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2015年暑期高一物理奥赛培训检测(含答案)


邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测

7/30/2015

1、 (本题 10 分)如图 4 所示,在光滑水平面上静止放着一个质量为 M 的中空物体,其中间是一个半径为 R 的球形空间, 内表面也是光滑的。另一个质量为 m 、半径为 r 的小球,从两球心等高的位置静止释放,试 求: (1)小球到达最低点时,中空物体移动的距离;

(2)小球到达最低点时,中空物体的速度。 (3)判断:小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高? 2、 (本题 10 分)如图 6 所示,一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上,槽内嵌着三个大 小相同的刚性小球,它们的质量分别是 m1、m2 和 m3 ,且 m2 = m3 = 2m1 。小球与槽的两壁刚 好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时,三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置,彼此间距 离相等;m2 和 m3 静止,m1 以初速度 vo =π R/2 沿槽运动,R 为圆环的内半径和小球半径之和, 设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞,求此系统的运动周期 T 。

3、 (本题 10 分)水平光滑细杆上穿着 A、B 两个刚性小球,它们的间距为 L ,用两根长度也 为 L 的轻绳与 C 球相连,A、B、C 三球的质量均相等。现将系统从静止开始释放,试求:当 C 球与细杆相距 h 时,A 球的速度是多少?

4、 (本题 10 分)如图 2 所示,三个质量分别为 3m、2m 和 1m 的小球 A、B 和 C ,由两根长度相同的细绳相连,放置在 光滑的水平面上,它们的位置正好位于正三角形的三个顶点,且此时绳是被拉直的。现给小球一个沿 BC 方向的、大小 为 v0 的水平速度,试求:三根绳子刚被拉紧时小球 C 的速度。

5、 (本题 10 分)长为 ? 、质量为 M 的尔质杆可绕通过杆一端 O 的水平光滑固定轴转动,转动惯量的

1 2 M? , 3

开始时杆竖直下垂, 如图所示, 有一质量为 m 的子弹以水平速度 V0 射入杆上 A 点, 并嵌在杆中, OA= 2? 3 , 则子弹射入后瞬间杆的角速度?
O

2? 3
1 A

? ?0
m

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7/30/2015

6、 (本题 15 分)质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘,同轴地粘在一起,可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转动惯量为 9mr2/2,大小圆盘边缘都绕有绳子, 绳子下端都挂一质量为 m 的重物,如图所示,求盘的角加速度的大小。
2r m 2m r

m

m

7.(本题 15 分) 半径为 R,无摩擦地旋转着的圆板的边缘,趴着 n=10 个甲虫,每个的质量为 m=5g,甲虫同时开始 以同样的速度向板中心爬动。开始,板是以角速度

?1 ? 30r / min 旋转,假若甲虫们中间停住后,板旋转的角速度变为

?2 ? 45r / min ,板的转动惯量是 J ? 405g ? cm2 ,那么每个甲虫做了多少功?

8、(本题 20 分)如图,刚性细轻杆(其质量可视为零)可绕通过其中的点 O 的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两 5 3 ?? 6 。开始时轻杆 质量分别为 2 m 和 m 的小球 1 和 2(可视为质点)串在轻杆上,它们与轻杆之间的静摩擦系数为 静止在水平位置,小球 1 和 2 分别位于紧靠轻杆两端 A 和 B 的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆,求 1.小球 1 脱离轻杆时的位置(用小球 1 脱离杆时杆与水平线的夹角表示); 2.小球 2 脱离轻杆时的位置(用小球 2 脱离杆时杆与水平线的夹角表示)。

2

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7/30/2015

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测(参考答案)

1、 (1)

2m 2 g ( R ? r ) m (R ? r ) ; (2) ; (3)可以。 M (M ? m) M?m
3、

2、20s 。

gh 2 (2h ? 3L) h 2 ? L2

4、

2 v0 19

5、

6v0

(4 ? 3M m)?

6、解:受力分析图。 mg-T2=ma2 T1-mg=ma1 T2(2r)-T1r=9mr2β /2 2rβ =a2 rβ =a1
2g 解上述 5 个联立方程,得: ? ? 19 r

?

? a2 ?

? T2

? T1

G2

G1

? a ? 1

7.解:在板加上甲虫的系统上没有任何对转动轴的外力矩作用,因此该系统对过板中心的竖直轴的角 动量守恒.用 r 表示甲虫离板中心的末距离.系统对板中心轴的初始转动惯量为 nmR2 ? J ,而末了转动 惯量为 nmr 2 ? J . 由角动量守恒定律有

(nmR2 ? J )?1 ? (nmr 2 ? J )?2



所有甲虫一起所做的功等于系统在末了和开始的动能之差(即转动能之差) :
nW ?
2 (nmr 2 ? J )?2 (nmR 2 ? J )?12 ? 2 2



? 2 1 1 1 ? (nmR 2 ? J )?12 ? (nmR 2 ? J )?1 (?2 ? ?1 ) 将①式代入 nW ? (nmR 2 ? J ) 1 ?2 2 ?2 2 2
1 J 于是 W ? (mR 2 ? )?1 (?2 ? ?1 ) 2 n

将题中所给的数值代入后,得 W ? 1.11?10?4 J
8、 (20 分) 设轻杆的杆长为 2l ,当杆与水平线的夹角为 ? 时,球 1 和球 2 的速度分别为 v1 和 v 2 ,杆转动的角速度为 ? 。因机械能守恒,有 3

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7/30/2015

0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ?
又因

1 1 ? 2m? v12 ? mv22 。 2 2

(1)

v1 ? v2 ? l? ,
可由(1) 、 (2)解得

(2)

??

2 g sin ? 3l

(3) 量 (4)

轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动

L ? 2mlv1 ? mlv2 ,
由角动量定律有

2mgl cos? ? mgl cos? ?
根据角加速度 ? 的定义

?L 。 ?t

(5)

??

?? , ?t g cos? 。 3l

(6)

由(2) 、 (4 ) 、 (5) 、 (6)各式得

??

(7)

当两球都未脱离轻杆时,两球都绕转轴作圆周运动,球 1 的切向加速度和法向加速度分别为

alt ? l ? alt ? l? 2

(8) (9)

以 N1 表示沿垂直于轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小,以 f1 表示沿着轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小,根据牛顿第二定律, 有

2mg cos? ? N1 ? 2malt , f1 ? 2mg sin ? ? 2malt
由(3) 、 (9 ) 、 (10) 、 (11)各式得

(10) (11)

4 N1 ? mg cos? 。 3 f1 ? 10 mg sin ? 。 3

(12)

(13)

对 2 球作同样的分析,沿垂直于轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 N 2 与沿着轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 f 2 分别为

4 N2 ? mg cos? , 3
1 f 2 ? mg sin ? 。 3

(14)

(15)

由(12) 、 (14)式可知,杆与小球 1、杆与小球 2 的最大静摩擦力相等,而(13) 、 (14)式表明小球 1 与杆的摩擦力大于小球 2 与杆的摩擦力,故在转动过程中,小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦 力,故小球 1 先滑动。设 1 球开始滑动时,细杆与水平线夹角为 ? 1 ,则 f1 ??1 ? ? ? N1 ??1 ? ,

4

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测 即

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10 3 mg sin ?1 ? ? mg cos?1 , 3 4 π 。 6

(16)

由(16)式并代入数据得

?1 ?

(17)

当 ? ? ?1 时,球 1 开始向外滑动。由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端,球 1 从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计,因此球 1 脱离细杆 与水平线夹角也为 ?1 ?

π 。 6

球 1 一旦脱离轻杆,因轻杆没有质量,球 2 与轻杆间的相互作用立即消失,此后球 2 只受重力作用而作斜舞女运动,注意到(2) 、 (3 ) 、 (7 ) 各式,抛出时的初速度

v0 ? l

2 g sin ?1 3gl ? 。 3l 3

(18)

初速度的方向与水平线的夹角

?0 ?

π π ? ?1 ? 。 2 3

(19)

在球 2 作抛体运动的过程中,球与轻杆间虽无相互作用,但球仍套在杆上,轻杆将跟着球运动,但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距 离再次等于 l 时,球 2 便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系 Oxy ,根据斜抛运动规律可得任意 t 时刻(取球 2 开始作抛体运动的时刻为计 时起点)球 2 的位置坐标

x ? ?l cos?1 ? v0 cos?0t ,

(20) (21)

1 y ? l sin ?1 ? v0 sin ?0t ? gt 2 , 2
球 2 脱离细杆时有

l 2 ? x2 ? y 2 。
利用(17) 、 (18) 、 (19)各式得

(22)

? 2 l 2l? t2 ? ?t ? 2 gt ? 3 g ? ??0, ? ?
从而解得

(23)

? 15 ? l t ?? ?1 ? 3 ? ? g。 ? ?
此时

(24)

? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 。 ? 2 ? 15 ? y?? l ? 6 ?
设球 2 脱离细杆时细杆与水平线夹角也为 ? 2 (如图) ,则

(25)

cos ? 2 ?

x l

?

2 3? 5 , 6

(26)

?2 ? arccos ? ?

?2 3? 5? 1.36 弧度) 。 ? ? ? 78.2? (或 6 ? ?

(27)

5

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测 7/30/2015 评分标准: (3)式 2 分, (7)式 3 分, (12)~(15)式各 1 分, (16)式 2 分, (17)式 1 分, (18)式 2 分, (19)式 1 分, (20)~(22) 式各 1 分, (26) 、 (27)式各 1 分。

6


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