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浙江省杭州市2016届高三上学期七校模拟质量检测数学(理)试题


2015 学年杭州地区七校模拟质量检测 高三理科数学
命题审校人: 塘栖中学 戚仕良

试 题
萧山九中 高金剑

考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的. 1.设集合 M={ x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0, x ? Z },则集合 M 的真子集个数为 A.8 B.7 C.4 D.3 ( ) ( )

2. “ a ? ?2 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在 [?1, ??) 上单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.若 sin ? ? cos? ? A. ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5 , ? ? [0, ? ] ,则 tan ? ? 5
B.

( C. ? 2 D. 2
x



1 2

1 2

4.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? 3 ? 1 ,则f ? ( A.

? 2015 ? ?? ? 2 ?


3 ?1

B. ? 3 ? 1

C.

3 ?1

D. ? 3 ?1

??? ? ??? ? 5.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , BC
( A. 5 ) B.

? 3 , M , N 分别是 BC 边上的三等分点,则 AM ? AN 的值是

21 4

C. 6

D. 8

x2 y 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径的圆被直线 a b
x y ? ? 1 截得的弦长为 6a ,则双曲线的离心率为 a b
·1·





A.3

B.2

C. 3

D. 2

7.已知函数 y ? loga ( x ? 1) ? 3(a ? 0, a ? 1) 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{ an }的第二项 与第三项,若 bn ? A.

9 11

1 ,数列 ?bn ? 的前项和为 Tn ,则 T10 = ( an an?1 10 12 B. C.1 D. 11 11



8.设 x ? R ,函数 f ( x) 单调递增,且对任意实数 x ,有 f f ( x) ? e x ? e ? 1, (其中 e 为自然对数), 求 f (ln 2) = A. e ? 1 B.1 C. e ? 3 D.3 ( )

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分. ?2?2 x , x ? ?1, 9.已知函数 f ? x ? ? ? 则 f ? f (?2)? ? ,不等式 f ( x) ? 16 的解集为 ?2 x ? 2, x ? ?1,
10.已知函数 f ? x ? ? sin ?

3 ?? ? ,则 f ? x ? 的最小正周期为 ? x ? sin x ? 3 cos 2 x ? 2 ?2 ?

? ? 2? ? f ? x ? 在 ? , ? 上的值域为 ?6 3 ?
11.已知数列 an ? 2n ? 1 ,求 ?an ? 的前 n 项和 ,求 a 2n 的前 n 项和

? ?

? y ? 0, ? 12.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x, 时,所表示的平面区域为 D ,则 z ? x ? 2 y 的最大 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
值等于 ;若直线 y ? a( x ? 1) 与区域 D 有公共点,则 a 的取值范围是 .

13.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若 a ? 1 , 则A= 14.已知 a ? 2b ? 1,求 a ? b 的最小值
2 2

sin B 1 cos C ? ? , sin C 2 c

2 15.抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 (0, 3) 的直线与抛物线交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平

分线交 x 轴于点 D ,若 | AF | ? | BF |? 6 ,则点 D 的坐标为

·2·

三、解答题:本大题有 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5 4 16. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 满足 cos B ? ? , cos C ? . 13 5 33 (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2

17. (本小题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 满足 bn ? an ? lg an (1)求数列 ?an ? 的通项。

an ? 1 a ? 1 ( a >0, 且 a ? 1 )。 数列 ?bn ? ? Sn a



(2)若对一切 n ? N ? 都有 bn ? bn?1 ,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

3x ? 1 , 3x ? 1

(Ⅰ)判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并加以证明; (Ⅱ)当 x ? [1,2] 时, f (ax ? 1) ? f (

1 ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2x

·3·

19. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 =1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , 2 a b 3

点 M 在椭圆上,且满足 MF2 ? x 轴, MF1 ? (Ⅰ)求椭圆的方程;

4 3 . 3

(Ⅱ)若直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 A, B 两点,求 ?ABO ( O 为坐标原点)面积的最大值.

2 22、 (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? ?x ? 3x ? x ? a ,其中 a ? 0

[:]

(1) a ? 2 时,求函数在 x ? ?? 1,6? 上的值域
(2)若函数在 x ? ?? 1,6? 上既有最大值又有最小值,求 a 的范围

·4·

2015 学年杭州地区七校模拟质量检测 高三理科数学答案

一、选择题: 题号 答案 1
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2 A

3 C

4 B

5 C

6 D

7 B

8 D

B

二、填空题:
9. 34 ,

(??,?2] ? [7,??)

10.

?
12. 9

,

?0,1?


11. n 2

,

2 n?2 ? 4 ? n

? ,3 ? 0, ? ? 4? ?

13. 60°

14. -

2 4

15. ( 4,0)

三、解答题:
16.【解】 : (1)

12 , sin A ? sin(B ? C ) = sin B cos C ? cos B sin C = 33 。 13 65 1 33 sin B b 20 bc ? 65 ? = (2) S ? bc sin A ? 2 2 sin C c 13 11 13 b ? 10, c ? , a ? 。 2 2 1 n 17.【解】 :(1) an ? a (2) a ? 1 或 0 ? a ? 2 sin B ?
18.【解】 : (1)

3x ? 1 2 递增 f ( x) ? x ? 1? x 3 ?1 3 ?1

证明:设 x1 ? x2 ? R ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 所以 f ( x) 在 R 上递增.

2 2 2(3 x1 ? 3 x2 ) ? ? ? 0, 3 x1 ? 1 3 x2 ? 1 (3 x1 ? 1)(3 x2 ? 1)

·5·

1 ( )x ?1 1 ? 3x 3 (2)? f (? x) ? ? ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数. 1 x 1 ? 3x ( ) ?1 3 1 1 1 ? 1 ? ax ? f (ax ? 1) ? f ( ) ? 0 ,? f ( ) ? f (1 ? ax ) ,? 2x 2x 2x 即 1 1 1 1 1 , 1 1 ,所以 3. a ? ? 2 ? ? ? ( ? 1) 2 ? ? [ ,1] a? x 2 x 2 x 2 8 2x 2 c 1 19.【解】 :(I)由已知得 2 ? ,又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b 2 ? 2c 2 , 3 a
[:.]

得椭圆方程为

? 2 3 ? x2 y2 ? ? 1 ,因为点 M 在第一象限且 MF2 ? x 轴,可得 M 的坐标为 ? c, c? , 2 2 3 ? 3c 2c ?

由 F1 M ?

4 4 3 x2 y2 ? ?1 4c 2 ? c 2 ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 3 2 3 3

(II)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入椭圆,可得 (3k 2 ? 2) x 2 ? 12kx ? 6 ? 0
2 由 ? ? 0 ,可得 3k ? 2 ? 0 ,则有 x1 ? x 2 ? ?

12 k 6 , x1 x 2 ? 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2

2 18k 2 ? 12 所以 x1 ? x2 ? 因为直线 y ? kx ? 2 与轴交点的坐标为 (0,2) 3k 2 ? 2
所以 ?OAB 的面积 S ?

2 (18k 2 ? 12) 2 6 ? (3k 2 ? 2) 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2
6t 6t ?2 2 ?2 t?4 t ? 8t ? 16 6 6 ? 16 2 t ? ?8 t

2 令 3k ? 2 ? t , 由①知 t ? (0,??) S ? 2

所以 t ? 4 时,面积最大为

6 . 2

2 ? 9? ?2 x ? 6 x , x ? 2 ? 20.【解】 : (1) f ( x) ? ? , x ? ?? 1,2? 时, y ? ? ? 10, ? 2 4? ? ? ?? 4 x ? 6 x , x ? 2

x ? ?2,6? 时, y ? ?? 4,36? ,值域 ?? 10,36?

·6·

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