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12.2011年全国高中数学联赛吉林赛区预赛


中 等 数 学 

2 1 年全 国高 中数学联赛吉林赛 区预赛  0  1
中 图 分 类 号 :c 2 .9 4 47   文献标识码 :   A 文章 编 号 :10 6 1 (0 2 0 0 3 0   0 5— 4 6 2 1 ) 2— 0 4— 4





选择 题 ( 每小题 5分 , 3 共 O分 )  

则I I 肼 的最小值为(  
( 2 2—1 A) √  

) .  

1设 集合  .

( )√ B 4 2—1  

肘 :+或=+ z :        }   詈 ,   Ⅳ 一± 2 ∈ } =    +  k z .  
则 肘 与 Ⅳ 的关 系是 (  
(   A) Ⅳ 

( )4 1 C 6 2—  

() 6 1 D   1—  

6 已知 a ,2 … ,2l 一 列 互 不 相 等  . 1a , a 1 0是 的正 整数 . 若任 意 改变 这 20 1个数 的顺 序 ,  1  
并记 为 b ,  … ,  则 数    b , b川. M =( l 1 ( 2 2 …( 2l— 21   a —b ) n 一b ) a l b I o 0)

) .  

( Ⅳ B)  M 

( ) =N cM  

( 以上 都不 对  D)

的值 必 为 (  

) .  
( 偶 数  D)

2 在正 五 棱 柱 A C E —A B C Dl 1的  . BD lI l E

( ) ( 1 ( 奇数 A 0 B) C)

侧 棱 C 。上 有 一 点 P, 截 面 P E C 若 A 。与侧 面 
A E A。 E   互相 垂直 , 则这 样 的点 P   ( ) .  

二 、 空题 ( 填 每小 题 5分 , 3 共 0分 )  
7 现 有 5双 不 同号 码 的 鞋 , 中 取 出 4 . 从  

( 有 且仅 有一 个  A)
( 有 时有两 个 , 时有 一个  B) 有

只, 恰能 配成 一 双 的概率 为 

.  

8 正 四 面体  .
A C 与 正 四 面  BD

。  

( 恰有 两个  c) ( 有 时不 存 在  D)
3 设 函数 Y= ( ( ∈ R) 足  . - )  厂 满

体 / l 1 4   Dl和  l c


个 正 八 面 体 

, + ): )  ( 2   , 且 当  ∈( ,] , 一11 时   )=1一 ,   函数 
≠O;   fg l  ,  

K FH E G I(如 图  1 )的 棱 长 都 相  等 , 它 们 拼 接  把

g {    l ,



、  

:. 0  
) .  

则 函 数 t ) =  )一g( ) 区 间  ( f(   在

起 来 ,使 表 面  A D、 l l C A C D1分 
面数 有  个.  

图l  

[ ,0 内零点 的个 数 为 ( 一5 1 ]   4 在△ A C中 , . B 已知 

别 与表 面 E K、 H F G K重 合. 所 得 多 面 体 的  则

( ) 2 ( 1  ( ) 3 ( 8 A l  B)4 C l  D) 
6 A A =2 B?   C? B A BC =3 BC? A. C  

9 现有 4种颜色的灯泡 ( . 每种颜色 的灯 
泡 足够 多 ) 要 在 三棱 柱 A C—AB。 各 顶  , B , C 点 上装一 个 灯 泡 , 求 同 一 条棱 两端 点 的 灯  要

则  A=(  

) .  

( 3 。 ( 4 。 ( ) 0  ( 15  A) O B)5   C 6 。 D) 3 。

5 点 P( y 满 足平 面 区域  .  ,) 【  
鸺  

泡颜色不相 同, 且每种颜色的灯 泡都至少有 


个 的安装 方法 共有 

种.  

    sn 0≤ y≤ 3sn 0 i    i

( ∈ R)  0 ,
、   ~ 

1 . 同时表 示成 连续 9个 整数 之 和 、 O能 连 

点 M( Y 满 足   , ) ( ’ 5 。 Y+ )   + ) +( 5  =1 .  

续 l 整数 之 和及连 续 1 个 整数 之 和 的最  0个   1 小 正整数 为 

万方数据

21 0 2年第 2期 

3  5

1 . A、 1设 B分别 为椭 圆 

I  =( ,) a—b I a 6  成立?  

+ 1 > >) 告= a b 0    
和双 曲线 
一   =

参 考 答 案 
1  a> , > ) o b 0 
— —



1C 2 A 3 B 4 D .   .   .   .  

5 .D.  

的公共 顶点 , M 分 别 是双 曲线 和椭 圆上 不  P、 同于 A、 的两动 点 , 满 足    且
A P+B P=A A + M 。 (M B  

注 意 到 , P满 足 的平 面 区域 是 以原 点  点 为 圆心 的 圆环 的一 部分 :  

其 中 ,∈ R, >1     .设 直线 P、 、M、M    A B 的斜率 分别 为 k 、2k 、  且 k +k =5 则  1k、3k, 。 2 .
+  =  .  

1   +, ( o, 0 . ≤ ,≤9 ≥ ,≥ ) 2 ,   故l I   的最小值为 


1= 

一1 .  

6 .D.  

1 . A C是 o 0 内接三 角形 ,B > C 2△ B A A 

假设  是 奇数 . 则 
a —b( =12 … ,  l )     i , , 20 1 

>B 点 D在弧B 上 , 点 0分别 作 A A   C, C 过 B、C 的垂线 与 A D交 于 点 E、 射 线 B C F, E、F交 于  点 P. 若 P= C+ O, P P 则  B C= A   三、 解答 题 ( 每小题 1 5分 , 6 共 0分 )  
l. 3 已知 函数 

.  

必定都是奇数, 其和也是奇数 ;   但 (l 6) (2 6) … + 0 一2l  口一 1+ 口 —2 + ( l 60) l  1


(l 2 a +a +… + 21)   a 1 一 0

(l 2 b +b +… + 2l) b 1  0
=0  

)4 i詈 詈 +s =i?2 +)c2 s s( n n 。   
( ) t 0且 为常数 , 函数 Y= ( ) 1设 O> , 若 ,雠  

为偶数 , 矛盾 .   故  是偶 数.  


在 间一 ,]是 函 ,∞ 取 范 区 【  上 增 数求 的 值   詈
围;  

7. 4


7 .  

C  2  =I =I C1   C    C
P —
一  




 



 

() 2 集合 
=  

c0 — 1 —7 ‘ 4   20  

詈    ≤≤


8.   6.

9 21   . 6.

B={   )一mI 2 ,  I I   < }  若 AuB=B, 求实 数 m 的取 值 范 围.  
1. 4 已知 数列 {   满足  a}
0~ =   .  

可先安装 A、 c, 有  种 ; 从 A 、 曰、 共 再    C 中选 出一个顶 点 安 装第 4种颜 色 的灯  。

泡, 共有 c 种选法 ;   最后 给剩余的两个顶点 
安 装有 3种方 法 .   故 有 2 6种不 同 的安装方 法 . 1  
1.9   0 4 5.

求数列 {  的通项公式. a}   1. 5求正实数 A的最大值 , 使得对于任意  实数 、、, y 不等式 

设 t +( +1 =Z Z )+… +( 十 ) Z 8  =m+( m+1 )+… +( 9   , ) n+ = n+( 1 +… +( 1 ) 乃∈ N+ . n+ ) n+ 0 ( )  
则 l t 2+ =r+   ,  

+ + +  + z x        戈 z 矿 +y 一 y z
A ( + z Z ) t0   y +X    > 成 立.  

1. 6 是否 存在 20 1 不 同的正 整 数 ,  l 个 使  得 任取 其 中的两个 数 a b均 有  、,

m  而 + l n+ ’  

万方数据

中 等 数 学 

所 以 ,n+1 0 mo  )  2 - ( d9 , / ( d1 ) 7 , -0 mo 0 .  

由 )2 +在一 , 上     =i l 【   是 s n 号 ]
增 函数 , 则 

故 满足 要求 的最小 正 整数 /= 0 即  74, ,
t  =4 +4l+… +5  i 0 0=49   5,
l 1.一5.  

[ ,】【   一   C一 詈  ,

设 A - ,)B a0 ,( 。 。 , x,2. ( a0 , ( , P x , )M( y) ) Y  

由  + P:= B 一 .  + 【 (   ) 知 D、 M 三  P、


故     j ≤

∈ ,  、斗 (寻.  】 0J  

点 共线 , 可求 得  ”  
2 Yl xl  
一   一 一

( ) i  )一 < , 2 由f ( mI 2 得 

)一2<m< ( , )+ . 2  
+  

3  =,A B 当 ≤≤ LU  ¥   , 詈      B  ̄C 即 A l_  
时, 不等 式  )一 2<m< ( 厂 )+   2
. 

2  b


Ⅱ 

2 Y1 ’    

同理  +k  =一2 2  b
。 

恒 成立 . 而 , 从  

故 k +k 3 4=一( l k )= 一 . k+2 5  
1 3 . 2. 0。 

( )一 ) <m<( )+ )i   2    2   .  

联 结 O O . 知 , E B、 F C都 是  B、 C 易 △ A △ A

N( f  
=  

詈_  )’ 2

等腰 三 角形.   由等 腰三 角形 顶 角 的补 角 等 于底 角 的 2  
倍 知 
BPC =   AEP +   CFD 

詈=  ), 3
I+)    . n 丢  n. 1


所 以 , ∈ ( ,) m 14 .   1 . 已知 得  4由

= ( B D+ C D) 2  A   A  
:2   BAC =   BOC.  

n   +
+ 



=  

故  、 P、 C、 0四点 共 圆.  
由托勒 密定 理得 
BP? OC =PC? OB +PO? BC.  

令6 n    :  + 1

则 

。 = 



( 一P O   C) C=P B . O? C  因为  =P +P 所 以, C O,  

故  b

:  

:  

?  



鲁  


0C =BC.  
.   .  

尘. 三 
2 1    

从 而 , O C是 正三 角形 . △ B   故  B C= 1 B C=3 。 A    O 0.   三 、3 ( ) 1 . 1 注意 到 ,  
一 — 。  

n / 一l / 一2   7 , /   ,

!  2 ±    ±    2 i
2   ’  

因为 6 。    =  + 1


6  1  =


所 以,  

加 2  …s +】   s 【 (   …s i  詈 ) 2 n x  
一  

—    一 ±!  
一  



——— 一  ! i !(  二 ! ±  
。 



2i ( s n 1+s  )+CS x i n O    2
【 1 可 以 先 计 算  沣 也

=2sn + 1  i  .

万方数据

21 0 2年第 2期 

3  7

,  

寻  ?  = ,  
, 运 用 数 学 归 纳  再

下 面用 数学 归纳 法证 明.  
() 1 因为 I Ⅱ一b ≥( b , 以 , I n,) 所  

猜测 : = 二  。  
法进行 证 明.  

I  =( , ) 口一b I 口 b 

( b 1. 口一 )   0

显 然 , 3即满足条 件. 2和   () 2 设存 在 kk∈ N+ 个正 整数 0 ,   ( )  口 ,


1. 5 当  = z , Y= 时 不等式 变 形为 
6  x ≥A?x ( ∈ R)  9    ,
,  '


0,  满足对 任意 的 1  < ≤后有  ≤   ,
I  一口 l 口 . a      I  

即 A 等? ≤  
下 面证 明 : A的最大值 为S   - .
对 于 、 , y z∈ R,   4   + 4 y ( )+ ) +   +xz x+ ,    

则 可选 取这 样 k+1 数 : 个  
b1=口l 2 a , 0 … ^  b 2=0l 2 口 0 … ^+n1  ,
b 3=口l 2 口 口 …  +口2  ,

≥   +z ), ÷( y+    
且  3  +Y + 4 3 y ( p ( 4 4 暑)+ xz x+、  ) +  

b+ k 1=al … 口 口2  +口 .    

对 任 意的 1  < ≤|+1有  ≤   l , }
b i一6  =a l a—( o 0 .   — jl0 = )  


1 x     2 >2( y+ + ).  
又  + 4   ≥   Z + y+  Y +yz    
证 明:  

因为 (   —n ) 口n …口 , 口 H I l2    ,4 贝 只需  、 口一 一a一 ) 口一 , (  1 j1 I 1  

所 以 ,口 —a一 ) b (  j1 I  
从 而 , b 一6 b. (       

3   Y + , 2   2 3 y( ,+ ) (   ,  + 2 )+ xz x+ ,    
>2(y+ + )   - x      ,

因此 , 存在 k+1 数满 足题 目要求 . 个   由( ) ( ) 1 、2 可知 , 在 任 意 有 限个 数 满  存

即  2 + z +        所 以 , 论成 立. 结  

 ̄ y( >xz x+y+ )  .  

因(y— z +(z   )   一 ) 10  x y) y 一  +(    > ,

足要求 , 当然 20 1  1 个数也可以找到.  
( 郭  民 提 供 )  

1. 在 . 6存  

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发行部地址 : 天津市河西 区卫津路 2 1号《 4 中等数学》 编辑部 
邮 编 :00 4 电话 :2 2 5 2 3  18 2 3  3 传 真 :2 25 2 1  30 7 0 2— 34 2 3 5 26 16 1 0 2— 3 4 06

本刊 编辑部 
万方数据

2011年全国高中数学联赛吉林赛区预赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2012(2)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201202012.aspx



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