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河南省郑州市2016届高三数学第二次模拟考试试题 理


2016 年郑州市高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交 卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要

求的. ) 1.已知集合 A={x|y= x-4 },B={x|-1≤2x-1≤0},则 CRA∩B= A. (4,+∞) B.[0,

1 ] 2

C. (

1 ,4] 2

D. (1,4]

2 2.命题“ ?x0 ≤0,使得 x0 ≥0”的否定是

A. ?x ≤0, x <0
2

B. ?x ≤0, x ≥0
2

2 C. ?x0 >0, x0 >0

2 D. ?x0 <0, x0 ≤0

3.定义运算

a, b z , 1+i =ad-bc,则符合条件 =0 的复数 z 对应的点在 c, d -i, 2i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 的值是 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 5.曲线 f(x)= x -x+3 在点 P 处的切线平 行于直线 y=2x-1,则 P 点的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3) 6. 经过点 (2, 1) , 且渐近线与圆 x +( y-2) =1 相切的双曲线的标准方程为
2 2
3

1

A.

x2 y 2 - =1 11 11 3

B.

x2 -y 2=1 2

C.

y 2 x2 - =1 11 11 3

D.

y2 x2 - =1 11 11 3

7.将函数 f(x)=sin(2x- 具 有性质

? ? )的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x) 2 4
? 对称 2

A.最大值为 1,图象关于直线 x= B.在(0,

? )上单调递减,为奇函数 4 3? ? C.在( - , )上单调递增,为偶函数 8 8 3?
D.周期为π ,图象关于点(

8

,0)对称

8.设数列{ an }满足:a1=1,a2=3,且 2n an =(n-1) an-1 +(n+1) an+1 ,则 a20 的值 是 A.4

1 5

B.4

2 5

C.4

3 5

D.4

4 5

9.如图是正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图,则其侧视图的面积是 A.4 B.5 C.6 D.7 10.已知定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,当-1≤x<0 时,f(x) =- log 1 (-x) ,则方程 f(x)-
2

1 =0 在(0,6)内的零点之和为 2

A.8 B.10 C.12 D.16 11.对 ?? ∈R,n∈[0,2],向量 c=(2n+3cosα ,n-3sinα )的长度不超过 6 的概率为 A.

5 10

B.

2 5 10

C.

3 5 10

D.

2 5 5

12.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,向量 m 满足|m|=

B+C 6 ,且 m=( 2 sin , 2 2

uur PA uuu r uuu r uur B-C cos ) , 若 A 最大时, 动点 P 使得| PB |、 | BC |、 | PC |成等差数列, 则 uuu r 2 BC
的最大值是
2

A.

2 3 3

B.

2 2 3

C.

2 4

D.

3 2 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知{ an }为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11 的等比中项, Sn 是{ an }的前 n 项和, 则 S12 的值为__________. 14.已知正数 x,y 满足 x +2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是___________.
2

? x≥2, ? 15.已知 x,y 满足 ? x+y≤4, 若目标函数 z=3x+y 的最大值为 10,则 z 的最小值为 ? 2 x-y-m≤0, ?
____________. 16. 在正三棱锥 V—ABC 内,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三 个侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其高等于__________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 cos2C-cos2A=2sin( C) ·sin(

? -C) . 3

? + 3

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a= 3 且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育 二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机 抽调了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界 点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;
3

(Ⅱ)若对年龄在[5,15) ,[35,45)的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中 的 4 人中不支持“生育二胎”人数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列及数学期望. 参考数据:

19. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1, ∠BCD=120°,四边形 BFED 为矩形,平面 BFED⊥ 平面 ABCD,BF=1. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 BFED; (Ⅱ)点 P 在线段 EF 上运动,设平面 PAB 与平面 ADE 所成锐二面角为θ ,试求θ 的最小值. 20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的方程是 mx +ny = (m>0, n>0) ,且曲线 C 过 A ( 1
2 2

6 2 2 , ) , B ( , 6 4 2

3 )两点,O 为坐标原点. 3
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)是曲线 C 上两点,且 OM⊥ON,求证:直线 MN 恒与一个 定圆相切. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

ex . x 2-mx+1

(Ⅰ)若 m∈(-2,2) ,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 m∈(0,

1 ],则当 x∈[0,m+1]时,函数 y=f(x)的图象是否总在直线 y= 2
4

x 上方?请写出判断过程.

请考生在第 22、23、24 三题 中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 A 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 BF 并延长交 CD 于点 E. (Ⅰ)求证:E 为 CD 的中点; (Ⅱ)求 EF·FB 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( x- ,且倾斜角 1)2+y 2= 1.直线 l 经过点 P(m,0) 为

? .以 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. 6

(Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+6|-|m-x|(m∈R) . (Ⅰ)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

5

2016 年高中毕业年级第二次质量预测 数学理科 参考答案 一、选择题 BABDC ABDCC CA 13. 54 , 14.3, 15.5, 16. 2 3 二、填空题 三、解答题

? 2 2 17.解: (1)由已知得 2sin A ? 2sin C ? 2 ? ? cos C ? sin C ? ,???2 分
2 2

3 ?4

1 4

?

化简得 sin A ? (2)由正弦定理

? 2? 3 ,故 A ? 或 .????????????5 分 3 3 2

b c a ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,?7 分 sin B sin C sin A 2? ? B) = 3sin B ? 3 cos B 故 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin( 3 ? 2 3 sin( B ? ). 6
因为 b ? a ,所以

?

???????????9 分

?
3

?B?

所以 2b ? c ? 2 3 sin( B ? 18.解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表

?

2? ? ? ? , ? B ? ? ,???11 分 3 6 6 2 ) ? [ 3, 2 3) . ???12 分
年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50

6

年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

??????????????????2 分

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 ? 6.27 < 6.635 ???????4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11??3 ? 29?? 7 ? 11?

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ??????????????????5 分 (Ⅱ) ? 所有可能取值有 0, 1,2,3, ?????????6 分
2 C82 C4 6 28 84 P(? ? 0) ? 2 ? 2 ? ? ? , C5 C10 10 45 225

6

P ?? ? 1? ?

1 1 1 2 C82 C4 C8 C2 4 28 6 16 104 C4 ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225

1 1 1 2 2 C8 C2 C4 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? , C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 C4 C2 4 1 2 ? ? ? ? , ????????10 分 2 2 C5 C10 10 45 225

P(? ? 3) ?

所以 ? 的分布列是

?

0

1

2

3

104 35 225 225 104 70 6 ? ? ? 所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ? 225 225 225 19.解:(1)在梯形 ABCD 中,

P

84 225

2 225 4 . ?????????12 分 5

∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?BCD ? 120o , ∴ AB ? 2. ∴ BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos 60 ? 3. ?????????2 分
2 2 2 o

∴ AB2 ? AD2 ? BD2 , ∴ AD ? BD. ∵平面 BFED ? 平面 ABCD, 平面 BFED ? 平面 ABCD ? BD, DE ? 平面BEFD , DE ? DB, ∴ DE ? 平面ABCD, ?????????4 分 ∴ DE ? AD, 又 DE ? BD ? D, ∴ AD ? 平面BFED. ?????????6 分 (2)由(1)可建立分别以直线 DA, DB, DE 为 x 轴, y 轴, z 轴的,如图所示的空间直角坐标 系,令 EP ? ? ( 0 ≤ ? ≤ 3 ),则 D ? 0,0,0? , A ?1,0,0? , B 0, 3, 0 , P ? 0, ?,1? , ∴ AB ? (?1, 3,0), BP ? (0, ? ? 3,1), ?????????8 分 设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 PAB 的一个法向量,

?

?

uu u r

uur

u r

7

ur uu u r ? ?n1 gAB ? 0, ? ?? x ? 3 y ? 0, 由 ?u 得? r uur ? ?(? ? 3) y ? z ? 0, ?n1 gBP ? 0, ? u r 取 y ? 1, 则 n1 ? ( 3,1, 3 ? ? ), ?????????10 分
∵ n2 ? ? 0,1, 0 ? 是平面 ADE 的一个法向量,

u u r

u r u u r n1 ? n2 1 ∴ cos ? ? u r u u r ? n1 n2 3 ?1? 3 ? ?

?

?

2

? ?1

1

?? ? 3 ?
1 . 2

2

. ?4

∵ 0 ≤ ? ≤ 3 ,∴当 ? = 3 时, cos ? 有最大值 ∴ ? 的最小值为

? ?????????12 分 3

1 ?1 m ? n ? 1, ? ?8 2 20.解: (1)由题可得: ? 解得 m ? 4, n ? 1. 1 1 ? m ? n ? 1, ? 3 ?6
所以曲线 C 方程为 y ? 4 x ? 1 .
2 2 2 2 2 2

?????????4 分

(2)由题得: y1 ? 4 x1 ? 1, y2 ? 4 x2 ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?????????6 分 原点 O 到直线 MN 的距离

d?

OA ? OB AB

?

2 2 ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 )

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

?

2 2 ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 ) 2 2 2 2 x1 ? x2 ? y1 ? y2

?

2 2 2 (1 ? 3x12 )(1 ? 3x2 ) 1 ? 3( x12 ? x2 ) ? 9 x12 x2 ? ?????????8 分 2 2 2 ? 3( x12 ? x2 ) 2 ? 3( x12 ? x2 )

由 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得: x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? 4 x1 )(1 ? 4 x2 ) ? 1 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16x1 x2
2 2 2 2 2 2
2 2

2 2

所以 x1 x2 ?
2 2

4 2 1 2 ( x1 ? x2 )? 15 15

d?

2 ?3( x12 ? x2 )?

12 2 2 2 3 2 2 2 ( x1 ? x2 )? ? ( x1 ? x2 ) 5 5 5= 5 5 ? . ?????????11 分 2 2 2 2 2 ? 3( x1 ? x2 ) 2 ? 3( x1 ? x2 ) 5
8

所以直线 MN 恒与定圆 x ? y ?
2 2

1 相切。?????????12 分 5

e x ( x 2 ? mx ? 1 ? 2 x ? m) e x ( x ? 1)( x ? m ? 1) 21.解: (1)函数定义域为 R, f ( x) ? ? ( x 2 ? mx ? 1)2 ( x 2 ? mx ? 1)2
'

?????????1 分 ① 当m ? 1 ? 1,即m ? 0时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)在R上单调递增 ② 当m ? 1 ? 1,即0 ? m ? 2时,

x ? (??,1)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递增, x ? (1, m ? 1)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递减, x ? (m ? 1, ??)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递增.
③ 当m ? 1 ? 1,即-2 ? m ? 0时,

x ? (??, m ? 1)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递增, x ? (m ? 1,1)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递减, x ? (1, ??)时,f ' ( x) ? 0, 此时f ( x)单调递增.?????????4 分
综上所述,① 当m ? 0时,f ( x)在R上单调递增, ② 当0 ? m ? 2时,

f ( x)在(??,1)和(m ? 1, ??)上单调递增, f ( x)在(1, m ? 1)上单调递减, f ( x)在(??, m ? 1)和(1, ??)上单调递增, ③ 当-2 ? m ? 0时, f ( x)在(m ? 1,1)上单调递减.????????5 分 在(1, m ?1)上单调递减. (2)当 m ? ? 0, ? 时,由(1)知 f ( x)在(0,1) 上单调递增,
令 g ( x) ? x .
9

? ?

1? 2?

① 当 x ? [0,1] 时, f ( x)min ? f (0) ? 1, g ( x)max ? 1 ,所以函数 f ( x ) 图象在 g ( x) 图象上方. ?????????6 分

em?1 ② 当 x ??1, m ? 1? 时,函数 f ( x ) 单调递减,所以其最小值为 f (m ? 1) ? , g ( x) 最大 m?2
值为 m ? 1 ,所以下面判断 f (m ? 1) 与 m ? 1 的大小,即判断 e 与 (1 ? x) x 的大小,
x

其中 x ? m ? 1? ?1, ? , ?????????8 分 2 令 m( x) ? e ? (1 ? x) x , m ( x) ? e ? 2 x ? 1,令 h( x) ? m' ( x) ,则 h' ( x) ? e x ? 2
x ' x

? 3? ? ?

因 x ? m ? 1? ?1, ? 所以 h ( x) ? e ? 2 ? 0 , m ( x) 单调递增; 2
' x

? 3? ? ?

'

所以 m (1) ? e ? 3 ? 0 , m ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 故存在 x 0 ? ?1, ? 2 2
'
'

3

3

? 3? ? ?

使得 m' ( x0 ) ? e

x0

? 2x0 ? 1 ? 0 ?????????10 分
? ? 3? 2?

所以 m( x ) 在 ?1, x 0 ?上单调递减,在 ? x0 , ? 单调递增 所以 m( x) ? m( x0 ) ? e
x0 2 2 ? x0 ? x0 ? 2x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ?x0 ? x0 ? 1 2

2 所以 x 0 ? ?1, ? 时, m( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 0 即 e x ? (1 ? x) x 也即 f (m ? 1) ? m ? 1 2

? 3? ? ?

所以函数 f(x)的图象总在直线 y ? x 上方.

?????????12 分

? 22.解: (Ⅰ)由题可知 BD 是以为 A 圆心, DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴ ED 为圆 A 的切线 依据切割线定理得 ED 2 ? EF ? EB ????????????2 分 ∵圆 O 以 BC 为直径,∴ EC 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EC 2 ? EF ? EB ???????????4 分 故 EC ? ED

10

∴ E 为 CD 的中点. ???????????5 分(Ⅱ) 连结 CF , ∵ BC 为圆 O 的直径, ∴ CF ? BF ????????????6 分 由

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 2 2 1 1 S ?BCE ? BC ? CE ? BE ? CF 2 2 1? 2 2 5 得 CF ? ??????????8 分 ? 5 5 S ?BCE ?
又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得 EF ? FB ? CF ?
2

4 . ????????10 分 5

23.解:(1)曲线C的普通方程为: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1,即x2 ? y 2 ? 2x, 即 ? 2 ? 2? cos? ,

即曲线C的极坐标方程为: ? ? 2cos? .

????2 分

? 3 x ? m? t ? ? 2 直线l的参数方程为 ? (t为参数). ?y ? 1 t ? ? 2

????5 分

(2) 设A, B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 将直线l的参数方程代入 x ? y ? 2x中,
2 2

得t 2 ? ( 3m ? 3)t ? m2 ? 2m ? 0, 所以t1t2 ? m2 ? 2m , ????8 分
由题意得 | m2 ? 2m |? 1, 得m ? 1,1 ? 2或1 ? 2
????10 分

24.解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? 5 即 | x ? 6 | ? | x ? 3|? 5 , ①当 x ? ?6 时,得 ?9 ? 5 ,所以 x ? ? ; ②当 ?6 ? x ? 3 时,得 x ? 6 ? x ? 3 ? 5 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 3 ; ③当 x ? 3 时,得 9 ? 5 ,成立,所以 x ? 3 .?????????????4 分 故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ?x | x ? 1 ? .?????????????5 分 (Ⅱ)因为 | x ? 6 | ? | m ? x |?| x ? 6 ? m ? x | = | m ? 6 | 由题 意得 m ? 6 ? 7 ,则 ?7 ? m ? 6 ? 7 ,????8 分
11

解得 ?13 ? m ? 1 , 故 m 的取值范围是 [ ?13,1] .?????????????????10 分

12


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