2015年暑期高一物理奥赛培训检测(含答案)

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测

7/30/2015

1、 （本题 10 分）如图 4 所示，在光滑水平面上静止放着一个质量为 M 的中空物体，其中间是一个半径为 R 的球形空间， 内表面也是光滑的。另一个质量为 m 、半径为 r 的小球，从两球心等高的位置静止释放，试 求： （1）小球到达最低点时，中空物体移动的距离； （2）小球到达最低点时，中空物体的速度。 （3）判断：小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高？ 2、 （本题 10 分）如图 6 所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大 小相同的刚性小球，它们的质量分别是 m1、m2 和 m3 ，且 m2 = m3 = 2m1 。小球与槽的两壁刚 好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距 离相等；m2 和 m3 静止，m1 以初速度 vo =π R/2 沿槽运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和， 设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期 T 。

3、 （本题 10 分）水平光滑细杆上穿着 A、B 两个刚性小球，它们的间距为 L ，用两根长度也 为 L 的轻绳与 C 球相连，A、B、C 三球的质量均相等。现将系统从静止开始释放，试求：当 C 球与细杆相距 h 时，A 球的速度是多少？

4、 （本题 10 分）如图 2 所示，三个质量分别为 3m、2m 和 1m 的小球 A、B 和 C ，由两根长度相同的细绳相连，放置在 光滑的水平面上，它们的位置正好位于正三角形的三个顶点，且此时绳是被拉直的。现给小球一个沿 BC 方向的、大小 为 v0 的水平速度，试求：三根绳子刚被拉紧时小球 C 的速度。

5、 （本题 10 分）长为 ? 、质量为 M 的尔质杆可绕通过杆一端 O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量的

1 2 M? ， 3

开始时杆竖直下垂， 如图所示， 有一质量为 m 的子弹以水平速度 V0 射入杆上 A 点， 并嵌在杆中， OA= 2? 3 ， 则子弹射入后瞬间杆的角速度?
O

2? 3
1 A

? ?0
m

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6、 （本题 15 分）质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为 9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子， 绳子下端都挂一质量为 m 的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。
2r m 2m r

m

m

7．（本题 15 分） 半径为 R，无摩擦地旋转着的圆板的边缘，趴着 n＝10 个甲虫，每个的质量为 m=5g，甲虫同时开始 以同样的速度向板中心爬动。开始，板是以角速度

?1 ? 30r / min 旋转，假若甲虫们中间停住后，板旋转的角速度变为

?2 ? 45r / min ，板的转动惯量是 J ? 405g ? cm2 ，那么每个甲虫做了多少功？

8、（本题 20 分）如图，刚性细轻杆（其质量可视为零）可绕通过其中的点 O 的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两 5 3 ?? 6 。开始时轻杆 质量分别为 2 m 和 m 的小球 1 和 2（可视为质点）串在轻杆上，它们与轻杆之间的静摩擦系数为 静止在水平位置，小球 1 和 2 分别位于紧靠轻杆两端 A 和 B 的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆，求 1．小球 1 脱离轻杆时的位置（用小球 1 脱离杆时杆与水平线的夹角表示）； 2．小球 2 脱离轻杆时的位置（用小球 2 脱离杆时杆与水平线的夹角表示）。

2

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邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测（参考答案）

1、 （1）

2m 2 g ( R ? r ) m (R ? r ) ； （2） ； （3）可以。 M (M ? m) M?m
3、

2、20s 。

gh 2 (2h ? 3L) h 2 ? L2

4、

2 v0 19

5、

6v0

(4 ? 3M m)?

6、解：受力分析图。 mg－T2=ma2 T1－mg=ma1 T2(2r)－T1r=9mr2β /2 2rβ =a2 rβ =a1
2g 解上述 5 个联立方程，得： ? ? 19 r

?

? a2 ?

? T2

? T1

G2

G1

? a ? 1

7．解：在板加上甲虫的系统上没有任何对转动轴的外力矩作用，因此该系统对过板中心的竖直轴的角 动量守恒．用 r 表示甲虫离板中心的末距离．系统对板中心轴的初始转动惯量为 nmR2 ? J ，而末了转动 惯量为 nmr 2 ? J ． 由角动量守恒定律有

(nmR2 ? J )?1 ? (nmr 2 ? J )?2

①

所有甲虫一起所做的功等于系统在末了和开始的动能之差（即转动能之差） ：
nW ?
2 (nmr 2 ? J )?2 (nmR 2 ? J )?12 ? 2 2

②

? 2 1 1 1 ? (nmR 2 ? J )?12 ? (nmR 2 ? J )?1 (?2 ? ?1 ) 将①式代入 nW ? (nmR 2 ? J ) 1 ?2 2 ?2 2 2
1 J 于是 W ? (mR 2 ? )?1 (?2 ? ?1 ) 2 n

将题中所给的数值代入后，得 W ? 1.11?10?4 J
8、 （20 分） 设轻杆的杆长为 2l ，当杆与水平线的夹角为 ? 时，球 1 和球 2 的速度分别为 v1 和 v 2 ，杆转动的角速度为 ? 。因机械能守恒，有 3

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0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ?
又因

1 1 ? 2m? v12 ? mv22 。 2 2

（1）

v1 ? v2 ? l? ，
可由（1） 、 （2）解得

（2）

??

2 g sin ? 3l

（3） 量 （4）

轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动

L ? 2mlv1 ? mlv2 ，
由角动量定律有

2mgl cos? ? mgl cos? ?
根据角加速度 ? 的定义

?L 。 ?t

（5）

??

?? ， ?t g cos? 。 3l

（6）

由（2） 、 （4 ） 、 （5） 、 （6）各式得

??

（7）

当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球 1 的切向加速度和法向加速度分别为

alt ? l ? alt ? l? 2

（8） （9）

以 N1 表示沿垂直于轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小，以 f1 表示沿着轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律， 有

2mg cos? ? N1 ? 2malt ， f1 ? 2mg sin ? ? 2malt
由（3） 、 （9 ） 、 （10） 、 （11）各式得

（10） （11）

4 N1 ? mg cos? 。 3 f1 ? 10 mg sin ? 。 3

（12）

（13）

对 2 球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 N 2 与沿着轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 f 2 分别为

4 N2 ? mg cos? ， 3
1 f 2 ? mg sin ? 。 3

（14）

（15）

由（12） 、 （14）式可知，杆与小球 1、杆与小球 2 的最大静摩擦力相等，而（13） 、 （14）式表明小球 1 与杆的摩擦力大于小球 2 与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦 力，故小球 1 先滑动。设 1 球开始滑动时，细杆与水平线夹角为 ? 1 ，则 f1 ??1 ? ? ? N1 ??1 ? ，

4

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测 即

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10 3 mg sin ?1 ? ? mg cos?1 ， 3 4 π 。 6

（16）

由（16）式并代入数据得

?1 ?

（17）

当 ? ? ?1 时，球 1 开始向外滑动。由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端，球 1 从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计，因此球 1 脱离细杆 与水平线夹角也为 ?1 ?

π 。 6

球 1 一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球 2 与轻杆间的相互作用立即消失，此后球 2 只受重力作用而作斜舞女运动，注意到（2） 、 （3 ） 、 （7 ） 各式，抛出时的初速度

v0 ? l

2 g sin ?1 3gl ? 。 3l 3

（18）

初速度的方向与水平线的夹角

?0 ?

π π ? ?1 ? 。 2 3

（19）

在球 2 作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距 离再次等于 l 时，球 2 便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系 Oxy ，根据斜抛运动规律可得任意 t 时刻（取球 2 开始作抛体运动的时刻为计 时起点）球 2 的位置坐标

x ? ?l cos?1 ? v0 cos?0t ，

（20） （21）

1 y ? l sin ?1 ? v0 sin ?0t ? gt 2 ， 2
球 2 脱离细杆时有

l 2 ? x2 ? y 2 。
利用（17） 、 （18） 、 （19）各式得

（22）

? 2 l 2l? t2 ? ?t ? 2 gt ? 3 g ? ??0， ? ?
从而解得

（23）

? 15 ? l t ?? ?1 ? 3 ? ? g。 ? ?
此时

（24）

? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 。 ? 2 ? 15 ? y?? l ? 6 ?
设球 2 脱离细杆时细杆与水平线夹角也为 ? 2 （如图） ，则

（25）

cos ? 2 ?

x l

?

2 3? 5 ， 6

（26）

?2 ? arccos ? ?

?2 3? 5? 1.36 弧度） 。 ? ? ? 78.2? （或 6 ? ?

（27）

5

邹城一中 2014 级暑期高一物理奥赛培训检测 7/30/2015 评分标准： （3）式 2 分， （7）式 3 分， （12）~（15）式各 1 分， （16）式 2 分， （17）式 1 分， （18）式 2 分， （19）式 1 分， （20）~（22） 式各 1 分， （26） 、 （27）式各 1 分。

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