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辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年辽宁省沈阳铁路实验中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?RB=() A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3

} 2. (5 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣x

3

D.y=x

2

3. (5 分)已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原象分 别是 3 和 10,则 5 在 f 下的象是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 4. (5 分)已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A. B.[﹣1,4] C.[﹣5,5] D.[﹣3,7]

5. (5 分)若 g(x)=1﹣2x,f[g(x)]=log2 A.﹣1 B. 0

,则 f(﹣1)=() C. 1 D.2

6. (5 分)设 A.1 7. (5 分)函数 A. B. 2 C. e

,则 f(f(f(10) ) )的值是() D.e
2

的零点所在的区间是() B.(﹣1,0) C. D.(1,+∞)
x

8. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b 图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)设函数 f(x)满足对任意的 m,n∈Z+都有 f(m+n)=f(m)?f(n)且 f(1)=2, 则 A.2011 B.2010
2

() C.4020 D.4022 上是增函数,则 a 的取值范 C. D.

10. (5 分)若 y=﹣log2(x ﹣ax﹣a)在区间 围是() A. B.

11. (5 分)已知 f (x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) ,b=f( A.c<b<a 3) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() B.b<c<a C.c>a>b D.a<b<c
0.6

12. (5 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 y=a .
x﹣1

+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过定点

14. (5 分)关于 x 的方程 2kx ﹣2x﹣3k=0 的两根一个大于 1,一个小于 1,则实数 k 的取值 范围. 15. (5 分)已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是.
2

2

16. (5 分)函数 a 的取值范围是.

,若方程 f(x)=a 有两个不相等的实数解,则

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (1)

(2)



18. (12 分)集合 P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|﹣2≤x≤5} (1)若 a=3,求集合(?RP)∩Q; (2)若 P?Q,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增 加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的

月产量. (1)将利润表示为月产量的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润. ) 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 满足 f(﹣1)=﹣2 且对于任意 x∈R,恒有 f (x)≥2x 成立. (1)求实数 a,b 的值; 2 (2)不等式 f(x)≥a ﹣4a﹣15 恒成立,求 a 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x.现已画出 函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,并根据 (1)写出函数 f(x) (x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x) (x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]) ,求函数 g(x)的最小值.
2 2

22. (12 分)已知增函数 f(x)= 数,且满足 f(2)< .

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,其中 b∈R,a 为正整

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)求满足 f(t ﹣2t)+f(t)<0 的 t 的范围.

2014-2015 学年辽宁省沈阳铁路实验中学高一(上)期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩?RB=() A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: A∩CNB 中的元素是属于集合 A 但不属于集合 B 的所有的自然数. 解答: 解:∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}, ∴A∩CNB={1,5,7}. 故选 A. 点评: 本题考查集合的运算,解题时要认真审题,仔细求解. 2. (5 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣x

3

D.y=x

2

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的单调性与奇偶性,对选项中的函数进行判断,选出符合题意的答案即可. 解答: 解:对于 A,∵y= 是非奇非偶的函数,∴不符合题意;

对于 B,∵y= 是定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 但在定义域上不是单调函数,∴不符合题意; 3 对于 C,∵y=﹣x 是定义域 R 上的奇函数,且为减函数,∴符合题意; 2 对于 D,∵y=x 是定义域 R 上的偶函数,∴不符合题意; 故选:C.

点评: 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断问题,解题时应熟记常见基本初等函数的 性质,是基础题. 3. (5 分)已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原象分 别是 3 和 10,则 5 在 f 下的象是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,1 和 8 的原象分别是 3 和 10,可以根据象与原像的关系满足 f(x)=ax+b,列出不等式求出 a,b 的值; 解答: 解:A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射, 又 1 和 8 的原象分别是 3 和 10, ∴ 解得 , ,即 f:x→y=x﹣2

5 在 f 下的象可得 f(5)=1×5﹣2=3, 故选 A; 点评: 此题主要考查映射的定义及其应用,注意象与原象的对应关系,此题是一道基础题; 4. (5 分)已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2x﹣1)的定义域() A. B.[﹣1,4] C.[﹣5,5] D.[﹣3,7]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题目给出的函数 y=f(x+1)定义域,求出函数 y=f(x)的定义域,然后由 2x﹣ 1 在 f(x)的定义域内求解 x 即可得到函数 y=f(2x﹣1)定义域 解答: 解:解:∵函数 y=f(x+1)定义域为[﹣2,3], ∴x∈[﹣2,3],则 x+1∈[﹣1,4], 即函数 f(x)的定义域为[﹣1,4], 再由﹣1≤2x﹣1≤4,得:0≤x≤ , ∴函数 y=f(2x﹣1)的定义域为[0, ]. 故选 A. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,给出了函数 y=f(x)的定义域为[a,b],求解 y=f[g(x)]的定义域,只要让 g(x)∈[a,b],求解 x 即可. 5. (5 分)若 g(x)=1﹣2x,f[g(x)]=log2 A.﹣1 B. 0 ,则 f(﹣1)=() C. 1 D.2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用复合函数的定义先求出函数 f(x)的表达式然后求值或者由 g(x)=﹣1,求出 对应的 x,直接代入求值. 解答: 解:方法 1: 因为 g(x)=1﹣2x,设 t=1﹣2x,则 x= , ,所以原式等价为

所以



方法 2: 因为 g(x)=1﹣2x,所以由 g(x)=1﹣2x=﹣1,得 x=1. 所以 f(﹣1)= .

故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的解析式的求法以及对数的基本运算,比较基础.

6. (5 分)设 A.1 B. 2 C. e

,则 f(f(f(10) ) )的值是() D.e
2

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 应从内到外逐层求解,计算时要充分考虑自变量的范围.根据不同的范围代不同的 解析式. 解答: 解;10≥2, ∴f(10)=log39=2, ∴f[f(10)]=f(2)=0<2, 0 ∴f{f[f(10)]}=f(0)=e =1 故选 A 点评: 本题考查的是分段函数求值问题.在解答的过程当中充分体现了复合函数的思想、 问题转化的思想.解题的关键根据不同的范围代不同的解析式.

7. (5 分)函数 A.

的零点所在的区间是() B.(﹣1,0) C. D.(1,+∞)

考点: 函数的零点. 专题: 计算题.

分析: 由于函数在(0,+∞)单调递增且连续,根据零点判定定理只要满足 f(a)f(b)< 0 即为满足条件的区间; 解答: 解:因为函数 f( )=ln + =﹣1+ <0, , (x>0)

f(1)=ln1+ = >0, ∴f( )f(1)<0,根据零点定理可得, ∴函数 的零点所在的区间( ,1) ,

故选 C; 点评: 此题主要考查函数零点的判定定理及其应用,解题的过程中要注意函数的定义域, 是一道基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b 图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;指数函数的图像变换. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的图象确定 a, b 的取值范围, 结合指数函数的图象关系即可得到结论. 解答: 解:∵a>b,∴由图象可知,0<a<1,b<﹣1, x 则函数 g(x)=a +b 单调递减,g(0)=1+b<0, 故选:A 点评: 本题主要考查函数图象的判断,根据二次函数的图象以及指数函数图象之间的关系 是解决本题的关键.

9. (5 分)设函数 f(x)满足对任意的 m,n∈Z+都有 f(m+n)=f(m)?f(n)且 f(1)=2, 则 A.2011 B.2010 () C.4020 D.4022

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知可得 =f(1)=2,代入要求的式子化简可得.

解答: 解:∵函数 f(x)满足对任意的 m,n∈Z+都有 f(m+n)=f(m)?f(n)且 f(1)=2, ∴f(m+1)=f(m)?f(1) ,变形可得 ∴ 故选:C 点评: 本题考查抽象函数,得出 =f(1)=2 是解决问题的关键,属基础题. =f(1)=2,

=2010f(1)=4020

10. (5 分)若 y=﹣log2(x ﹣ax﹣a)在区间 围是() A. B. C.

2

上是增函数,则 a 的取值范 D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意知,y=log2(x ﹣ax﹣a)在区间 ﹣a 的对称轴是 x= ,且在(﹣∞, )是单调减函数,故有 (1﹣ )﹣a≥0,从而求出 a 的取值范围.
2 2

上是减函数,又 x ﹣ax ≥1﹣ 且 ﹣a

2

解答: 解:∵y=﹣log2(x ﹣ax﹣a)在区间 2 ∴y=log2(x ﹣ax﹣a)在区间
2

上是增函数, 上是减函数,

又函数 t=x ﹣ax﹣a 的对称轴是 x= ,函数 t 在(﹣∞, )是单调减函数, ∴ ≥1﹣ 且 ﹣a(1﹣ )﹣a≥0,

∴2﹣2 ≤a≤2, ∴a 的取值范围是[2﹣2 ,2], 故选 A. 点评: 本题考查复合函数的单调性,把二次函数的单调性、值域和对数函数的单调性、特 殊点结合起来,属于基础题. 11. (5 分)已知 f (x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) ,b=f( A.c<b<a 3) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() B.b<c<a C.c>a>b D.a<b<c
0.6

考点: 函数单调性的性质. 分析: 对于偶函数,有 f(x)=f(|x|) ,在[0,+∞)上是减函数,所以,只需比较自变量的 3 0.6 绝对值的大小即可,即比较 3 个正数|log2 |、|log47|、|0.2 |的大小,这 3 个正数中越大的,对 应的函数值越小. 解答: 解:由题意 f(x)=f(|x|) . ∵log47=log2
3

>1,
0.6

3=﹣log23<﹣log2

<﹣1,0<0.2 <1,

0.6

∴|log2 |>|log47|>|0.2 |. 又∵f(x)在(﹣∞,0]上是增函数且为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴c>a>b. 故选 C. 点评: 本题考查偶函数的性质,函数单调性的应用,属于中档题. 12. (5 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的奇偶性和单调性得到 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由不等式 ln( ) ?[xf(x)]<0 得到 xf(x)>0.分类后可得不等式的解集. 解答: 解:∵奇函数的图象关于原点对称,且 f(x)在(0,+∞)为增函数, 则 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 又 f(2)=0, ∴f(﹣2)=0. 不等式 ln( )?[xf(x)]<0 同解于 xf(x)>0. 当 x>0 时,有 f(x)>0,得 x>2; 当 x<9 时,有 f(x)<0,得 x<﹣2. ∴不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 故选:D. 点评: 本题考查了函数奇偶性和单调性的性质,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数 学思想方法,是中档题. 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 y=a (1,2) .
x﹣1

+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过定点

考点: 指数函数的图像变换. 分析: 由指数函数的定义可知,当指数为 0 时,指数式的值为 1,故令指数 x﹣1=0,解得 x=1,y=2,故得定点(1,2) . 解答: 解:令 x﹣1=0,解得 x=1, 0 此时 y=a +1=2,故得(1,2) 此点与底数 a 的取值无关, 故函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过定点(1,2) 故答案为 (1,2) 点评: 本题考点是指数型函数,考查指数型函数过定点的问题.解决此类题通常是令指数 为 0 取得定点的坐标.属于指数函数性质考查题. 14. (5 分)关于 x 的方程 2kx ﹣2x﹣3k=0 的两根一个大于 1,一个小于 1,则实数 k 的取值 范围 k>0 或 k<﹣2. 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由方程与函数的关系将方程的根化为方程的零点,从而得解. 解答: 解:令 f(x)=2kx ﹣2x﹣3k, 2 ∵方程 2kx ﹣2x﹣3k=0 的两根一个大于 1,一个小于 1, ∴ 或 ;
2 2 x﹣1

解得,k>0 或 k<﹣2. 故答案为:k>0 或 k<﹣2. 点评: 考查了方程的根与函数的零点的关系. 15. (5 分)已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 .
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ,且定义域关于原点对 称,a﹣1=﹣2a. 2 解答: 解:∵f(x)=ax +bx 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,∴b=0, 又 a﹣1=﹣2a, ∴a= , ∴a+b= . 故答案为 点评: 本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ;奇函数和偶函数 的定义域必然关于原点对称,定义域区间 2 个端点互为相反数.

16. (5 分)函数 a 的取值范围是 1≤a<2.

,若方程 f(x)=a 有两个不相等的实数解,则

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: 先画出函数 f(x)的图象,然后根据方程 f(x)=a 有两个不相等的实数解即 y=f(x) 与 y=a 的交点个数,观察图形即可得到答案. 解答: 解:画出函数 f(x)的图象,如下图

观察图形可知方程 f(x)=a 有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是 1≤a<2 故答案为:1≤a<2 点评: 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程,同时考查了数形结 合的思想,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (1)

(2)



考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用分数指数幂的运算法则求解. (2)利用对数的运算法则求解. 解答: 解: (1) = = +1+4 .

(2)

= = =1. 点评: 本题考查分数指数和对数式化简求值,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运 用. 18. (12 分)集合 P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|﹣2≤x≤5} (1)若 a=3,求集合(?RP)∩Q; (2)若 P?Q,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)将 a 的值代入集合 P 中的不等式,确定出 P,找出 P 的补集,求出 P 补集与 Q 的交集即可; (2)根据 P 为 Q 的子集列出关于 a 的不等式组,求出不等式组的解集即可得到 a 的范围. 解答: 解:将 a=3 代入得:P={x|4≤x≤7},可得?RP={x|x<4 或 x>7}, ∵Q={x|﹣2≤x≤5},∴(?RP)∩Q={x|﹣2≤x<4}; (2)由 P?Q,分两种情况考虑:

(ⅰ)当 P≠?时,根据题意得:

,解得:0≤a≤2;

(ⅱ)当 P≠?时,可得 2a+1<a+1,解得:a<0, 综上:实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2]. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 19. (12 分)某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增 加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)= 其中 x 是仪器的

月产量. (1)将利润表示为月产量的函数; (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润. ) 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)先设月产量为 x 台,写出总成本进而得出利润函数的解析式; (2)分两段求出函数的最大值:当 0≤x≤400 时,和当 x>400 时,最后得出当月产量为多少台 时,公司所获利润最大及最大利润即可.

解答: 解: (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20000+100x, 从而利润

(2)当 0≤x≤400 时,f(x)=



所以当 x=300 时,有最大值 25000; 当 x>400 时,f(x)=60000﹣100x 是减函数, 所以 f(x)=60000﹣100×400<25000. 所以当 x=300 时,有最大值 25000, 即当月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润是 25000 元. 点评: 函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取 各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 满足 f(﹣1)=﹣2 且对于任意 x∈R,恒有 f (x)≥2x 成立. (1)求实数 a,b 的值; (2)不等式 f(x)≥a ﹣4a﹣15 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(﹣1)=﹣2 可得 lgb﹣lga+1=0①,即
2 2 2 2

②,由 f(x)≥2x 恒成立,即

x +x?lga+lgb≥0 恒成立,得△ =(lga) ﹣4lgb≤0,联立①消掉 a 可求得 b,代入②即得 a. 2 2 (2)要使 f(x)≥a ﹣4a﹣15 恒成立,只需 a ﹣4a﹣15≤f(x)min,根据二次函数的性质可求 得 f(x)min; 解答: 解: (1)由 f(﹣1)=﹣2 知,lgb﹣lga+1=0①,∴
2

②,

又 f(x)≥2x 恒成立,有 x +x?lga+lgb≥0 恒成立, 2 故△ =(lga) ﹣4lgb≤0. 2 2 将①式代入式得: (lgb) ﹣2lgb+1≤0,即(lgb﹣1) ≤0, 故 lgb=1,即 b=10,代入②得,a=100. 2 2 (2)要使 f(x)≥a ﹣4a﹣15 恒成立,只需 a ﹣4a﹣15≤f(x)min, 2 2 由(1)知 f(x)=x +4x+1=(x+2) ﹣3≥﹣3, 2 ∴a ﹣4a﹣15≤﹣3,解得﹣2≤a≤6, 故实数 a 的取值范围是[﹣2,6]. 点评: 本题考查对数运算、函数恒成立问题,考查转化思想,恒成立问题常转化为函数最 值解决,若为二次函数恒成立,则常结合图象处理. 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x.现已画出 函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,并根据 (1)写出函数 f(x) (x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x) (x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]) ,求函数 g(x)的最小值.
2

考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;二次函数在闭区间上的 最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的图象关于 y 轴对称,可作出 f(x)的图象,由图象可得 f(x)的 单调递增区间; (2)令 x>0,则﹣x<0,根据条件可得 f(﹣x)=x ﹣2x,利用函数 f(x)是定义在 R 上的 2 偶函数,可得 f(x)=f(﹣x)=x ﹣2x,从而可得函数 f(x)的解析式; (3)先求出抛物线对称轴 x=a﹣1,然后分当 a﹣1≤1 时,当 1<a﹣1≤2 时,当 a﹣1>2 时三 种情况,根据二次函数的增减性解答. 解答: 解: (1)如图,根据偶函数的图象关于 y 轴对称,可作出 f(x)的图象, (2 分) , 则 f(x)的单调递增区间为(﹣1,0) , (1,+∞) ; (5 分) (2)令 x>0,则﹣x<0,∴f(﹣x)=x ﹣2x ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)=f(﹣x)=x ﹣2x ∴解析式为 f(x)=
2 2 2 2

(10 分)

(3)g(x)=x ﹣2x﹣2ax+2,对称轴为 x=a+1, 当 a+1≤1 时,g(1)=1﹣2a 为最小; 当 1<a+1≤2 时,g(a+1)=﹣a ﹣2a+1 为最小; 当 a+1>2 时,g(2)=2﹣4a 为最小;
2

∴g(x)=

. (16 分)

点评: 本题考查函数图象的作法,考查函数解析式的确定与函数的单调性,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 22. (12 分)已知增函数 f(x)= 数,且满足 f(2)< . (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)求满足 f(t ﹣2t)+f(t)<0 的 t 的范围. 考点: 其他不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(0)=0,求得 b=0;再由 f(2)= (x)的解析式. (2)不等式即 f(t ﹣2t)<f(﹣t) ,再根据 f(x)=
2 2

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,其中 b∈R,a 为正整

< ,a 为整数,求得 a=1,可得 f

=

在(﹣1,1)上是增函数,

可得﹣1<t ﹣2t<t<1,由此求得 t 的范围. 解答: 解: (1)由 f(0)=0,求得 b=0, ∴f(x)= 再由 f(2)= 故 f(x)= . < ,求得 a<2,再根据 a 为整数,可得 a=1, , (﹣1<x<) .
2

(2)不等式即 f(t ﹣2t)<﹣f(t)=f(﹣t) ,再根据 f(x)=

=

在(﹣1,1)上是

增函数, 可得﹣1<t ﹣2t<t<1,求得 0<t<1. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,注意函数的定义域,体现了转化的数 学思想,属于基础题.
2


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