段函数

y=

的函数值,分段讨论满足 y=x 的 x 值,最后综合讨论结果可得答案.

解答: 解:根据已知中的程序框图可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数

y=

的函数值

当 x≤1 时,y=x =x,解得 x=﹣1 或 x=0 或 x=1,这三个 x 值均满足条件; 当 1<x≤3 时,y=3x﹣3=x,解得 x= ,满足条件; 当 x>3 时, =x,解得 x=﹣1 或 x=1,这两个 x 值均不满足条件; 综上所述,满足条件的 x 值的个数是 4 个. 故选 D 点评: 本题考查的知识点是程序框图,分析出程序的功能是解答的关键.

3

6.将函数 y=sinx﹣ cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0) ,所得图象关于 y 轴对 称,则 a 的最小值为( ) A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式,然后利用平移变换的法则,结合函 数的对称性,求出 a 的最小值. 解答: 解:因为函数 y=sinx﹣ 0) ,得到 y=2sin(x﹣a﹣ 令﹣a﹣ =﹣ ,∴a= ﹣ ) , )=﹣2cosx.图象关于 y 轴对称, cosx=2sin(x﹣ )图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>

此时 y=2sin(x﹣ 所以 a 的最小值为

∴选择 C 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的图象的变换,基本知识的考查. 7.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. )

分析: 由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可 求 a1,a10,即可 解答: 解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 3 当 a4=﹣2,a7=4 时,q =﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 点评: 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力. 8. 函数 f (x) =3x ﹣x﹣1, x∈[﹣1, 2], 任取一点 x0∈[﹣1, 2], 使f (x0) ≥1 的概率是 ( A. B. C. D.
2



考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: 先解不等式,再以长度为测度,计算 f(x0)≥1 的概率. 解答: 解:由 f(x0)≥1 可得 3x0 ﹣x0﹣2≥0,∴x0≤﹣ 或 x0≥1 ∵x0∈[﹣1,2],∴﹣1≤x0≤﹣ 或 2≥x0≥1
2

∴使 f(x0)≥1 的概率是

=

故选 D. 点评: 本题考查概率的性质和应用,考查运用几何概型解决实际问题,确定不等式的解集 是关键.

9.在△ ABC 中,设 A. + B. ﹣

= ,

= ,若点 D 满足 + D.

=2 +

,则

=(



C.﹣

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据三角形法则,写出 减法运算,写出最后结果. 解答: 解:如图所示,在△ ABC 中, 又 ∴ 故选:A. =2 ,∴ = = + ( . ﹣ )= + = + , , 的表示式,根据点 D 的位置,得到 = ,根据向量的

点评: 本题考查向量的加减运算,考查三角形法则,是一个基础题,是解决其他问题的基 础,若单独出现在试卷上,则是一个送分题目. 10.在△ ABC 中,已知 A 是三角形的内角,且 sinA+cosA= ,则△ ABC 一定是(



A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定三角形的形状 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 把已知等式两边平方,结合同角正余弦关系,判定 cosA 的符合,则确定三角形的形 状.

解答: 解:将 sinA+cosA= 两边平方,得 sin A+2sinAcosA+cos A= ∴2sinAcosA= ﹣1=﹣ <0,

2

2



又∵0<A<π,则 sinA>0, ∴cosA<0,即 A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 故选:C. 点评: 本题考查同角正余弦关系及正余弦函数在第一、二象限的符号特征,属于基础题. 11.设直线 ax+2y+6=0 与圆 C:x +y ﹣2x+4y+1=0 相交于点 P,Q 两点,CP⊥CQ,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.3 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论. 解答: 解:圆的标准方程为(x﹣1) +(y+2) =4,圆心 C(1,﹣2) ,半径 r=2, ∵AC⊥BC, ∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d= , 即 d= = ,
2 2 2 2

解得 a=2, 故选:B. 点评: 本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公 式是解决本题的关键.

12. 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (cos x+sinx) ? , 且 x∈[﹣

2

],

则函数 f(x﹣ A. B.

)的最大值是( C. D.1



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意求得 f(x)=1﹣sin x+sinx,可得 f(x﹣
2

)= ﹣

.由 x∈[﹣ )取得最大值.
2

],可得 cosx∈[0,1],利用二次函数的性质求得函数 f(x﹣ 解答: 解:由于 cos x+sinx= ﹣ ? =cos x+sinx=1﹣sin x+sinx,
2 2 2

< ,∴f(x)=(cos x+sinx)

∴函数 f(x﹣ 由 x∈[﹣

)=1﹣sin (x﹣

2

)+sin(x﹣

)=1﹣cos x﹣cosx= ﹣ )取得最大值为 1,

2



],∴cosx∈[0,1],故当 cosx=0 时,函数 f(x﹣

故选:D. 点评: 本题主要考查新定义,同角三角函数的基本关系,二次函数的性质,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 6π .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,该几何体为半圆柱. 解答: 解:由三视图可知,该几何体为半圆柱, 其底面半径为 2,高为 3; 则其体积为: ×π×2 ×3=6π. 故答案为:6π. 点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 14.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8=
2 2

15 .

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 根据数列前 n 项和的定义可得 a8=S8﹣s7 再代入计算即可. 2 解答: 解:∵an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) ,Sn=n ∴a8=S8﹣S7=64﹣49=15 故答案为 15 点评: 本题考查利用数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求 a8.解题的 关键是要分析出 a8=S8﹣S7.

15.已知向量 =(2,l) , ? =10,| + |=5

,则| |=

5



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 设 =(x,y) ,则有 2x+y=10,且 y 的值,即可求得|b|的值. 解答: 解:∵已知向量 =(2,l) , 且 解得 x=3,y=4,故 =5 =10,|
2

=5

,解方程求得 x、

|=5

,设 =(x,y) ,则有 2x+y=10,

, (2+x)

=(3,4) ,∴|b|=5,

故答案为 5. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.

16.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(x)=

,下列说法:

①当﹣1<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2) ;②直线 y=x 与函数 f(x)的图象有 5 个交点; ③当 x∈(0,a]时,f(x)的最小值为 1,则 a∈[1, ];④关于 x 的两个方程 f(x)= 与 f(x)=b 所有根的和为 0,则 b=﹣ ;其中正确的有 ②③④ .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①根据函数奇偶性的性质,求出函数 f(x)的解析式,判断当﹣1<x1<x2<1 时 的函数的单调性. ②作出函数 y=x 的图象,利用数形结合进行判断. ③求出函数 f(x)=1 的根,判断 a 的取值范围即可. ④根据函数奇偶性的对称性进行判断. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数, ∴若 x<﹣2,则﹣x>2,则 f(﹣x)= 则 f(x)= ,x<﹣2.
2

=﹣f(x) ,

若﹣2≤x<0,则 0<﹣x≤2,则 f(﹣x)=x +2x+2=﹣f(x) , 2 即 f(x)=﹣x ﹣2x﹣2,﹣2≤x<0, 当 x=0,则 f(0)=0. 作出函数 f(x)的图象如图: ①当﹣1<x1<x2<1 时,函数 f(x)不是单调函数,则 f(x1)>f(x2)不成立; ②作出 y=x 的图象,则直线 y=x 与函数 f(x)的图象有 5 个交点,成立.

③当 x= 时,f( )=

=



则当 x∈(0,a]时,f(x)的最小值为 1,则 a∈[1, ],则成立. ④∵函数 f(x)是奇函数,若关于 x 的两个方程 f(x)= 与 f(x)=b 所有根的和为 0, ∴函数 f(x)= 的根与 f(x)=b 根关于原点对称, 则 b=﹣ ,故④正确, 故答案为:②③④.

点评: 本题主要考查命题的真假判断,根据函数的奇偶性的性质,利用数形结合是解决本 题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17. (2013 春?吉安期末)已知 A、B、C 为三角形 ABC 的三内角,其对应边分别为 a,b, c,若有 2acosC=2b+c 成立. (1)求 A 的大小; (2)若 ,b+c=4,求三角形 ABC 的面积. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理化简已知等式,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式 得到关系式,联立后根据 sinC 不为 0 求出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角 的三角函数值即可求出 A 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 a,b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值,由 sinA 与 bc 的 值,利用三角形的面积公式求出即可. 解答: 解: (1)∵2acosC=2b+c,由正弦定理可知 2sinAcosC=2sinB+sinC,① 三角形中有:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,② 联立①②可化简得:2cosAsinC+sinC=0, 在三角形中 sinC≠0,得 cosA=﹣ ,

又 0<A<π, ∴A= ;
2 2 2

(2)由余弦定理 a =b +c ﹣2bc?cosA,得(2 ﹣2bc+bc, 解得:bc=4, 则 S△ ABC= bcsinA= ×4× = .

) =(b+c) ﹣2bc﹣2bccos

2

2

,即 12=16

点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握定理是解本题的关键. 18. (2014?呼伦贝尔二模)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160) , 第二组[160,165) ,…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率并估计该校 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (Ⅱ) 从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生, 记他们的身高分别为 x, y, 事件 E={|x ﹣y|≤5},求 P(E) .

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ) 先由第六组的人数除以样本容量得到第六组的频率, 然后用 1 减去出第七组 外各组的频率和即可得到第七组的频率; 因为过中位数的直线两侧的矩形的面积相等, 经计 算前三组的频率和小于 0.5,后四组的频率和大于 0.5,由此断定中位数位于第四组,设出中 位数 m,由 0.04+0.08+0.2+(m﹣170)×0.04=0.5 即可求得中位数 m 的值; (II)分别求出第六组和第八组的人数,利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有 男生中随机抽取两名男生的总的方法,再根据古典概型的概率公式解之即可. 解答: 解: (Ⅰ)第六组的频率为 ,

所以第七组的频率为 1﹣0.08﹣5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06; 由直方图得后三组频率为 0.06+0.08+0.008×5=0.18, 所以 800 名男生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18×800=144 人﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(Ⅱ)第六组[180,185)的人数为 4 人,设为 a,b,c,d, 第八组[190,195]的人数为 2 人,设为 A,B, 则从中抽取两人有 ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB 共 15 种情况, 因事件 E={|x﹣y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组, 所以事件 E 包含的基本事件为 ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB 共 7 种情况, 故 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查了频率分布直方图,考查了列举法求基本事件及事件发生的概率,解答此 题的关键是明确频率直方图中各矩形的频率和等于 1,中位数是频率分布直方图中,过该点 的直线把各矩形面积均分的点的横坐标,此题是基础题. 19. (2015 春?银川校级期中)已知圆 M:x +(y﹣2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若点 Q 的坐标为(﹣1,0) ,求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求切线 QA,QB 的方程; (2)连接 QM,则易知四边形 QAMB 的面积 ,即可求四边形 QAMB 的面积的最小 值. 解答: 解: (1)由题意,过点(﹣1,0) ,且与 x 轴垂直的直线显然与圆 M 相切,此时, 切线方程为 x=﹣1 当过点(﹣1,0)的直线不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x+1) ,即 kx﹣y+k=0, 由 解得 ,此时切线方程为 3x﹣4y+3=0;
2 2

(2)连接 QM,则易知四边形 QAMB 的面积

故当点 Q 为坐标原点时,



点评: 本题考查直线与圆 的位置关系,考查面积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (2015?盐城三模)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,BB1=BC,点 P,Q,R 分 别是棱 BC,CC1,B1C1 的中点. (1)求证:A1R∥平面 APQ; (2)求证:平面 APQ⊥平面 AB1C.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)通过证明四边形 APRA1 是平行四边形,推出 AP∥A1R,然后利用直线与平 面平行的判定定理证明 A1R∥平面 APQ. (2)说明 B1C⊥BC1,证明 B1C⊥PQ.然后证明 BB1⊥AP,得到 AP⊥平面 BCC1B1,利用 平面与平面垂直的判定定理证明平面 APQ⊥平面 AB1C. 解答: 证明: (1)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC∥B1C1 且 BC=B1C1, 因点 P,R 分别是棱 BC,B1C1 的中点,所以 BP∥B1R 且 BP=B1R, 所以四边形 BPRB1 是平行四边形,即 PR∥BB1 且 PR=BB1, 又 AA1∥BB1 且 AA1=BB1,所以 PR∥AA1 且 PR=AA1,即四边形 APRA1 是平行四边形, 所以 AP∥A1R,又 A1R?平面 APQ,所以 A1R∥平面 APQ.…(7 分) (2)因 BB1=BC,所以四边形 BCC1B1 是菱形, 所以 B1C⊥BC1,又点 P,Q 分别是棱 BC,C1C1 的中点,即 PQ∥BC1,所以 B1C⊥PQ. 因为 AB=AC,点 P 是棱 BC 的中点,所以 AP⊥BC, 由直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,知 BB1⊥底面 ABC,即 BB1⊥AP, 所以 AP⊥平面 BCC1B1,则 AP⊥B1C,所以 B1C⊥平面 APQ,又 B1C?平面 AB1C, 所以平面 APQ⊥平面 AB1C…(14 分) 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用,考查 空间想象能力以及逻辑推理能力. 21. (2010?枣庄模拟)已知向量 . (1)若 ,求 x 的值;
2

(2)函数 f(x)= ? +| + | ,若 c>f(x)恒成立,求实数 c 的取值范围. 考点: 正弦函数的定义域和值域;函数恒成立问题;向量的模;同角三角函数间的基本关 系;二倍角的正弦. 专题: 综合题.

分析: (1)由

,能导出

再由 ,能求出 x 的值. (2)由 ,知 f(x)=a?b+|a+b| =2﹣3sin2x,所
2

以 2≤f(x)=2﹣3sin2x≤5,{f(x)}max=5.由此能求出实数 c 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ ,



…(2 分) .…(4 分) ,

由 ∵ ∴π≤2x≤2π. 因此 (2)∵ ? = ∴f(x)= ? +| + | =2﹣3sin2x,…(8 分) ∵π≤2x≤2π,∴﹣1≤sin2x≤0,0≤﹣3sin2x≤3, ∴2≤f(x)=2﹣3sin2x≤5,
2

.…(6 分) ,

∴{f(x)}max=5. 则 c>f(x)恒成立,得 c>5.…(12 分) 点评: 本题考查平面向量的综合运用,解题时要认真审题,注意三角函数性质的灵活运用. 22. (2012 秋?莲湖区校级期中)已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满 足 a2?a3=45,a1+a4=14. (1)求数列{an}的通项公式; n + (2)设 bn=2 an(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; n+1 (3)设 Fn=(4n﹣5)?2 ,试比较 Fn 与 Tn 的大小. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意可得到关于等差数列的首项与公差的方程组,解之即可; (2)利用错位相减法即可求得数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)将 Fn 与 Tn 作差,根据结果对 n 分类讨论即可得到答案. 解答: 解: (1)由已知可得 (d>0)解得: .

∴an=1+4(n﹣1)=4n﹣3…(4 分) n n (2)∵bn=2 an=(4n﹣3)?2 , 1 2 3 n﹣1 n ∴Tn=1?2 +5?2 +9?2 +…+(4n﹣7)?2 +(4n﹣3)?2 ,① 2 3 n﹣1 n n+1 2Tn=1?2 +5?2 +…+(4n﹣11)?2 +(4n﹣7)?2 +(4n﹣3)?2 ,② ①﹣②得: 2 3 n n+1 ﹣Tn=2+4(2 +2 +…+2 )﹣(4n﹣3)?2 =2+4?
n+1

﹣(4n﹣3)?2
n+1

n+1

=2+4?2 ﹣16﹣(4n﹣3)?2 n+1 =﹣(4n﹣7)?2 ﹣14 n+1 ∴Tn=(4n﹣7)?2 +14…(9 分) n+1 n+1 n+2 (3)∵Fn﹣Tn=(4n﹣5)?2 ﹣(4n﹣7)?2 ﹣14=2 ﹣14, n+2 4 n+1 ∴当 n≥2 时,2 ≥2 =16>14,即 2 ﹣14>0,故 Fn>Tn; n+2 3 n+1 当 n=1 时,2 =2 =8<14,即 2 ﹣14<0,故 Fn<Tn. 综上所述,当 n=1 时,Fn<Tn;当 n≥2 时,Fn>Tn…(13 分) 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,着重考查错位相减法的应用,考 查方程思想与分类讨论思想的综合应用,属于难题.


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