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【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:10.2 排列与组合]


§10.2 排列与组合
一、选择题 1.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节 目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 ( A.42 解析 B.30 C.20 D.12 ).

可分为两类:两个节目相邻或两个节目不相邻,若两个节目相邻,则有

1 2 A2 2A6=12 种排法;若两

个节目不相邻,则有 A6=30 种排法.由分类计数原理共有

12+30=42 种排法(或 A2 7=42). 答案 A 2.a∈N*,且 a<20,则(27-a)(28-a)?(34-a)等于( -a A.A8 B.A27 C.A7 27-a 34-a 34-a 8 解析 A34-a=(27-a)(28-a)?(34-a). 答案 D ) D.A8 34-a

3.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复 数字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有( ) A.252 个 B.300 个 C.324 个 D.228 个 2 1 1 3 解析 (1)若仅仅含有数字 0, 则选法是 C3C4,可以组成四位数 C2 3C4A3=12×6=72 个; 2 1 2 3 (2)若仅仅含有数字 5,则选法是 C1 3C4,可以组成四位数 C3C4A3=18×6=108 个; 1 3 (3)若既含数字 0,又含数字 5,选法是 C1 3C4,排法是若 0 在个位,有 A3=6 种, 1 1 若 5 在个位,有 2×A2 2=4 种,故可以组成四位数 C3C4(6+4)=120 个. 根据加法原理,共有 72+108+120=300 个. 答案 B 4.2013 年春节放假安排:农历除夕至正月初六放假,共 7 天.某单位安排 7 位 员工值班,每人值班 1 天,每天安排 1 人.若甲不在除夕值班,乙不在正月初一 值班,而且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案共有( A.1 440 种 C.1 282 种 解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法:
2 如果不考虑“乙不在正月初一值班”,则安排方案有:A6 6·A2=1 440 种, 1 2 4 如果“乙在正月初一值班”,则安排方案有:C1 1·A4·A2·A4=192 种,

)

B.1 360 种 D.1 128 种

若“甲在除夕值班”,则“丙在初一值班”,则安排方案有:A5 5=120 种.

则不同的安排方案共有 1 440-192-120=1 128(种). 答案 D 5.某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 B.36 种 C.42 种 ). D.60 种

解析 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个, 每个城市一项, 共 A3 4种方法; 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个,一个城市一项、一个城市两项共
2 3 2 2 C2 3A4种方法,由分类计数原理知共 A4+C3A4=60 种方法.

答案 D 6.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中选 3 门.若要求 两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( A.30 种 解析 法一 B.35 种 C.42 种 ). D.48 种

可分两种互斥情况:A 类选 1 门,B 类选 2 门或 A 类选 2 门,B 类

2 2 1 选 1 门,共有 C1 3C4+C3C4=18+12=30(种)选法. 3 法二 总共有 C3 7=35(种)选法,减去只选 A 类的 C3=1(种),再减去只选 B 类的

C3 4=4(种),共有 30 种选法. 答案 A 7.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其并排 摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( A.24 B.48 C.72 D.96 ).

2 2 2 2 2 3 解析 A5 5-2A2A3A2-A2A2A3=48.

答案 B 二、填空题 8.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1、2 号中 至少有 1 名新队员的排法有________种.(以数字作答)
2 3 解析 ①只有 1 名老队员的排法有 C1 2·C3·A3=36 种. 1 1 2 ②有 2 名老队员的排法有 C2 2·C3·C2·A2=12 种;

所以共 48 种. 答案 48

9.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生, 其中甲同学不能分配到 A 班,那么不同的分配方案种数是________. 解析 将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排一名学
3 2 1 2 生有 C2 其中甲同学分配到 A 班共有 C2 4A3种分配方案, 3A2+C3A2种方案.因此满足条 3 2 2 1 2 件的不同方案共有 C2 4A3-C3A2-C3A2=24(种).

答案

24

10.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求男、女 医生都有,则不同的组队方案共有________种. 解析 分 1 名男医生 2 名女医生、2 名男医生 1 名女医生两种情况,或者用间接 法. 2 2 1 直接法:C1 5C4+C5C4=70. 3 3 间接法:C9-C5-C3 4=70. 答案 70 11.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同 一房间, 且每个房间最多住两人, 则不同的住宿安排有________种(用数字作答). 解析 甲、乙住在同一个房间,此时只能把另外三人分为两组,这时的方法总数 2 2 C1 5C4C2 3 1 3 是 C3A3=18,而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配,方法数是 2 A3 A2 =90,故不同的住宿安排共有 90-18=72 种. 答案 72 12.某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车 必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字). 解析 先从除甲、乙外的 5 辆车任选 2 辆有 C2 5种选法,连同甲、乙共 4 辆车,排 列在一起,选从 4 个位置中选两个位置安排甲、乙,甲在乙前共有 C2 4种,最后,
2 2 2 安排其他两辆车共有 A2 2种方法,∴不同的调度方法为 C5·C4·A2=120 种.

答案 120 三、解答题 13.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种? (1)分成三个组,各组人数分别为 1、2、3; (2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为 1、2、3; (3)分成三个组,各组人数分别为 2、2、2; (4)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为 2、2、2; (5)分成四个组,各组人数分别为 1,1,2,2; (6)分成四个组去参加四项不同的活动,各组人数分别为 1、1、2、2. 2 3 解析 (1)即 C1 6C5C3=60. 2 3 3 (2)即 C1 6C5C3A3=60×6=360.

2 2 C2 6C4C2 (3)即 3 =15. A3 2 2 (4)即 C2 6C4C2=90. 1 2 C1 C2 6C5 4C2 (5)即 2 · 2 =45. A2 A2 1 1 2 2 (6)C6C5C4C2=180. 14.要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,分别有多少种不同

的选法? (1)至少有 1 名女生入选;(2)至多有 2 名女生入选;(3)男生甲和女生乙入选; (4)男生甲和女生乙不能同时入选;(5)男 生甲、女生乙至少有一个人入选.
5 解析 (1)C5 12-C7=771; 1 4 2 3 (2)C5 7+C5C7+C5C7=546; 3 (3)C2 2C10=120; 2 3 (4)C5 12-C2C10=672; 5 (5)C5 12-C10=540.

15.在 m(m≥2)个不同数的排列 p1p2?pm 中,若 1≤i<j≤m 时 pi>pj(即前面某 数大于后面某数),则称 pi 与 pj 构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为 该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)?321 的逆序数为 an.如排列 21 的逆序 数 a1=1,排列 321 的逆序数 a2=3,排列 4 321 的逆序数 a3=6. (1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn=

an an+1 + ,证明 2n<b1+b2+?+bn<2n+3,n=1,2,?. an+1 an n n+
2 .

2 2 解析 (1)由已知条件 a4=C2 5=10,a5=C6=15,则 an=Cn+1=

(2)证明

bn=

1 ? an an+1 n n+2 ?1 ? + = + =2+2? - an+1 an n+2 n ?n n+2?

∴b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? - + - ? =2n+2?1- + - + - +?+ 3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2? ? 1 1 ? ?3 - ?, =2n+2? - ?2 n+1 n+2? ∴2n<b1+b2+?+bn<2n+3.

16.已知 10 件不同的产品中有 4 件次品,现对它们一一测试,直至找到所有 4 件次品为止. (1)若恰在第 2 次测试时,才测试到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次品, 则共有多少种不同的测试方法? (2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品,则共有多少种不同的测试方法? 解析 (1)若恰在第 2 次测试时,才测到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次 品,若是不放回的逐个抽取测试. 第 2 次测到第一件次品有 4 种抽法; 第 8 次测到最后一件次品有 3 种抽法; 第 3 至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 A2 5种抽法;剩余 4 次抽到的是正品,共
2 4 有 A2 4A5A6=86 400 种抽法.

(2)检测 4 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 A4 4种,
1 检测 5 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 4A3 4A6种; 2 6 检测 6 次测出 4 件次品或 6 件正品,则不同的测试方法共有 4A3 5A6+A6种.

由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为
3 1 3 2 6 A4 4+4A4A6+4A5A6+A6=8 520.


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