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商丘市一高2015—2016学年度第二学期期中考试高二数学(理科)试卷


商丘市一高 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分. 第 I 卷( 选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上

对应题目的答案标 号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标 号.不能答在试题卷上. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题 目要求的) (1)若复数 z ?

1? i ? m?1 ? i ? ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m 的值为( 1? i
( B) 1 (C ) ? 1
) (B)



( A) 0

( D) 2

(2)已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是 ( (A) a ? b ? am ? bm
2 2

a b ? ?a?b c c
2 2

(C) a ? b , ab ? 0 ?
3 3

1 1 ? a b

(D) a ? b , ab ? 0 ?

(3)已知曲线 f ( x) ? x sin x ? 5 在 x ? 实数 a 的值为( (A) -2
?

?
2

1 1 ? a b

处的切线与直线 ax ? 4 y ? 1 ? 0 互相垂直,则

) (B) -1
?

(C) 2
? ? ? ?

(D) 4 )

(4)已知向量 a ? (2,1, 4), b ? (1, 0, 2) ,且 a ? b 与 k a ? b 互相垂直,则 k 的值是( (A) 1 (B)

1 5

(C)

3 5

(D)

15 31

(5)已知关于 x 的 二项式 ( x ? 为( (A) 1 ) (B) ? 1
2

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值
(C)2
1 0

(D) ? 2 )

(6)若 f ( x) ? x ? 2 (A) ?1

?

1

0

f ( x)dx ,则 ? f ( x)dx (
(B) ?

(7)函数 f ( x) ? x ? sin x 的零点个数是( (A) 1 个 (B)2 个

1 3

(C) )

1 3

(D) 1

(C)3 个

(D)无数个

(8)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率 a 2 b2
1

是( (A) 5

) (B) 2 (C)

7 2

(D) )

5 2

(9)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,二面角 A-BD 1 -B 1 的大小为( (A) 60
?

(B) 30

?

(C) 120

?

(D) 150

?

(10)直线 y ? x ? 3 与抛物线 y 2 ? 4 x 交与 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为

P, Q ,则梯形 APQB 的面积为(
(A) 48 (B) 56

) (C) 64 (D) 72

(11)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?( x) .有下列命题: ① f ( x) 的单调减 区间是 ? ,2 ? ;

?2 ?3

? ?

② f ( x) 的极小值是 ? 15 ;

③当 a ? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)(x ? a) ④函数 f ( x) 有且只有一个零点.其中真命题的个数为( (A)1 个
2

) (D)4 个

(B)2 个
x

(C)3 个

(12) 已知函数 f ( x) ? x ? e ? 的取值范围是( ( A ) (??, )

1 ( x ? 0) 与 g ( x) ? x2 ? ln( x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对称的点, 则a 2

1 ) e

( B ) (? e ,

1 ) e

( C ) (?

1 , e) e

( D ) (??, e )

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 注意事项:1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚; 2.考生做答时,用黑色签字笔将答案答在答题卷上,答在试题卷上的答案无效. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 (13)命题“ ?x ? R,x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是
3

. 种.

(14 )5 个人排成一排,其中甲与乙必须相邻,而丙与丁不能相邻,则不同的排法种数有

(15)已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? mx(m ? 0) 的准线交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 , 则 m 的值为 __________. (16)已知 a ? 0 , (
a a ? x)6 展开式的常数项为 15,则 ? ( x2 ? x ? 4 ? x2 )dx ? ___________. ?a x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 10 分)
2

设命题 p:|4x ? 3 |? 1 ;命题 q : x2 ? (2a ? 1) ? a(a ? 1) ? 0 ,如果 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

(18)(本小题满分 12 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数. (1) sin 13 ? cos 17 ? sin13 cos17 ; (2) sin 15 ? cos 15 ? sin15 cos15 ;
2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin18 cos12 ;
2 ? 2 ? ? ?

(4) sin 2 (?18? ) ? cos2 48? ? sin(?18? )cos 48? ;

(5) sin 2 (?25? ) ? cos2 55? ? sin(?25? )cos55? . (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 D-ABC 中,DA=DB= DC, D 在底面 ABC 上的射影 E,E 为 AC 的中点,

AB⊥BC,DF⊥AB 于 F.
(Ⅰ)求证:平面 ABD⊥平面 DEF; (Ⅱ)若 AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°, 求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值. (20)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? ?2e 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 ?1, 4? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 弦长为 2 . ( Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F ( 2,0) 为其右焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的 a 2 b2

(Ⅱ)直线 l : y ? kx ? m ( km ? 0 )与椭圆 C 交于 A, B 两点,若线段 AB 中点在直线 x ? 2 y ? 0 上, 求 ?FAB 的面积的最大值. (22)(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? cos x ?

x2 ?1 . 2

(Ⅰ)求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 e
ax

? sin x ? cos x ? 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

商丘市一高 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二数学(理科)试卷参考答案 一、选择题 1. A 2.C 3.D 4. D 5. C 6. B 7. A 8. D 9. C 10. A 11. C 12. D

二.填空题 13. ?x ? R,x ? 2 x ? 1 ? 0
3

14. 24

15. 8

16.

2 2? ? ? 3 3 3

三、解答题: (17)解:由题意解得: A ? {x |

1 ? x ? 1} , B ? {x | a ? x ? a ? 1} 2

由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B ,

1 ? 1 ?a ? 且 a ? 和 a ? 1 ? 1 等号不能同时取到,则 ? 2 , 2 ? ?a ? 1 ? 1
故所求实数 a 的取值范围是 [0, ] .

1 2

1 3 sin 30? ? 2 4 3 2 2 ? ? (2)三角恒为等式: sin ? ? cos (30 ? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? ) ? ; 4
2 ? 2 ? ? ? (18)解: (Ⅰ)由(2)得 sin 15 ? cos 15 ? sin15 cos15 ? 1 ?

证明: sin

2

? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
? sin 2 ? ? ( 3 1 3 1 cos ? ? sin ? )2 ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) 2 2 2 2

5 3 3 3 1 3 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? . 4 4 2 2 2 4
(19)解: (Ⅰ)如图,由题意知 DE ? 平面 ABC 所以 AB ? DE ,又 AB ? DF ,所以 AB ? 平面 DEF 又 AB ? 平面 ABD 所以平面 ABD ? 平面 DEF (Ⅱ)如图建系,则 A(0,?2,0) , D(0,0,2) , B( 3,?1,0) , 所以 DA ? (0,?2,?2) , DB ? ( 3,?1,?2) 设平面 DAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由?

? ?n ? DA ? 0 ? ?n ? DB ? 0

得?

?? 2 y ? 2 z ? 0 ? 3x ? y ? 2 z ? 0

,取 n ? (

3 ,?1,1) 3
5

设 EB 与 n 的夹角为 ? ,所以 cos? ?

EB ? n | EB | ? | n |

? 2
21 7

2 7 3

?

21 7

所以, BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值为 (20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . 当 a ? ?2e 时, f ?( x) ? 2 x ?

2e 2( x ? e )(x ? e ) ? x x

? f ( x) 的单调递减区间是 (0, e ) ;单调递增区间 是 ( e ,??) .极小值是 f ( e ) ? 0 ,无极大值.
2 (Ⅱ)由 f ( x) ? x ? a ln x ,得 f '( x) ? 2 x ?

a x

又 函数 f ( x) ? x ? a ln x 为 ?1, 4? 上的单调减函数,则 f '( x) ? 0 在 ?1, 4? 上恒成立.
2

所以 a ? ?2 x 在 ?1, 4? 恒成立,所以 a 的取值范围是 (??, ?32] .
2

?c ? 2 ? 2 ? x2 y 2 ?a ? 2 ?b ? ? 1. (21)解: (Ⅰ)由题意知 ? ? 1 , 解得: ? ,所求椭圆方程为: 4 2 ? ?b ? 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
(Ⅱ)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,P ? x0 , y0 ? ,联立方程组 ?
2 2 2 消去 y 得: 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

? x2 ? 2 y 2 ? 4 ? y ? kx ? m



?

?

?4km 2m 2 ? 4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ? 4 ? ? 8 ? 4k 2 ? 2 ? m2 ? ? 0 ,

x1 ? x2 ?2km m ? , y0 ? kx0 ? m ? . 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ?2km m , ) ,由点 P 在直线 x ? 2 y ? 0 上 ,得 k ? 1 , ∴点 P 的坐标为 ( 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
∴ x0 ?

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 (

4m 2 4(2m2 ? 4) 4 6 ? m2 . ) ? ? 3 3 3

6

又点 F

?

2, 0 到直线 AB 的距离 d ?

?

2?m 2



∴ ?FAB 的面积 s?FAB ? 令 u ? m ? ? 6 ? m2

1 2 AB ? d ? 2 3
2

2 ? m ? 6 ? m2

?m ?

6, m ? 0 .

?

?

??m ? 2 ? ? m ?

6, m ? 0 ,

?

? u? ? m ? ? ?2 2m ? 3 2 m ? 2 m ? 2 ,

?

??

??

?

由u? ? m? ? 0 ,? m ? ?
当 - 6<m ? ?

3 2 或m ? ? 2或m ? 2 , 2

3 2 3 2 时, u? ? m? ? 0 ;当 ? ? m ? ? 2 时, u? ? m? ? 0 ; 2 2

当 ? 2 ? m ? 2(m ? 0) 时, u? ? m? ? 0 ;当 2 ? m ? 6 时, u? ? m? ? 0 . 又u??

? 3 2? 3 ? ? ? ? 4 ,u 2 ? ?

? 2 ? ? 32 ,∴当 m ?

8 2 时, ?FAB 的面积取最大值 . 3

(22)解: (Ⅰ)证明: f ( x) ? cos x ?

x2 ? 1 ( x ? 0) ,则 f ' ( x) ? x ? sin x , 2

设 ? ( x) ? x ? sin x ,则 ? '( x) ? 1 ? cos x , 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,即 f ' ( x) ? x ? sin x 为增函数,所以 f ' ( x) ? f ' (0) ? 0 , 即: f ( x) 在 x ? 0 时为增函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 . (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 x ? 0 时, sin x ? x , cos x ? ?

x2 ?1, 2

x2 ? x ? 1 ? sin x ? cos x ? 2 , 所以 2
设 G ( x) ? e ?
x

x2 ? x ? 1 ,则 G '( x) ? ex ? x ?1 , 2
x

设 g ( x) ? e ? x ? 1,则 g '( x) ? e ?1 ,
x x x 当 x ? 0 时 g '( x) ? e ?1 ? 0 ,所以 g ( x) ? e ? x ? 1为增函数,

所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以 G ( x) 为增函数,所以 G( x) ? G(0) ? 0 ,
x 所以 e ? sin x ? cos x ? 2 对任意的 x ? 0 恒成立.

7

ax x 又 x ? 0 , a ? 1 时, e ? e , ax 所以 a ? 1 时 e ? sin x ? cos x ? 2 对任意 的 x ? 0 恒成立.

当 a ? 1 时,设 h( x) ? e ax ? sin x ? cos x ? 2 ,则 h' ( x) ? aeax ? cos x ? sin x ,

h' (0) ? a ? 1 ? 0 ,所以存在实数 x0 ? 0 ,使得任意 x ? (0, x0 ) ,均有 h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 在

(0, x0 ) 为减函数,所以在 x ? (0, x0 ) 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以 a ? 1 时不符合 题意.
综上,实数 a 的取值范围为 [1,??) . (Ⅱ)解法二:因为 e
ax

? sin x ? cos x ? 2 等价于 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2)
sin x ? cos x sin x ? cos x ? 2

设 g ( x) ? ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,则 g ?( x) ? a ? 可求

sin x ? cos x ? [?1, 1] , sin x ? cos x ? 2

所以当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 恒成立, g ( x) 在 [0, ??) 是增函数, 所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,即 e 所以 a ? 1 时, e
ax ax

? sin x ? cos x ? 2

? sin x ? cos x ? 2 对任意 x ? 0 恒成立.

当 a ? 1 时,一定存在 x0 ? 0 ,满足在 (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 是减函数,此时一定有 g ( x) ? g (0) ? 0 , 即 ax ? ln(sin x ? cos x ? 2) ,即 e 故 a ? 1 不能满足题意, 综上所述, a ? 1 时, e
ax ax

? sin x ? cos x ? 2 ,不符合题意,

? sin x ? cos x ? 2 对任意 x ? 0 恒成立.

8


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