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“二次不等式在给定区间恒成立”的常见解法


“二次不等式在给定区间恒成立”的常见解法 内江市翔龙中学 朱学均

“已知二次不等式在给定区间上恒成立,求其中所含参数的取值范 围” ,是一类较为常见的题型。这是一类牵涉到二次函数、二次不等 式、 二次方程、 函数最值的综合性问题, 解决的切入点多、 方法灵活, 是一类考查学生运用所学知识解决问题,训练学生解题能力的好题 型。下面,笔者将通过对一个典型例题的解法的探讨,以飨读者。 题目:已知不等式 x2-2mx-1>0 对一切 1 ? x ? 3 都成立,求参数 m 的 取值范围。 解法(一) : 设 A= ? x / x
2
2

? 2 m x ? 1 ? 0 ? ,则由条件可知 ?1, 3 ? ? A

? ? ? 4m ? 4 ? 0

? A ? x/x ? m ?

?

1? m 或x ? m ?
2

1? m

2

?

m ? 1? m
2

?m ?

1? m

2

? 1 ??????①
2

? 3 ………………②

解①得

1? m

?1? m

,该不等式等价于不等式组

?1 ? m ? 0 ?m ? 1 ? ? ? m ?0 ? 2 2 ?m ? 0 ?1 ? m ? m ? 2 m ? 1

解②得

1? m

2

? m ? 3 ,该不等式等价于不等式组

?m ? 3 ?m ? 3 ? 0 ? ? ? ? 3 ? m ? ? ? 综 上 所 述 可 知 :m<0 2 2 m ? ?1 ? m ? m ? 6 m ? 9 ? 2 ?

解法(二) : 由条件可知, ?1, 3 ? ? ? x / x
2

2

? 2 m x ? 1 ? 0?

,且 ? ? 4 m

2

?4?0

? 方 程 x ? 2 m x ? 1 ? 0的 两 根 均 大 于 3或 均 小 于 1

? x1 x 2 ? ? 1 ? x ? 2 m x ? 1 ? 0的 两 根 均 小 于 1
2

又 设 f(x)=x

2

-2mx-1,则 有

? 2m ?1 ?m ? 1 ?m ? 1 ? ? ? ? ? ? m ?0 ? 2 ?1 ? 2 m ? 1 ? 0 ?m ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? 参 数 m的 范 围 为 m ? 0

解法(三) :
? x -2mx-1>0对 一 切 1 ? x ? 3都 成 立 .
2

? 2m<x-

1 x

在 ?1 , 3 ?内 成 立 .

令 g(x)=x-

1 x

, x ? ?1 , 3 ? 则 可 知 : g ( x ) 在 ?1 , 3 ?内 单 调 递 增 . 1 x ?1

? g(1)? g(x)? g(3) 即 0 ? x? 2m<0 即 m<0 ? m的 范 围 为 m<0

解法(四) :
设 f(x)=x -2mx-1,则 f(m)=-m -1<0 ? x -2mx-1>0对 一 切 1 ? x ? 3都 成 立 . ? 对 称 轴 x = m ? ?1 , 3 ? ? f ( x ) = x - 2 m x - 1 在 ?1 , 3 ?内 单 调 递 减 .
2 2 2 2

? m<0 ?f(1)>0 ?1 - 2 m - 1 > 0 ? ?? ? ? ? ? 4 ? m<0 ?9-6m-1>0 ?f(3)>0 ? m< 3 ? ? m的 范 围 为 :m<0

解法(五) : 设 f(x)=x2-2mx-1,则由 x2-2mx-1>0 对一切 1 ? x ? 3 都成立可知, ?1, 3 ? 上 在 有 f(x)min>0 由 f(x)=(x-m)2-m2-1 可知 ①若 m<1,则 f(x)min=f(1)=1-2m-1>0
? m<0

②若 1 ? m ? 3 ,则 f(x)min=f(m)= -m2-1<0 这与条件矛盾

? 1 ? m ? 3 不符题意

③若 m.>3,则 f(x)min=f(3)=9-6m-1>0 不符题意 综上所述,m 的范围为 m<0 解法(六) : 由 x2-2mx-1>0 可知 2mx<x2-1 x ? ?1, 3 ? 令 f(x)=x2-1,g(x)=2mx

? m<

4 3

这与 m.>3 矛盾

? m>3

则在 ?1, 3 ? 内,f(x)的图象必在 g(x)的图象的上方
? m<0



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