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高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)


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高中数学(文科)高考一轮复习

习题集(含答案)

第一章
第一节 第二节



集合??????????????????????????? 1
集合的含义、表示及基本关系????????????????????1 集合的基本运算??????????????????????????3

第二章
第一节 第二节 第三节

函数??????????????????????????? 5
对函数的进一步认识????????????????????????5 函数的单调性???????????????????????????9 函数的性质??????????????????????????? 13

第三章

指数函数和对数函数???????????????????? 16
指数函数???????????????????????????? 16 对数函数???????????????????????????? 20 幂函数与二次函数的性质????????????????????? 24 函数的图象特征????????????????????????? 28

第一节 第二节 第三节 第四节

第四章 第五章

函数的应用???????????????????????? 32 三角函数????????????????????????? 33
角的概念的推广及弧度制????????????????????? 33 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式??????????????? 39 正弦函数与余弦函数的图象及性质????????????????? 42 函数

第一节 第二节 第三节 第四节

f (x) = Asin(wx + j )

的图象????????????????? 45

第六章

三角恒等变换???????????????????????50
同角三角函数的基本关系????????????????????? 50 两角和与差及二倍角的三角函数?????????????????? 53

第一节 第二节

第七章

解三角形????????????????????????? 56
正弦定理与余弦定理??????????????????????? 56 正弦定理、余弦定理的应用???????????????????? 59

第一节 第二节

第八章

数列??????????????????????????? 60
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第九章 第十章

平面向量????????????????????????? 62 算法??????????????????????????? 65
程序框图???????????????????????????? 65 程序语句???????????????????????????? 69

第一节 第二节

第十一章
第一节 第二节 第三节

概率?????????????????????????? 73
古典概型???????????????????????????? 73 概率的应用??????????????????????????? 75 几何概型???????????????????????????? 79

第十二章 第十三章 第十四章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节

导数?????????????????????????? 83 不等式????????????????????????? 85 立体几何???????????????????????? 88
简单几何体??????????????????????????? 88 空间图形的基本关系与公理???????????????????? 92 平行关系???????????????????????????? 96 垂直关系????????????????????????????100 简单几何体的面积与体积?????????????????????104

第十五章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节

解析几何??????????????????????? 108
直线的倾斜角、斜率与方程????????????????????108 点与直线、直线与直线的位置关系?????????????????111 圆的标准方程与一般方程?????????????????????114 直线与圆、圆与圆的位置关系???????????????????117 空间直角坐标系?????????????????????????121

第十六章

圆锥曲线??????????????????????? 123

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第一章
第一节

集合

集合的含义、表示及基本关系 A组

1.已知 A={1,2},B= {x | x ? A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B= {x | x ? A}知,B={1,2}.答案:A=B
2 2.若 ?? {x | x Na, a

R} ,则实数 a 的取值范围是________.

解析:由题意知, x 2 ? a 有解,故 a ? 0 .答案: a ? 0
2 3.已知集合 A= {y | y = x - 2 x - 1, x ? R},集合 B= {x | - 2 #x

8},则集合 A 与 B
A.

的关系是________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴B 答案:B A 4.(2009 年高考广东卷改编 )已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N=

{x | x 2 + x = 0} 关系的韦恩(Venn)图是________.

2 解析:由 N= {x | x + x = 0} ,得 N={-1,0},则 N

M.答案:②

5.(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A= {x | x > 5},集合 B= {x | x > a},若 命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A?B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又 C ={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设 n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1 +a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m+n∈B.

B组
a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨 论得 y=3 或 y=-1.答案:{3,-1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1. 答案:1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性, ∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,那么 a 的值是________.
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1 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N?M,所以 N=?时,a=0;当 a≠0 时,x= =1 或- a 1,∴a=1 或-1.答案:0,1,-1 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、 6 2 3 2 6 B、C 之间的关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案: 必要不充分条件 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和 为________. 解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+ 22+?+28=511.答案:511 9.(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1 ?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元 素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一 定是相连的三个数.故这样的集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }. x 1 于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. x 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A. m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠?,则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5. 解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, ? ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5. m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3. 故 3≤m≤4,

∴m 的取值范围是[3,4]. ? ?m-6=-2, (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?. ,即不存在 m 值使得 A=B. ?2m-1=5, ? 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2},
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而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A?B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2

第二节

集合的基本运算

A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)设 U=R,A= {x | x > 0},B= {x | x > 1},则 A∩?UB=____.
解析:?UB={x|x≤1},∴A∩?UB={x|0<x≤1}.答案:{x|0<x≤1} 2. (2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4, 5, 7, 9}, B={3, 4, 7, 8, 9}, 全集 U=A∪B, 则集合?U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩B)={3,5,8}. 答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N= {x | x = 2a, a ? M },则集合 M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4.(原创题)设 A,B 是非空集合,定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x≤2}, B={y|y≥0},则 A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009 年高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析: 设两项运动都喜欢的人数为 x ,画出韦恩图得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3, ∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人 数为 15-3=12(人).答案:12 6 . (2010 年浙江嘉兴质检 ) 已知集合 A = {x|x>1} ,集合 B = {x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m = - 1 时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}. (2)若 B?A,则 m > 1 ,即 m 的取值范围为(1,+∞)

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 解析:?UA={0,1},故(?UA)∩B={0}.答案:{0} 3.(2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则 M∩(?UN)=________. 解析:根据已知得 M∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0}.答案: {x|-2≤x<0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5. (2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素. 若
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A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元 素.答案:m-n 6.(2009 年高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3, 6},∴A∪B={1,3,5,6,7}, 得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集 y 合(A?B)?C 的所有元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8, 10,故所有元素之和为 18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}?{(x,y)|y=3x+b},则 b=________. ?x+y-2=0, ?x=0, ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. ? ? ?x-2y+4=0. ?y=2. 9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a -3=5,解得 a=-4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}= {2},满足条件;综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件; ③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 5 ? ? ?a=-2, ?1+2=-2(a+1) ? ?? 矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3. 2 ?1×2=a -5 ? ?a2=7, ? 11.已知函数 f(x)= 6 -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为 x+1

集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解.
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2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 9 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a> . 8 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 2 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax -3x+2=0 只有一根 x= ,A={ }符合题意. 3 3 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a= 时, 8 4 4 方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 3 3 2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根, 3 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤ ,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8 8

第二章

函数

第一节 对函数的进一步认识
A组 1.(2009 年高考江西卷改编)函数 y= -x -3x+4 的定义域为________. x
2

?-x2-3x+4≥0, ? 解析:? ?x∈[-4,0)∪(0,1] .答案:[-4,0)∪(0,1] ?x≠0, ? 2.(2010 年绍兴第一次质检)如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其 1 中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( )的值等于 f(3) ________. 1 解析:由图象知 f(3)=1,f( )=f(1)=2.答案:2 f(3) ?3x,x≤1, ? 3.(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x= ?-x,x>1. ? ________. 解析:依题意得 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时,-x=2,x=-2(舍去).故 x=log32.答案:log32 4.(2010 年黄冈市高三质检)函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有 ________个. 解析:如图.答案:1 5.(原创题)由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则 f(2,1,-1)=________. 解析:由题意知 x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3, 令 x=-1 得:-1=b3;

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? ?-1=1+b1+b2+b3 再令 x=0 与 x=1 得? , ?3=8+4b1+2b2+b3 ? 解得 b1=-1,b2=0. 答案:(-1,0,-1) 1 1+ (x>1), x 1 6.已知函数 f(x)= 2 (1)求 f(1- ),f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x x +1 (-1≤x≤1), 2-1 2x+3 (x<-1). 3 -1);(3)若 f(a)= , 求 a. 2 解:f(x)为分段函数,应分段求解. 1 (1)∵1- =1-( 2+1)=- 2<-1,∴f(- 2)=-2 2+3, 2-1 1 3 又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+ = . 2 2 2 1 3x (2)若 3x-1>1,即 x> ,f(3x-1)=1+ = ; 3 3x-1 3x-1 3 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ ,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 2 若 3x-1<-1,即 x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

? ? ? ? ?

? 2 ∴f(3x-1)=? 9x -6x+2 (0≤x≤ ), 3 ?6x+1 (x<0).
2

3x 3x-1

2 (x> ), 3

3 (3)∵f(a)= ,∴a>1 或-1≤a≤1. 2 1 3 当 a>1 时,有 1+ = ,∴a=2; a 2 3 2 当-1≤a≤1 时,a2+1= ,∴a=± . 2 2 2 ∴a=2 或± . 2 B组 1.(2010 年广东江门质检)函数 y= 1 +lg(2x-1)的定义域是________. 3x-2 2 2 解析:由 3x-2>0,2x-1>0,得 x> .答案:{x|x> } 3 3 3 则 f(f(f( )+5))=_. 2

-2x+1,(x<-1), ? ? 2.(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2), ? ?2x-1,(x>2),

3 3 解析:∵-1≤ ≤2,∴f( )+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f(2)=-3, 2 2 ∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:7 3. 定义在区间(-1, 1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则 f(x)的解析式为________. 解析:∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),①
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由 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去 f(-x),得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), 2 1 ∴f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1). 3 3 2 1 答案:f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1) 3 3 4. 设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1, 则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________ 个. 解析:由 f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,?本题中如 果 f(0)=0, 那么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点; 若 f(0)≠0, 则 y=f(x)和 y=x 有零个交点. 答 案:0 或无数 ?2 (x>0) ? 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)的解析式为 ? ?x +bx+c (x≤0) f(x)=________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个. 解析:由题意得
? ?16-4b+c=c ? ?4-2b+c=-2 ? ?2 ? ∴f(x)=? 2 ? ?x +4x+2 ? ?b=4 ?? , ?c=2 ?

(x>0) (x≤0)



由数形结合得 f(x)=x 的解的个数有 3 个.
?2 ? 答案:? 2 ?x +4x+2 ?

(x>0) (x≤0)

3

1 6. 设函数 f(x)=logax(a>0, a≠1), 函数 g(x)=-x2+bx+c, 若 f(2+ 2)-f( 2+1)= , g(x) 2 的图象过点 A(4, -5)及 B(-2, -5), 则 a=__________, 函数 f[g(x)]的定义域为__________. 答案:2 (-1,3) ?x2-4x+6,x≥0 ? 7.(2009 年高考天津卷改编)设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是 ? ?x+6,x<0 ________. 解析:由已知,函数先增后减再增,当 x≥0,f(x)>f(1)=3 时,令 f(x)=3, 解得 x=1,x=3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3. 当 x<0,x+6=3 时,x=-3,故 f(x)>f(1)=3,解得-3<x<0 或 x>3. 综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-3<x<1 或 x>3}.答案:{x|-3<x<1 或 x>3}
? x≤0, ?log2(4-x), 8.(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f(x-1)-f(x-2), x>0, ? 则 f(3)的值为________. 解析:∵f(3)=f(2)-f(1),又 f(2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3) =-2.答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分 钟内只进水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间 函数的函数关系是________.

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解析:设进水速度为 a1 升/分钟,出水速度
?5a1=20 ? 为 a2 升/分钟,则由题意得? , ? ?5a1+15(a1-a2)=35 ?a1=4 ? 得? ,则 y=35-3(x-20),得 y=-3x+95, ?a2=3 ?

又 因 为 水 放 完 为 止 , 所 以 时 间 为 x≤

95 , 又 知 x≥20 , 故 解 析 式 为 y = - 3x + 3

95 95 95(20≤x≤ ).答案:y=-3x+95(20≤x≤ ) 3 3 10.函数 f ( x) =

(1-

a 2 ) x2 + 3(1- a) x + 6 .

(1)若 f ( x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 解:(1)①若 1-a2=0,即 a=± 1, (ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题意; (ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数. 由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立, ?1-a2>0, ?-1<a<1, ? ? ∴? ∴? ?Δ≤0, ?(a-1)(11a+5)≤0, ? ? 5 5 ∴- ≤a<1.由①②可得- ≤a≤1. 11 11 (2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0 的解集为[-2,1],显然 1-a2≠0 且- 2,1 是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0 的两个根.

? -a) , ?-2+1=3(1 a -1 ∴? 6 -2= , 1-a ? ?Δ=[3(1-a)] -24(1-a )>0
2 2 2 2

1-a2<0,

? a=2, ? ∴?a=± 2. 5 ? 或a>1 ?a<-11

a<-1或a>1, ∴a=2.

11 . 已 知 f ( x+ 2) = f ( x )( x? R ),并且当

x ∈[ - 1 , 1] 时 , f ( x) = - x2 +1 , 求 当

x ? [2 k 1, 2k + 1 ]( k ? Z ) 时、 f ( x) 的解析式.
解:由 f(x+2)=f(x),可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数.当 x∈[2k-1,2k+1]时, 2k-1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又 f(x)=f(x-2)=f(x-4)=?=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了 包括美国在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的 总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置, 设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数)
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(1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 2000 1000 解:(1)g(x)= (0<x<216,x∈N*),h(x)= (0<x<216,x∈N*). 3x 216-x

? 3x (2)f(x)=? 1000 ?216-x

2000

(0<x≤86,x∈N*). (3)分别为 86、130 或 87、129. (87≤x<216,x∈N ).
*

第二节

函数的单调性
A组

1. (2009 年高考福建卷改编)下列函数 f(x)中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1 < x2 时, 都有 f (x1 )> f (x2 ) ”的是________. 1 ①f(x)= x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)

解析: ∵ 对任意的 x1 , x2∈(0 ,+ ∞) ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:① 2. 函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示, 则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1) 的单调减区间是________. 1 解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0, ]时,g(x) 2 为减函数. 1 由 0≤logax≤ ? a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1)) 2 3.函数 y =

x - 4 + 15 - 4x 的值域是________.

π π 解析:令 x=4+sin2α,α∈[0, ],y=sinα+ 3cosα=2sin(α+ ),∴1≤y≤2. 2 3 答案:[1,2] a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__. e a a 解析:当 a<0,且 ex+ x≥0 时,只需满足 e0+ 0≥0 即可,则-1≤a<0;当 a=0 时, e e a a f(x)=|ex|=ex 符合题意;当 a>0 时,f(x)=ex+ x,则满足 f′(x)=ex- x≥0 在 x∈[0,1]上恒 e e 成立.只需满足 a≤(e2x)min 成立即可,故 a≤1,综上-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1 5.(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下 界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.
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1 (x>0) ? ? ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=e ;④f(x)=?0 (x=0) ? ?-1 (x<-1)
x

解析: ∵sinx≥-1, ∴f(x)=sinx 的下确界为-1, 即 f(x)=sinx 是有下确界的函数; ∵f(x) x =lgx 的值域为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx 没有下确界;∴f(x)=e 的值域为(0,+∞),∴f(x) =ex 的下确界为 0,即 f(x)=ex 是有下确界的函数; 1 (x>0) 1 (x>0) ? ? ? ? ∵f(x)=?0 (x=0) 的下确界为-1. ∴f(x)=?0 (x=0) 是有下确界的函数. 答案: ? ? ?-1 (x<-1) ?-1 (x<-1) ①③④ 6.已知函数 f (x) = x , g ( x) = x - 1 .
2

(1)若存在 x∈R 使 f (x) < b ?g (x) ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F (x) = f (x)- mg (x)+ 1- m - m2 2,且 F ( x ) 在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解: (1) x∈R, f(x)<b· g(x)?x∈R, x2-bx+b<0?Δ=(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. (2)F(x) =x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5

? 2 ≤0 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5
x1≤0.

m

2 5 ?- ≤m≤0. 5

2 5 2 5 m ②当 Δ>0 即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 5 5 2

m ? ? 2 ≥1 ? ?m≥2. 2 ? ?F(0)=1-m ≤0 m 若 ≤0,则 x2≤0, 2 m ? ? 2 ≤0 2 5 ? ?-1≤m<- .综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2. 5 ?F(0)=1-m2≥0 ?

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B组 1.(2010 年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2 .若函数 f(x) = log2(x2 - ax + 3a) 在区间 [2 ,+∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0. a ? ?2≤2, ∴? ∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4 ?4-2a+3a>0, ? a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 a 3 9 解析:∵f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤ ,0<a≤ . x 4 16 9 答案:(0, ] 16 4.(2009 年高考陕西卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), f(x2)-f(x1) 有 <0,则下列结论正确的是________. x2-x1 ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) 解析:由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(2)= x2-x1 f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案:①
x ? (x<0), ?a 5.(2010 年陕西西安模拟)已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 ?(a-3)x+4a (x≥0) ?

f(x1)-f(x2) <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2 0<a<1, ? ? 解析:由题意知,f(x)为减函数,所以?a-3<0, ? ?a0≥(a-3)×0+4a, 6.(2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x)的图象是如下图所示的折线 段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大值为________.
? (0≤x<1), ?2x(x-1) 解析:g(x)=? ?(-x+3)(x-1) (1≤x≤3), ?

1 解得 0<a≤ . 4

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1 7.(2010 年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数
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y=f(cos x)的值域是________. 解析:∵cos x∈[-1,1],函数 y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos x)的值域为[-2, 0].答案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
? ?1≤x≤9, ? ∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1], 2 ?1≤x ≤9, ?

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间 2 为__________. 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0, )时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1. 2 1 1 1 1 μ=2(x+ )2- ,则减区间为(-∞,- ).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<- .∴f(x) 4 8 4 2 1 1 的单调递增区间为(-∞,- ).答案:(-∞,- ) 2 2 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 1 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u=g(x)=log x,y=f(u)=2u2-2u+1,那 2 1 么原函数 y=f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u=log x 在 x∈(0,+∞)内是减 2 1 1 1 1 函数,y=2u2-2u+1=2(u- )2+ 在 u∈(-∞, )上是减函数,在 u∈( ,+∞)上是增函 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 数. 又 u≤ , 即 log x≤ , 得 x≥ ; u> , 得 0<x< . 由此, 从下表讨论复合函数 y=f[g(x)] 2 2 2 2 2 2 的单调性: 单调性 函数 1 u=log x 2 f(u)=2u2-2u+1 1 1 y=2(log x)2-2log x+1 2 2 ? ? ? ? (0, 2 ) 2 ( 2 ,+∞) 2

1 1 2 2 故函数 y=2(log x)2-2log x+1 在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. 2 2 2 2 x1 11.(2010 年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2), x2 且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.
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x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), x2 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. x2 3 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三 x 个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在, 求出 a、b;若不存在,说明理由. 1+a+b 解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1, +∞)上是增函数, ∴x=1 时,f(x)最小,log3 1 =1.即 a+b=2. x12+ax1+b x22+ax2+b 设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)>f(x2).即 > 恒成立. x1 x2 (x1-x2)(x1x2-b) 由此得 >0 恒成立. x1x2 又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立,∴b≥1. (x3-x4)(x3x4-b) 设 1≤x3<x4,则 f(x3)<f(x4)恒成立.∴ <0 恒成立. x3x4 ∵x3-x4<0, x3x4>0, ∴x3x4>b 恒成立. ∴b≤1. 由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1, ∴a=1. ∴ 存在 a、b,使 f(x)同时满足三个条件.

第三节 函数的性质
A组 1 .设偶函数 f(x) = loga|x - b|在 ( -∞,0) 上单调递增,则 f(a+ 1)与 f(b+ 2)的大小关系为 ________. 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,∴f(x)=loga|x|,又 f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以 0<a<1,1<a+1<2,则 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b+2).答案:f(a+1)>f(b +2) 2.(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数, 则 f(1)+f(4)+f(7)等于________. 解析:f(x)为奇函数,且 x∈R,所以 f(0)=0,由周期为 2 可知,f(4)=0,f(7)=f(1),又 由 f(x+2)=f(x),令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1)+f(4)+f(7)=0.答案: 0 3. (2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0, 2]上是增函数,则 f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________. 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期 函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0, 得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=- f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即 f(- 25)<f(80)<f(11).
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答案:f(-25)<f(80)<f(11) 1 4. (2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 则满足 f(2x-1)<f( ) 3 的 x 取值范围是________. 1 解析:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|),由 f(|2x-1|)<f( ),再根据 f(x)的单调性得|2x 3 1 1 2 1 2 -1|< ,解得 <x< .答案:( , ) 3 3 3 3 3 5.(原创题)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,f(2+x)=f(2-x),当 f(-3)=- 2 时,f(2011)的值为________. 解析: 因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), 故函数 f(x) 是以 4 为周期的函数,所以 f(2011)=f(3+502×4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:-2 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函 数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小 值-5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上 的解析式. 解:(1)证明:∵f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0),由 f(1)+f(4)=0,得 a(1-2)2- 5+a(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可 设 f(x)=kx(0≤x≤1),而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x, 从而当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1 时,f(x)=-3x.∴当 4≤x≤6 时, 有-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴f(x) =f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
?-3x+15, 4≤x≤6 ? ∴f(x)=? . 2 ?2(x-7) -5, 6<x≤9 ?

B组 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 下列结论正确的是________. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1), ∴函数 f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函 数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即 f(x+3)是奇函数.答案:④ 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1) 2 +f(2)+?+f(2009)+f(2010)=________. 3 解析:f(x)=-f(x+ )?f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所 2 以 f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=2,所以 f(1)+f(2)+?+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009) +f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案:0 3.(2010 年浙江台州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向 右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单 位后,得到一个偶函数的图象,则满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+2)=-f(x),所以周期为 4, f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1) +f(2)+f(3)+?+f(2010)=f(4)×502+f(2)=0.答案:0 4.(2010 年湖南郴州质检)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若
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f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有 f′(x)>0,则在(0,+∞)上 f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函 数,又 f(x)在 R 上是偶函数,且 f(-1)=0,∴f(1)=0.从而可知 x∈(-∞,-1)时,f(x)>0; x∈(-1,0)时,f(x)<0;x∈(0,1)时,f(x)<0;x∈(1,+∞)时,f(x)>0.∴不等式的解集为(- ∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x +2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x),∴f(x)周期 为 2.∴f(-2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21=0+1=1.答案:1 6.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2) 1 =- ,若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. f(x) 1 解析:由 f(x+2)=- ,可得 f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)= f(x) 5 5 f(-2.5)∵f(x)是偶函数,∴f(2009.5)=f(2.5)= .答案: 2 2 7.(2010 年安徽黄山质检)定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,a]上是增函数,函数 y=f(x+a) 是偶函数,当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小关系为________. 解析:∵y=f(x+a)为偶函数,∴y=f(x+a)的图象关于 y 轴对称,∴y=f(x)的图象关于 x=a 对称.又∵f(x)在(-∞,a]上是增函数,∴f(x)在[a,+∞)上是减函数.当 x1<a,x2>a, 且|x1-a|<|x2-a|时, 有 a-x1<x2-a, 即 a<2a-x1<x2, ∴f(2a-x1)>f(x2). 答案: f(2a-x1)>f(x2) 8. 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x(x+1). 若 f(a)=-2, 则实数 a=________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0,f(-a) =2,∴-a(-a+1)=2,∴a=2(舍)或 a=-1.答案:-1 9.(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1 +x2+x3+x4=________. 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x),因此,函 数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为 周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函 数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12+ 4=-8. 答案:-8

10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)= xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0). ? ?-xlg(2-x) (x<0), ∴f(x)=? 即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). ?-xlg(2+x) (x≥0). ? 11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如 1 + 果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0), 得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. + (2)法一:设 x,y∈R ,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y). + ∵x∈R ,f(x)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是
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减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值, 1 f(6)为最小值. ∵f(1)=- , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴ 2 所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 法二: 设 x1<x2, 且 x1, x2∈R. 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2 -x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.∴f(-2)为最大值,f(6)为 1 最小值.∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所 2 求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 2 2 的个数. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 1 1 设-1≤x≤0, 则 0≤-x≤1, ∴f(-x)= (-x)=- x. ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 2 2 1 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x.故 f(x)= x(-1≤x≤1) 2 2 2 1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)= (x-2), 2 1 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x),∴-f(x)= (x-2),∴f(x) 2 1 x (-1≤x≤1) 2 1 =- (x-2)(1<x<3).∴f(x)= 2 1 - (x-2) (1<x<3) 2 1 1 由 f(x)=- ,解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数.故 f(x)=- 的所有 x=4n 2 2 1 3 -1(n∈Z).令 0≤4n-1≤2010,则 ≤n≤502 ,又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0, 4 4 1 2010]上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 2

? ? ?

第三章

指数函数和对数函数
第一节 指数函数

A组 - - 1. (2010 年黑龙江哈尔滨模拟)若 a>1, b<0, 且 ab+a b=2 2, 则 ab-a b 的值等于________. -b -b 2 b b 2b 解析:∵a>1,b<0,∴0<a <1,a >1.又∵(a +a ) =a +a -2b - - - +2=8,∴a2b+a 2b=6,∴(ab-a b)2=a2b+a 2b-2=4,∴ab - -a b=-2.答案:-2 2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2)=a2-3 =0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3-3. 答案:3 3-3
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1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 -2 1 1 ∴( )2x x ≥ .答案:[ ,+∞) 2 2 2 4.(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数的图 象可知 a>1 时两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一交点,故 a>1. 答案: (1,+∞)

5. (原创题)若函数 f(x)=ax-1(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[0, 2], 则实数 a 等于________. ?0<a<1 ?a>1
2 解析:由题意知?a -1=0

?

? ?a0-1=2

0 无解或?a -1=0

?

? ?a2-1=2

?a= 3.答案: 3

-2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a 1 - +1 2 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 2 +a 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)法一:由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 ?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 1 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 -2x+1 -2t -2t+1 -22t k+1 法二:由(1)知 f(x)= x+1 ,又由题设条件得 t2 2t+1 + 2- + <0 2 +2 2 - +2 22t k 1+2 即(22t
2-k+1 2 2-

整理得 2

3t2-2t-k

+2)(-2t

2-2t

+1)+(2t

2-2t+1

+2)(-22t
2

2-k

+1)<0

>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0

1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限, 那么一定有________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案:②
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2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x)在[a,+∞)上为减函数,又 f(x),g(x) ?a≤1 ? 都在[1,2]上为减函数,所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] ?a+1>1 ? 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1); f(1) f(-1) 5 ②g(x)≠0;若 + = ,则 a 等于________. g(1) g(-1) 2 f(x) f(1) f(-1) 5 5 1 - 解析:由 f(x)=ax· g(x)得 =ax,所以 + = ?a+a 1= ,解得 a=2 或 .答 g(x) g(1) g(-1) 2 2 2 1 案:2 或 2 - 4.(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9, - 1 则 f 1( )+f(1)的值是________. 3 1 解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x= ,∴x=-1, 3 1 1 - - 故 f 1( )=-1.又 f(1)=3,所以 f 1( )+f(1)=2.答案:2 3 3 1x 5.(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)=( ) ,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函 3 数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′(2-x,y)在 f(x) 1x 1 - - - =( ) 上,∴y=( )2 x=3x 2.答案:y=3x 2(x∈R) 3 3 - ex+e x 6.(2009 年高考山东卷改编)函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

e x+ex ex+e x 解析:∵f(-x)= -x x=- x -x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④. e -e e -e -x x 2x 2x e +e e +1 e -1+2 2 又∵y= x -x= 2x = 2x =1+ 2x 在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数, e -e e -1 e -1 e -1 排除②、③.答案:① 1 7.(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x 2 +1),则 f(2+log23)=________. 解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23) 1 1 1 1 - =f(3+log23)=f(log224)=( )log224=2 log224=2log2 = .答案: 2 24 24 24 8.(2009 年高考湖南卷改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K, ? ?f(x),f(x)≤K, 1 - 定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间 2 ?K, f(x)>K. ?
- -

为________.

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-|x|

2 ,x≥1或x≤-1, ? ? 1 -|x| 解析:由 f(x)=2 ≤ 得 x≥1 或 x≤-1,∴fK(x)=?1 2 ? ?2,-1<x<1. 则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是 ________.

解析:函数 y=2|x|的图象如图. 当 a=-4 时,0≤b≤4, 当 b=4 时,-4≤a≤0,答案:② 10.(2010 年宁夏银川模拟)已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最 大值为 14,求实数 a 的值. 解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1], 1 1 (1)当 0<a<1 时,a≤ax≤ ,∴当 ax= 时,f(x)取得最大值. a a 1 1 1 2 ∴( +1) -2=14,∴ =3,∴a= . a a 3 1 (2)当 a>1 时, ≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值. a 1 ∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3 -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1 x (2)若 f(x)≥-2 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x,y),则 y=- x-a , 2 +1 P(x,y)关于点 M(a,-1)的对称点为 P′(2a-x,-2-y). - -2· 2x a -2 -2 2 ∴-2-y=-2+ x-a = x-a = , - - = - - 2 +1 2 +1 1+2 (x a) 2(2a x) a+1 -2 说明点 P′(2a-x,-2-y)也在函数 y= x-a 的图象上,由点 P 的任意性知,f(x)的 2 +1 图象关于点 M(a,-1)对称. -2 2 - (2)由 f(x)≥-2x 得 x-a ≥-2x,则 x-a ≤2x,化为 2x a· 2x+2x-2≥0,则有(2x)2+ 2 +1 2 +1 2a· 2x-2· 2a≥0 在 x≥a 上恒成立. 令 g(t)=t2+2a· t-2· 2a, 则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立. ∵g(t) a 的对称轴在 t=0 的左侧,∴g(t)在 t≥2 上为增函数. ∴g(2a)≥0. ∴(2a)2+(2a)2-2· 2a≥0, ∴2a(2a-1)≥0, 则 a≥0. 即实数 a 的取值范围为 a≥0. - |x-p1| 12.(2008 年高考江苏)若 f1(x)=3 ,f2(x)=2· 3|x p2|,x∈R,p1、p2 为常数,且 ? ?f1(x),f1(x)≤f2(x), f(x)=? (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、 p2 表示); ? ?f2(x),f1(x)>f2(x). (2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证:函数 f(x)在区间 b-a [a,b]上的单调增区间的长度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n-m). 2 - - - - - 解:(1)f(x)=f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x p1|≤2· 3|x p2|?3|x p1| |x p2|≤2
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?|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若 p1=p2,则(*)?0≤log32,显然成立;若 p1≠p2,记 g(x) p1-p2,x<p2, ? ? =|x-p1|-|x-p2|,当 p1>p2 时,g(x)=?-2x+p1+p2,p2≤x≤p1, ? ?p2-p1,x>p1. 所以 g(x)max=p1-p2,故只需 p1-p2≤log32. p1-p2,x<p1; ? ? 当 p1<p2 时, g(x) = ?2x-p1-p2,p1≤x≤p2; ? ?p2-p1,x>p2. 所以 g(x)max = p2 - p1 ,故只需 p2 -

p1≤log32. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件是|p1-p2|≤log32. (2)证明:分两种情形讨论. ①当|p1-p2|≤log32 时, 由(1)知 f(x)=f1(x)(对所有实数 x∈[a, b]), 则由 f(a)=f(b)及 a<p1<b p1-x ?3 ,x<p1, ? a+b 易知 p1= .再由 f1(x)=? x-p1 的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区 2 ? ,x≥p1, ?3 a+b b-a 间的长度为 b- = . 2 2 ②当|p1-p2|>log32 时,不妨设 p1<p2,则 p2-p1>log32.于是,当 x≤p1 时,有 f1(x)=3p1 -x p2-x <3 <f2(x),从而 f(x)=f1(x). - - - - 当 x≥p2 时,f1(x)=3x p1=3p2 p1· 3x p2>3log32· 3x p2=f2(x),从而 f(x)=f2(x). - - - - 当 p1<x<p2 时,f1(x)=3x p1 及 f2(x)=2· 3p2 x,由方程 3x0 p1=2· 3p2 x0,解得 f1(x)与 f2(x) p1+p2 1 图象交点的横坐标为 x0= + log32.① 2 2 1 显然 p1<x0=p2- [(p2-p1)-log32]<p2,这表明 x0 在 p1 与 p2 之间. 2 ?f1(x),p1≤x≤x0, ? 由①易知 f(x)=? ? ?f2(x),x0<x≤p2.
? ?f1(x),a≤x≤x0, 综上可知,在区间[a,b]上,f(x)=? ?f2(x),x0<x≤b. ? 故由函数 f1(x)与 f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0 - - -p1)+(b-p2),由于 f(a)=f(b),即 3p1 a=2· 3b p2,得

p1+p2=a+b+log32.② b-a 1 故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b- (p1+p2-log32)= . 2 2 b-a 综合①、②可知,f(x)在区间[a,b]上单调增区间的长度之和为 . 2

第二节

对数函数

A组 1.(2009 年高考广东卷改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经 过点( a,a),则 f(x)=________. 1 1 解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa2= ,∴f(x)=log1x.答案:log1x 2 2 2 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是 ________.
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1 1 1 1 解析: a=log3π>1, b=log2 3= log23∈( , 1), c=log3 2= log32∈(0, ), 故有 a>b>c. 答 2 2 2 2 案:a>b>c

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
解析:0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3.答案:3 4. 如图所示, 若函数 f(x)=ax
-1

1 的图象经过点(4, 2), 则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax 1,∴2=a4 1,即 a=23>1.
- -

1

1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④正确.答案:④ x+1 1 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 1 1 1 解析:设 F(x)=f(x)-2,即 F(x)=alog2x+blog3x,则 F( )=alog2 +blog3 =-(alog2x x x x 1 1 +blog3x)=-F(x),∴F(2010)=-F( )=-[f( )-2]=-2, 2010 2010 即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相 应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a=1,∴a=2.又 ∵log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x2-x+2. 1 7 ∴f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x- )2+ . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4 2 ? ? ?(log2x) -log2x+2>2, ?log2x<0或log2x>1, (2)由题意知? ∴? 2 2 ?log2(x -x+2)<2. ?0<x -x+2<4. ? ? 又
?0<x<1或x>2, ? ∴? ∴0<x<1. ? ?-1<x<2.

B组 x+3 1. (2009 年高考北京卷改编)为了得到函数 y=lg 的图象, 只需把函数 y=lgx 的图象上所 10 有的点________. x+3 解析:∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得 10 到 y=lg(x+3)的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+ 3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.(2010 年安徽黄山质检)对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1
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f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) +x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2);③ >0;④f( )< .上述结 2 2 x1-x2 论中正确结论的序号是________. 解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以②对;因为 f(x)是定义域 x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) lgx1+lgx2 x1+x2 内的增函数,所以③正确;f( )=lg , = =lg x1x2,∵ 2 2 2 2 2 x1+x2 ≥ x1x2,且 x1≠x2,∴lg >lg x1x2,所以④错误. 2 答案:②③ 3.(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b,定义运算“*”如下: ? ?a(a≤b) a*b=? ,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) ? 2 1 解析:在同一直角坐标系中画出 y=log (3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象, 2 由图象可得 log x (0<x≤1) ? ? 2 f(x)=? 1 ? ?log2(3x-2) (x>1)

,值域为(-∞,0].

答案:(-∞,0] 4.已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 的值为________. 解析:由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,得 f(x)=lnx,因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象 1 关于 x 轴对称,故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a= . e 1 答案: e 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| 2 1 1 解析:由 log2 x|x|有意义可得 x>0,所以,f( )=f( ),log2 x|x|=log2x,即有 f( )= x x x+|x| 1 log2x,故 f(x)=log2 =-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) x 6.(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2= ________. 解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1)=5,②所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5- 2x1),即 2x1=2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t- T 7 1),∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2,于是 2x1=7-2x2.∴x1+x2= .答案: 2 2 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方程 f(x)= log2x 根的个数是________. 解析:当 n=0 时,x∈[0,1),f(x)=-2; 当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1; 当 n=2 时,x∈[2,3),f(x)=0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1; 当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2; 当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 8.(2010 年福建厦门模拟)已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可 能是________.

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1 1 - 解析:由题知,a= ,则 f(x)=( )x=b x,g(x)=-logbx,当 0<b<1 时,f(x)单调递增, b b g(x)单调递增,②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减. 答案:② 9. 已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),则 x12+x22 的值为________. 解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所以 x1=y2, y1=x2,∴x12+x22=x12+y12=9.答案:9 kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1 1 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综 k k 1 上可得当 0<k<1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k 1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞). k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> . 10 10-1 kx-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ),故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), x-1 x-1 k-1 k-1 k-1 k-1 1 1 1 1 即 lg(k+ )<lg(k+ ),∴ < ,∴(k-1)· ( - )<0,又∵ > , x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 1 ∴k-1<0,∴k<1.综上可知 k∈( ,1). 10 1+x 11.(2010 年天津和平质检)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 1+x 解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1- x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数. 1+x 1+x 1+x (3)若 a>1, f(x)>0, 则 >1, 解得 0<x<1; 若 0<a<1, f(x)>0, 则 0< <1, 解得-1<x<0. 1-x 1-x a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. a - 解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= 2 (at-a t), a -1 a a - - ∴f(x)= 2 (ax-a x).∵f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 a -1 ∴f(x)是 R 上的奇函数.
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a - 当 a>1 时, 2 >0,ax 是增函数,-a x 是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数; a -1 a - 当 0<a<1, 2 <0,ax 是减函数,-a x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数. a -1 综上所述,a>0 且 a≠1 时,f(x)是 R 上的增函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), 1-m<m -1, ? ? ∴?-1<1-m<1, ? ?-1<m2-1<1.
2

解得 m∈(1, 2).

(2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0, a - 即 2 (a2-a 2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3, a -1 ∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1.

第三节

幂函数与二次函数的性质

A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________. 解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x-3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x-3<1? 3<x<4.答案:{x|3<x<4} 2.(2010 年广东广州质检)下列图象中,表示 y=x 的是________.
2 3

解析:y=x = x 是偶函数,∴排除②、③,当 x>1 时,

2 3

3

2

x x
2 3

=x >1,∴x>x ,∴排

1 3

2 3

除①.答案:④ 3.(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________.
1 1 1 1

①2x>x 2 >lgx

②2x>lgx>x 2
x
1 2

③x 2 >2x>lgx

④lgx>x 2 >2x

解析:∵x∈(0,1),∴2>2 >1,0<x <1,lgx<0.答案:① 4.(2010 年东北三省模拟)函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点, 则 a=__________. 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下方的图象翻转 到 x 轴的上方,如图,y=a 过抛物线顶点时恰有三个交点,故得 a 的值为 4.答案:4
1

5.(原创题)方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________.

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解析: 在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 2 和 y2=logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交点.答案:1 6.(2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x -a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取 值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a2 ? ?3(x-3)2+ 3 ,x>a, ① =? ② (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a ,由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f( )= a2.若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2; 3 3 3 2 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2. 3 3
2

? ?(x+a)2-2a2,x≤a,

-2a , a≥0, ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a ? ? 3 , a<0. 6 2 ]∪[ ,+∞)时,解集为(a,+∞); 2 2 a+ 3-2a2 2 2 (ⅱ)当 a∈[- , )时,解集为[ ,+∞); 2 2 3 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 2 (ⅲ)当 a∈(- ,- )时,解集为(a, ]∪[ ,+∞). 2 2 3 3 B组 1 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值 8 是__________. 1 1 - 解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,- ),则- =(-2)α,∴α=-3,∵x 3= 8 8 1 1 27,∴x= .答案: 3 3 2.(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: 1 x 1 2 2 f(x) 1 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 1 1 2 1 1 解析:由表知 =( )α,∴α= ,∴f(x)=x2.∴(|x|)2≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 2 2 2 答案:{x|-4≤x≤4} 1 ? ?x (x>0), 3.(2010 年广东江门质检)设 k∈R,函数 f(x)=? F(x)=f(x)+kx,x∈R.当 k=1 (3)(ⅰ)当 a∈(-∞,-

2

? ?ex(x≤0),

时,F(x)的值域为__________.
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1 解析:当 x>0 时,F(x)= +x≥2;当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与幂函数的 x 单调性,F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 k=1 时,F(x)的值域为(-∞,1]∪[2, +∞).答案:(-∞,1]∪[2,+∞) ? (x>0), ?-2 4. 设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0), f(-2)=0, 则关于 x 的不等式 f(x)≤1 ?x +bx+c (x≤0), ? 的解集为__________. ? ? ?x≤0, ?x>0, 解析: 由 f(-4)=f(0), 得 b=4. 又 f(-2)=0, 可得 c=4, ∴? 2 或? ?x +4x+4≤1 ?-2≤1, ? ? 可得-3≤x≤-1 或 x>0.答案:{x|-3≤x≤-1 或 x>0} 2 ? ?x +4x, x≥0, 5.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 2 ?4x-x , x<0. ? 的取值范围是__________. 2 ? ?x +4x,x≥0, 解析:函数 f(x)=? 的图象如图. 2 ?4x-x ,x<0, ? 知 f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a. 解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 6.(2009 年高考江西卷改编)设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t)) (s,t∈D)构成一个正方形区域,则 a 的值为__________. b 解析:由题意定义域 D 为不等式 ax2+bx+c≥0 的解集.∵ax2+bx+c=a(x+ )2+ 2a 4ac-b2 4ac-b2 ,∵a<0,∴0≤y≤ ,∴所有点(s,f(t)),(s,t∈D)构成一个正方形区域, 4a 4a 4ac-b2 意味着方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1,x2 应满足|x1-x2|= ,由根与系数的关系知 4a 4ac-b2 b2 4c b2-4ac = 2- = ,∴4a=-a2.∵a<0,∴a=-4.答案:-4 4a a a a2 ? ?-2+x,x>0, 7.(2010 年辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)=? 2 若 f(0)=-2f(-1)=1,则函 ?-x +bx+c,x≤0. ? 数 g(x)=f(x)+x 的零点的个数为__________. 1 1 1 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又 f(-1)=- ,∴-1-b+1=- ,∴b= .当 x>0 时, 2 2 2 1 3 2 2 g(x)=-2+2x=0,∴x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x + x+1+x=0,∴x - x-1=0,∴x 2 2 1 =2(舍)或 x=- ,所以有两个零点.答案:2 2 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实 根.其中正确的命题是__________. 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函数;b=0, c>0 时,f(x)=x|x|+c=0,∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c, 有一个实数根.答案:①②③ 9.(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a, b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b] 称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的 一个密切区间可能是________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]
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解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝对值不等式得 2≤x≤3,故在区间[2,3] 上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③ 10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. c +1 c+1 解:(1)证明:f(1)=0?1+2b+c=0?b=- .又 c<b<1,故 c<- <1?-3<c< 2 2 1 - .方程 f(x)+1=0 有实根,即 x2+2bx+c+1=0 有实根,故 Δ=4b2-4(c+1)≥0,即(c 3 +1)2-4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤-1.又 c<b<1,得-3<c≤-1, c+1 由 b=- 知 b≥0. 2 2 (2)f(x)=x +2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0, ∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3<c,∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. a 11.(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证:(1)a>0 2 b 3 且-3< <- ;(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、x2 是函数 f(x)的两个零 a 4 57 点,则 2≤|x1-x2|< . 4 a 证明:(1)∵f(1)=a+b+c=- ,∴3a+2b+2c=0. 2 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0.又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b, b 3 ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少 2 有一个零点.综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,∴x1+x2 b c 3 b b 3 b = - , x1x2 = = - - , ∴|x1 - x2| = (x1+x2)2-4x1x2 = (- )2-4(- - ) = a a 2 a a 2 a b b 3 57 ( +2)2+2.∵-3< <- ,∴ 2≤|x1-x2|< . a a 4 4 12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2, 方程 f(x)=x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式;(2)若 a、b 均为负整数, 且|α-β|=1,求 f(x)的解析式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 解:(1)由 f(x)=x 得 ax2+3x+b=0(a<0,a、b∈R)有两个不等实根为 α、β, 3 b ∴Δ=9-4ab>0,α+β=- ,α· β= .由|α-β|=1 得(α-β)2=1, a a 9 4 b 即(α+β)2-4αβ= 2- =1,∴9-4ab=a2,即 a2+4ab=9(a<0,a、b∈R). a a (2)由(1)得 a(a+4b)=9,∵a、b 均为负整数, ?a=-1 ?a=-9 ?a=-3, ? ? ? ∴? 或? 或? 显然后两种情况不合题意, 应舍去, ?a+4b=-9 ?a+4b=-1 ?a+4b=-3, ? ? ?

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? ? ?a=-1, ?a=-1, 从而有? ∴? ?a+4b=-9, ?b=-2. ? ? 故所求函数解析式为 f(x)=-x2+4x-2. 4 b 3 b (3)证明:由已知得 x1+x2=- ,x1· x2= ,又由 α<1<β<2 得 α+β=- <3,α· β= <2, a a a a 1 b 4 ∴- <1,∴(x1+1)(x2+1)=x1· x2+(x1+x2)+1= - +1<2+4+1=7, a a a 即(x1+1)(x2+1)<7.

函数的图像特征 A组 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙: 函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. 解析: 可举实例说明如 f(x)=2x, 依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断. 答案: 甲 x x 2.(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y= · a (a>1)的图象的基本形状是_____. |x|

第四节

解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析式: y= ?ax(x>0) ? ? ,由指数函数图象易知①正确. ?-ax(x<0) ? 答案:① 1 3. 已知函数 f(x)=( )x-log3x, 若 x0 是方程 f(x)=0 的解, 且 0<x1<x0, 5 则 f(x1)的值为__________(正负情况). 1 解析:分别作 y=( )x 与 y=log3x 的图象,如图可知,当 0<x1<x0 5 1 x1 时,( ) >log3x1, 5 ∴f(x1)>0.答案:正值 4.(2009 年高考安徽卷改编)设 a<b, 函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____. 解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上 向左下穿, 奇次穿偶次不穿可知, 只有③正确. 答 案:③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y =2x 的图象如图所示,则当 x≤0 时,不等式 2x· x2≥1 的解集是__________.
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解析:在 2x· x2≥1 中,令 x=-t,由 x≤0 得 t≥0, -t 2 ∴2 · (-t) ≥1,即 t2≥2t,由所给图象得 2≤t≤4, ∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2 6.已知函数 f(x)= ?

?3-x 2, x ∈[- 1,2] , . ?x-3, x ∈(2,5]

(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示. ,

(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组 1-x 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

2 解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而排除②③选项.又由于 u(x)=-1+ 1+x 在定义域{x|-1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞)内是增函数,从而 f(x)= 1-x 2 ln =ln(-1+ )在定义域{x|-1<x<1}是减函数. 1+x 1+x 答案:① 2. 家电下乡政策是应对金融危机、 积极扩大内需的重要 举措.我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四 种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内 完成预期的运输任务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示. 在这四种方案中, 运输效率(单 位时间的运输量)逐步提高的是 解析:运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的导 数,几何意义为图象的切线,切线斜率的增长表明运输 效率的提高,从图形看,②正确. 答案:② 3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐 标是__________. 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 三点共 2a 4a 线,所以 = ,故 4a=2×2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所 a 2a 以点 A 的坐标是(1,2).答案:(1,2)
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4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x) =log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)· g(x)为奇函数,图象关于原点对称,当 x→ +∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞,所以 f(x)· g(x)→-∞答案:② 5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运输机的余油 量为 Q1(吨),加油机加油箱内余油 Q2(吨),加油时间为 t 分钟, Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图.若运输机加完油后 以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地, 问运输机的油料是否够 用?________. 解析:加油时间 10 分钟,Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加 到 69,因而 10 分钟时间内运输机用油 1 吨.以后的 11 小时需用 油 66 吨.因 69>66,故运输机的油料够用.答案:够用 6.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则 y=f(x)与 y= log7x 的交点的个数为__________.

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6
m

7.函数 y=x n (m,n∈Z,m≠0,|m|,|n|互质)图象如图所示,则下列结 论正确的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 解析:由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0,+∞)上单调递减,此时只需 m |m| m 保证 <0, 即 mn<0, 有 y=x n =x- |n| ; 同时函数只在第一象限有图象, 则函数的定义域为(0, n +∞),此时|n|定为偶数,n 即为偶数,由于两个数互质,则 m 定为奇数.答案:② 8.(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0) 上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1 ? ?2x+1,x≥0 ③y=? 3 ?x +1,x<0 ?
?ex,x≥0 ? ④y=? -x ? ?e ,x<0 解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0) 上为增函数.答案:③ 9.(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对 - 30 -

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称,且图象 C′关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称, 1-a ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得,y+1+a= . x-a ∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| 1 解:(1)定义域{x|x∈R 且 x≠± 1},且函数是偶函数.又当 x≥0 且 x≠1 时,y= .先 x-1 1 1 作函数 y= 的图象, 并将图象向右平移 1 个单位, 得到函数 y= (x≥0 且 x≠1)的图象(如 x x-1 图(a)所示).

1 又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y= 的图象(如图(b)所示). |x|-1

?(x-2) -4 (x≥2), (2)函数式可化为 y=? 1 9 ?-(x-2) +4 (x<2).
2 2

1

9

其图象如图①所示.

1+x ? ?1-x (3)函数式化为 y=? 1 ? ?-1

(x<0), (0≤x<1), (x>1). 其图象如图②所示.

(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位长度,保留 x 轴上方的部分, 将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

(5)先作出 y=2x 的图象,再将其图象在 y 轴左边的部分去掉,并作出 y 轴右边的图象关 于 y 轴对称的图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平移 1 个单位长度,即得 y - =2|x 1|的图象,如图④所示. a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对 2 2 a+ a 称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
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1 1 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐 2 2 a a ax 标为(1-x,-1-y).由已知,y=- x ,则-1-y=-1+ x =- x . ,f(1-x) a+ a a+ a a+ a a a a· ax ax =- 1-x =- =- =- x . x a a + a a+ a· a a+ a x+ a a 1 1 ∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的 a 2 2 x ax-1 图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于 直线 y=x 对称. 3 x- 2 2x-3 1 3 1 解:(1)a= ,b=- ,f(x)= = =2+ , 2 2 1 x-2 x-2 x-1 2 ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位,再沿 y 轴上移 2 个单位得到,f(x)的 图象的对称中心为点(2,2). x0+b (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0= ,P(x0,y0)关于 y=x 的对称点 ax0-1 x0+b y0+b 为 P′(y0,x0).由 y0= 得 x0= .∴P′(y0,x0)也在 f(x)的图象上.故 f(x)的图象 ax0-1 ay0-1 关于直线 y=x 对称.

第四章

函数应用
A组

? ?x(x+4),x<0, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ?x(x-4),x≥0. ? 解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案:3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.

x ex x+2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39 -4>0,故函数在区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在 定理知:在区间[0,a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0,又函数 f(x)是偶函数,故其 在[-a,0]也惟一存在一个零点,所以方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数为 2.答案:2
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4.(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该 地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位:元/千 (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:千瓦时) 瓦时) 时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 分 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为 ________. 解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无数个零点;当 a>1 时,g(x)有 2 个零点;∴a 的最小值为 1.答案:1 6 . (2009 年 高 考 上 海 卷 ) 有 时 可 用 函 数 f(x) = a 0.1+15ln ,x≤6, a-x

? ? ?x-4.4 ? x-4 ,x>6, ?

描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示 对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127, 133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 0.4 解:(1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= .而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x (x-3)(x-4) -4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a a . (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85,整理得 =e0 05, a-6 a-6 e0.05 解得 a= 0.05 · 6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]. e -1 由此可知,该学科是乙学科. B组 1.(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数 据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18. 01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ________
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1 1 ②y=( )x ③y=log2x ④y= (x2-1) 2 2 解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0,f(3)=23+3 -7=4>0,所以函数的零点在区间(2,3)内.答案:③ 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 1 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· f( )<0,故 2 函数有且只有一个零点.答案:1 4.(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单 位:个)的部分数据如下: t 0 20 60 140 ①y=2x-2 n 1 2 8 128
t t

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟.

解析: 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220, 令 n=1000, 得 220=1000, 又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该 1 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将 2 会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 1 解析:由题知第一年产量为 a1= ×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n- 2 1 1 1)= n· (n+1)(2n+1)- n· (n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*), 令 3n2≤150, 得 1≤n≤5 2?1≤n≤7, 2 2 故生产期限最长为 7 年.答案:7 6.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另 每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 ________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

f(x) =

8+ 1 , x ∈(0,3] 9+( x-3)×2.15 , x ∈(3,8] 9+5 ×2.15 +( x-8)×2.85 , x ∈(8 , +∞ )

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案,他分别以 3 A、B、C、D 为圆心,以 b(0<b≤ )为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧 2 端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形, 则这些图形中实线 部分总长度的最小值为________. 解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b)+2πb=(2π-8)b +12,l 关于 b 的一次函数的一次项系数 2π-8<0,故 l 关于 b 的函数 单调递减,因此,当 b 取最大值时,l 取得最小值,结合图形知,b 的

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3 3 最大值为 ,代入上式得 l 最小=(2π-8)× +12=3π.答案:3π 2 2 8. 在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg, 火箭(除燃料外) 的质量 m kg 的函数关系是 v=2000· ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时, 火箭的最大速度可达 12 km/s. M M 解析:由题意得 2000ln(1+ )≤12000,∴ ≤e6-1.答案:e6-1 m m 1 ? ?|x-1|, x≠1 9. (2010 年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关于 x ?1, x=1 ? 1 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 2 等于________. 1 解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+ =0 不存在 t=1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)的值也不 2 为 1,而显然方程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x)的二次函数,因此方程 1 3 h(x)=0 的零点最多有四个, 与已知矛盾, 可见 t=1 时 t2+bt+ =0, 即得 b=- , 所以 h(x) 2 2 3 1 1 =f 2(x)- f(x)+ = (f(x)-1)(2f(x)-1),而方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x)- 2 2 2 1=0 的解为 x=-1,3,由此可见五根分别为-1,0,1,2,3,因此直接计算得上述五数 的平方和为 15.答案:15 10.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出 售.同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: , [200 消费金额(元)的范围 , [400,500) [500,700) [700,900) ? 400) 30 60 100 130 获得奖券的金额(元) ? 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的 商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).设购买商品的优 购买商品获得的优惠额 惠率= .试问: 商品的标价 (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? 1 (2)对于标价在[500,800)(元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品时,可得到不小于 3 的优惠率? 1000×0.2+130 33 33 解:(1) = ,即顾客得到的优惠率是 . 1000 100 100 (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x<800.则消费金额满足 400≤0.8x<640. 0.2x+60 1 当 400≤0.8x<500,即 500≤x<625 时,由 ≥ 解得 x≤450,不合题意;当 x 3 0.2x+100 1 500≤0.8x<640.即 625≤x<800 时,由 ≥ 解得 625≤x≤725. x 3 1 因此,当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时,可得到不小于 的优惠率. 3 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危 机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工
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待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗 员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企 81 业多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 100x 解:设重组后,该企业年利润为 y 万元.依题意得 81 324 y=(2000-x)(3.5+1- )-0.5x=-5(x+ )+9000.81, 100x x 324 ∴y=-5(x+ )+9000.81(0<x≤100 且 x∈N), x 324 y=-5(x+ )+9000.81≤-5×2 324+9000.81=8820.81, x 324 ∴当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x 即为使企业年利润最大,应安排 18 人待岗. 12.(2010 年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出 厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适 当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销 售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年 3 利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x) =-1800x2+1500x+15000(0<x<1). 5 由-1800x2+1500x+15000>15000,解得 0<x< . 6 5 为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 0<x< . 6 (2)本年度的利润为 5 f(x)=[13×(1+0. 7x)-10×(1+x)]×3240×(-x2+2x+ )=3240×(0. 9x3-4. 8x2+4. 5x 3 +5), 则 f′(x)=3240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3). 5 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=3(舍去). 9 5 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 9 5 当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 9 5 5 ∴当 x= 时,f(x)取得最大值,f(x)max=f( )=20000. 9 9 5 即当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元 9

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第五章
第一节

三角函数

角的概念的推广与弧度制
A组

π 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐 3 标为________. π 解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动 弧长到达 Q 3 2π 2π 1 3 点,如图,因此 Q 点的坐标为(cos ,sin ),即 Q(- , ).答 3 3 2 2 1 3 案:(- , ) 2 2 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 α α 解析:α 为第四象限角,则 为第二、四象限角,因此 tan <0 恒成立,应填①,其余三 2 2 个符号可正可负.答案:① 3.(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. 答案:三 |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3} 3 5. (原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(-4, a), 且 sinα· cosα= , 则 a 的值为________. 4 3 解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sinα· cosα= , 4 3 4 4 易得 tanα= 3或 ,则 a=-4 3或- 3.答案:-4 3或- 3 3 3 3 2 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα 的 4 值. 2 y 解:因为 sinα= y= ,所以 y2=5, 2 2 4 (- 3) +y 15 ; 3 15 . 3 B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 2 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= ; 2 2 2 当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= .答案: 2 2 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则 当 y= 5时,cosα=-
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6 ,tanα=- 4 6 当 y=- 5时,cosα=- ,tanα= 4

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2R+α· R=6 ? ? ?1 2 ,解得 α=1 或 α=4.答案:1 或 4 α=2 ? ?2R · 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 1 2 1 2 100 100 解析:S= |α|r = × π×100= π(cm2).答案: π cm2 2 2 3 3 3 θ 4.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,则在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角的集合 3 为__________.答案:{56° ,176° ,296° } 5.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 是第________象限. 解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180° +225° =m· 360° +225° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +45° ,故 α 为第一象限角. 答案:一或三 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. 解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 1 ∴sinα-cosα= - = = =± .答案:± r r 10|a| 5|a| 5 5 y 7 . (2010 年北京东城区质检 ) 若点 A(x , y) 是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为 x ________. y 解析: =tan300° =-tan60° =- 3.答案:- 3 x 3π 3π 8.(2010 年深圳调研)已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值 4 4 为________. 3π cos 4 3π 3π 解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ 4 4 3π sin 4 7π 7π = .答案: 4 4 2 9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0, 5 则 k 的值为________. 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx, ∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0, y kx k 2 ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= = =- . 2,又 sinα= r - 1+k2x 5 1+k k 2 ∴- ,∴k=-2.答案:-2 2= 5 1+k 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及 该弧所在的弓形面积. π 10 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60° = ,R=10,∴l= π(cm), 3 3 1 10 1 2 π 3 S 弓=S 扇-S△= · π·10- · 10 sin60° =50( - )(cm2). 2 3 2 3 2 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,
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2r+l=8, ? ? ? ? ?r=3, ?r=1 (1)由题意可得?1 解得? 或? ?l=2, ?l=6, ? ? ? ?2lr=3, l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r 8 1 1 64 32 .∴S 扇= αr2= α· = ≤4, 2 2 (2+α)2 4 2+α α+ +4 α 4 8 当且仅当 α= ,即 α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), α 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值. 解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, 3 4 6 4 2 ①当 t>0 时,r=5t,sinα=- ,cosα= ,所以 2sinα+cosα=- + =- . 5 5 5 5 5 -3t 3 4t 4 ②当 t<0 时,r=-5t,sinα= = ,cosα= =- , 5 -5t 5 -5t 6 4 2 所以 2sinα+cosα= - = . 5 5 5 (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y= 3x 上一点,若 a<0,则 β 是第三象限角,r=- 3a 3 2a,此时 sinβ= =- ;若 a>0,则 β 是第一象限角,r=2a, 2 -2a 3a 3 此时 sinβ= = . 2a 2 (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=

第二节

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A组 3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 3 π 4 sinα 4 解析:cosα=- ,α∈( ,π),所以 sinα= ,∴tanα= =- . 5 2 5 cosα 3 4 答案:- 3 4 2.(2009 年高考北京卷)若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 4 3 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知,θ 是第三象限角,故 cosθ=- . 5 5 3 答案:- 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 π π π π 3 3 解析:cos( -α)=cos[ -( +α)]=sin( +α)= .答案: 3 2 6 6 5 5 5sinx-cosx 4.(2010 年合肥质检)已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5sinx-cosx 5tanx-1 9 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ = = . 2sinx+cosx 2tanx+1 5
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9 答案: 5 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 1 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ= ,当 cosθ 2 1 3 =-1 时,有 sinθ=0,当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 2 2 或 3或- 3.答案:0 或 3或- 3 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ),求 cosα,sinα 的值. 169 4 2 120 解:由题意,得 2sinαcosα= .①又∵sin2α+cos2α=1,② 169 49 2 289 ①+②得:(sinα+cosα) = ,②-①得:(sinα-cosα)2= . 169 169 π π 又∵α∈( , ),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0, 4 2 17 7 ∴sinα+cosα= .③sinα-cosα= ,④ 13 13 12 5 ③+④得:sinα= .③-④得:cosα= . 13 13 B组 1.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 2 2 2 解析: 由已知, 得 tanx=2, 所以 sin x+1=2sin x+cos x= 2 = = . 答 sin x+cos2x tan2x+1 5 9 案: 5 10π 2.(2010 年南京调研)cos =________. 3 10π 4π π 1 1 解析:cos =cos =-cos =- .答案:- 3 3 3 2 2 3 π sin2α 3.(2010 年西安调研)已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α 3 2× 5 4 sin2α 2sinαcosα 2sinα 3 解析:cosα=- 1-sin2α=- , = = =- . 2 = 2 5 cos α cos α cosα 4 2 - 5 3 答案:- 2 sinα+cosα 4.(2010 年南昌质检)若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα sinα+cosα sinα+cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 解析: +cos2α= + 2 = + = . 答案: 5 sinα-cosα sinα-cosα sin α+cos2α tanα-1 tan2α+1 5 π 5.(2010 年苏州调研)已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2 5-1 π 解析: ∵tanx=sin(x+ )=cosx, ∴sinx=cos2x, ∴sin2x+sinx-1=0, 解得 sinx= . 答 2 2 5-1 案: 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 解析:由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ· cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ π π =0 或 sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 .答案:0 或 4 4
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π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3 1 答案:- 3 8.(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________.

?cosα+2sinα=- 5, 解析:由? 2 ?sin α+cos2α=1, ②



2 5 5 将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- ,cosα=- ,∴tanα=2. 5 5 答案:2 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α) sinα· cosα· cotα 31 π 1 1 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- π)=-cos =- .答案:- 3 3 2 2 -cosα 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 2π 4π 2π π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos[(n+1)π+ ] 3 3 3 3 π π π π 3 1 3 =sin(π- )· cos =sin · cos = × = . 3 3 3 3 2 2 4 2π 4π 2π 4π π π π (2)当 n 为偶数时, sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos =sin(π- )·cos(π+ )=sin · (- 3 3 3 3 3 3 3 π 3 1 3 cos )= ×(- )=- . 3 2 2 4 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 内角. ① ?sinA= 2sinB, 解:由已知,得? ? 3cosA= 2cosB, ② 2 ①2+②2 得:2cos2A=1,即 cosA=± . 2 2 3 π π (1)当 cosA= 时,cosB= ,又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+ 2 2 4 6 7 2 3 3 5 B)= π.(2)当 cosA=- 时,cosB=- .又 A、B 是三角形内角,∴A= π,B= π, 12 2 2 4 6 π π 7 不合题意.综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2) π cos( -α)· sin(π+2α) 2 若 a⊥b,且 m=0,求 的值. cos(π-α) π 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1· (sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin(α- ). 3 π 又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α- )=-1 时,mmin=-2. 3 π 3 11 此时 α- = π,即 α= π. 3 2 6
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(2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα=-

3 . 3

π cos( -α)· sin(π+2α) 2 sinα· (-sin2α) ∴ = =tanα· 2sinα· cosα cos(π-α) -cosα 2sinα· cosα 2tanα 1 =tanα· 2 =tanα· = . sin α+cos2α 1+tan2α 2

第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组 .

π 1.(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 解析:∵y=sin(x- )=-cosx,y=-cosx 为偶函数, 2 π ∴T=2π,在[0, ]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④ 2 π 2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4

π ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 2 π ④最小正周期为 的偶函数 2 π π 解析:y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin2x,∴T=π,且为奇函数. 4 2 答案:① π 3 . (2009 年高考江西卷改编 ) 若函数 f(x) = (1 + 3tanx)cosx , 0≤x< ,则 f(x) 的最大值为 2 ________. sinx π 解析:f(x)=(1+ 3· )· cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+ ), cosx 6 π π π 2π π π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < ,∴当 x+ = 时,f(x)取得最大值 2.答案:2 2 6 6 3 6 2 π 4 .已知函数 f(x) = asin2x + cos2x(a∈R) 图象的一条对称轴方程为 x = ,则 a 的值为 12 ________. π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 3 答案: 3 π 5. (原创题)设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象关于直线 x= 对称, 它的最小正周期是 π, 3 则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 2π π π 解析:∵T= =π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称,所以有 sin(2× +φ) ω 3 3 π π π π =± 1,∴φ=k1π- (k1∈Z),由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- =k2π(k2∈Z),∴x= +(k2 6 6 6 12 π π π π -k1) ,当 k1=k2 时,x= ,∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0).答案:( ,0) 2 12 12 12
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3 . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 1 π 解:(1)f(x)= (cos2x+1)+ sin2x- = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 2 2 2 2 3 π π π 5 π 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- π≤x≤kπ+ , 2 3 2 12 12 5 π 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ+ (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z), 3 3 2 12 π π π 13π ∵0≤x<3π,且 k∈Z,∴k=0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π. 4 6.(2010 年宁波调研)设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 2x 2x 2x π 解析:f(x)=cos +sin = 2sin( + ),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T 3 3 3 4 2π T 3π 3π = =3π,∴ = .答案: 2 2 2 2 3 π 2.(2010 年天津河西区质检)给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下 3 列四个函数中,同时具有性质 ab 的是________. x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6 2π π π π π 解析:④中,∵T= =π,∴ω=2.又 2× - = ,所以 x= 为对称轴. ω 3 6 2 3 答案:④ π π 3.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为_ _. 4 2 2 π π 2tan4x 2(t+1) 解析: <x< ,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x= = =-2(t 4 2 1-tan2x -t 1 + +2)≤-8,故填-8.答案:-8 t 2 4.(2010 年烟台质检)函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是 3 ________. 2π 解析: 因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2, 又其在区间[- , 3 π π θ]上的最大值为 1,可知 θ 只能取- . 答案:- 2 2 2π 2π 5.(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大 3 3 值为________. 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则 ω 的最大值为 .答案: 4ω 3 4 4 4 π π 6.(2010 年南京调研)设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- , 3 2 0],则 x0=________.
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π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- , 3 2 π π 0],得 x0=- .答案:- 6 6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是 2 3 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6 ?A+m=4 ? 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以? ,解得 A=m=2,又 ? ?m-A=0 2π π π π π 最小正周期为 = , 所以 ω=4, 又直线 x= 是其图象的一条对称轴, 将 x= 代入得 sin(4× ω 2 3 3 3 4π π 5π π +φ)=± 1,所以 φ+ =kπ+ (k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),当 k=1 时,φ= .答案:④ 3 2 6 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最 2 高点),则正整数 t 的最小值是________. π 5 解析: 函数 y=sin x 的周期 T=4, 若在区间[0, t]上至少出现两个波峰, 则 t≥ T=5. 答 2 4 案:5 9.(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y =2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. π 解析: ∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ), 且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交 6 2π π 点间的距离为 π 知, 函数 y=f(x)的周期 T=π, ∴T= =π, 解得 ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+ ). 令 ω 6 π π π π π π π 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 2 6 2 3 6 3 6 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 π π f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒 6 3 有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a· b=(2sinωx,cos2ωx)· (cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx π 2π 1 + )+ 3.∵相邻两对称轴的距离为 π,∴ =2π,∴ω= , 3 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ],∴x+ ∈[ , ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, 6 3 3 2 3 π π ∴-2+m<f(x)<2+m. ,若对任意 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有 6 3

?-2+m≤2 3, 解得 3≤m≤2+2 3. ? ?2+m≥2+ 3,
11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 π 解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2
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π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4, 6 6 解之得 m=1,∴m 的值为 1. ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函 2 数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB +cos(A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ )-1+m. 6 2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 =3π,解得 ω= . ω 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( + )-1=1,∴sin( + )=1. 3 6 3 6 π 2C π 5π 2C π π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A+B= . 6 3 6 6 3 6 2 2 2 π 2 在 Rt△ABC 中,∵A+B= ,2sin B=cosB+cos(A-C). 2 -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2

第四节

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组 1. (2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数, 则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2π 解析:函数的最小正周期为 T= ,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图 |a| 形中周期与振幅的关系,发现④不符合要求.答案:④ 2.(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函 π 数 y=sin(x- )的图象,则 φ 等于________. 6 π π 11π 11π 解析:y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin(x+ ).答案: 6 6 6 6 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函 数,则 φ 的最小值为________. π 解析: 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ), f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应 6 5π 的函数为奇函数,则 φ 的最小值为 . 6 5π 答案: 6
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4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中, 正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 T 5π π 7π 7π 解析:据图象可得:A= 3, = - ?T=π,故 ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× + 2 6 3 12 12 2π 2π 2π φ)=1,解得 φ=2kπ- (k∈Z),又-π<φ<π,故 φ=- ,故 f(x)= 3sin(2x- ),依次判 3 3 3 7π 断各选项,易知①②是错误的,由图象易知 x= 是函数图象的一条对称轴,故③正确,④ 12 π 7π 函数的单调递增区间有无穷多个,区间[ , ]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推 12 12 导易知正确.答案:③⑤ 5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________. 解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调 2π ω π π π 区间即可,且 f(x)=sinωx+cosωx= 2sin(ωx+ ),则 2010≥ ?ω≥ .答案: 4 2 2010 2010 π 2 2 6. (2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos ωx, x∈R(ω>0), 2 π 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . (1)求 ω; 6 π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 6 的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ , 2 2 2 6 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3

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B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示, 则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 9 ∵-π≤φ<π,∴φ= π. 答案: π 10 10 2.(2010 年南京调研)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π) 的图象如图所示,则 φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π ∴ω= =2,把点( ,1)代入,可得 2× +φ= ,φ T 6 6 2 π π = .答案: 6 6 π 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了 4 得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 2π ∴ =π,故 ω=2. ω π π π π 又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 4 8 4 2 π 答案:向左平移 个单位长度 8 π 2 4. (2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示, f( )=- , 则 f(0) 2 3 =________. T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得 φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 答案: 2 3 3 3 3 π 5. 将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- 3 π ,0)中心对称. 12 π π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移 3 6 6
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π π π 后的图象关于(- ,0)对称,只需向右平移 即可.答案:右 12 12 12 ?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的 6.(2010 年深圳调研)定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? 图象向左平移 m 个单位(m>0), 若所得图象对应的函数为偶函数, 则 m 的最小值是________. 3 1 π 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6 π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- +m), 平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ 6 6 π 2π 2π 2π ,k∈Z.若为偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 .答案: 2 3 3 3 π π 7. (2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 4 6 π 与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6 π π π π 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ],即 y 4 6 6 4 π πω π πω π 1 = tan(ωx + - ),显然当 - = + kπ(k∈Z) 时 , 两 图 象 重 合 , 此 时 ω = - 4 6 4 6 6 2 1 1 6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小值为 .答案: 2 2 π π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, 3 2 2 3π 5π 5π ]上单调递增;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是 2 4 6 ________. π π 解析:由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是 π,故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期 3 3 π 3π 3π 5π 是 ,①正确;y=sin(x- )=cosx,该函数在[π, )上单调递增, ②正确;当 x= 时,y 2 2 2 4 5π 5π 5π π 5π 5π 3 5π =sin(2x+ )=sin( + )=sin( + )=cos =- ,不等于函数的最值,故 x= 不是 6 2 6 2 6 6 2 4 5π 函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正确.答案:2 6 πx 9.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是 2 ________. πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y=kx 的图象 2 在[0,1]之间的部分应位于此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1] 上的图象恒在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 2π 10. (2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 . (1) 3 π 求 ω 的值; (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到, 求 y=g(x) 2 的单调增区间. 解: (1)f(x) = sin2ωx + cos2ωx + 2sinωx· cosωx + 1 + cos2ωx = sin2ωx + cos2ωx + 2 = 2 π 2π 2π 3 sin(2ωx+ )+2,依题意,得 = ,故 ω= . 4 2ω 3 2
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π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2sin(3x- )+2. 2 4 4 π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ , kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 π 11.(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期 2 2π 为 π,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 4π π 11π π π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- ,k∈Z.又 φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 12 6 6 3 6 6 π π π 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12 π 12.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = ,又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 4 π π π g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4
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π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π π π π 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 4 2 kπ π π ∴m= + (k∈Z),从而,最小正实数 m= . 3 12 12

第六章
第一节
1.已知 sinα=

三角恒等变形
A组

同角三角函数的基本关系

5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10 π π 3 10 解析:∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< ,∴cos(α-β)= 1-sin2(α-β)= . 2 2 10 ∵sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-( 5 2 5 )2= . 5 5 2 . 2

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=

π π π ∵0<β< ,∴β= .答案: 2 4 4 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 π π π 3 4 4 解析:∵0<α< , <β<π,∴ <α+β< π.∴sinα= ,cos(α+β)=- , 2 2 2 2 5 5 4 3 3 4 24 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× +(- )× =- . 答 5 5 5 5 25 24 案:- 25 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ 解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则 = cos(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ 3 3 3 = = =- .答案:- 2 2 1+tanαtanβ 1-3 π 4 7π 4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 3 1 4 1 3 4 解析:由已知得 cosα+ sinα+sinα= 3,即 cosα+ sinα= , 2 2 5 2 2 5 π 4 7 π 4 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- .答案:- 6 5 6 6 5 5 π π 2 2 5.(原创题)定义运算 a?b=a -ab-b ,则 sin ?cos =________. 12 12 π π π π π π π π 1 π π 解析:sin ?cos =sin2 -sin cos -cos2 =-(cos2 -sin2 )- ×2sin cos 12 12 12 12 12 12 12 12 2 12 12 1+2 3 1+2 3 π 1 π =-cos - sin =- .答案:- 6 2 6 4 4 π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2
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3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 α α 6 1 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 sinα= . 2 2 2 2 π 3 又 <α<π.所以 cosα=- . 2 2 π π π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3+3 3 4 1 3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα 2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα 解析: · = · 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα = · = · =1. sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π 3 3 解析:∵cos( +x)= ,∴cosx-sinx= 2, 4 5 5 sin2x-2sin2x 2sinx(cosx-sinx) 18 7 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= ,∴ = =sin2x= . 25 25 25 1-tanx cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 1 3 π 解析:cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = cosα- sinα,sin(α- ) 3 3 3 2 2 3 π π 1 3 =sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π π 3 π 4 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= ,∴sin(α- )= . 4 4 4 2 4 5 4 5 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∵β∈(0, ),∴ +β∈( ,π).∵sin( +β)= ,∴cos( +β)=- , 4 4 4 4 13 4 13 π 3π ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 =-cos(α- )· cos( +β)+sin(α- )· sin( +β)=- ×(- )+ × = , 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1 7 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cosα= ,∴cos2α=2cos2α-1=- ,∴sin2α= 2 3 9
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4 2 π 2 2 ,而 α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= , 9 2 3 7 1 4 2 2 2 ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )×(- )+ × 9 3 9 3 23 = . 27 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 4 解 析 : ∵α 在 第 一 象 限 , 且 cosα = , ∴sinα = , 则 = 5 5 π sin(α+ ) 2 2 2 1+ 2( cos2α+ sin2α) 2 2 2cos2α+2sinαcosα 4 3 14 = =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα cosα 5 5 5 π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, sinα), b=(1, 2sinα-1), α∈( , π), 若 a· b= , 则 tan(α+ )的值为________. 2 5 4 2 3 解析:a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= ,又 5 5 π 4 3 π tanα+1 1 α∈( ,π),∴cosα=- ,tanα=- ,∴tan(α+ )= = . 2 5 4 4 1-tanα 7 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° tan70° -tan10° 解析:由 tan(70° -10° )= = 3, 1+tan70° · tan10° 故 tan70° -tan10° = 3(1+tan70° tan10° ),代入所求代数式得: tan70° tan10° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = = . 3 3(1+tan70° tan10° )+tan120° 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 π sin(α+ ) 4 1 2 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=- ,∴ = =- 2. 4 sin2α+cos2α+1 4cosα cos20° 10.求值: · cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° . sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° 解:原式= + -2cos40° sin20° cos70° cos20° cos10° + 3sin10° cos20° = -2cos40° sin20° cos20° (cos10° + 3sin10° ) = -2cos40° sin20° 2cos20° (cos10° sin30° +sin10° cos30° ) = -2cos40° sin20° 2cos20° sin40° -2sin20° cos40° = =2. sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 5 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A, B, C, 若 f(A)= , f(B) 13 1-cos22α=
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3 = ,求 f(C)的值. 5 x x x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos ,1)· (sin ,1)-1=2cos sin +1-1=sinx. 2 2 2 2 ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 12 4 ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A= ,cosB= 1-sin2B= . 13 5 ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 5 4 12 3 56 56 = × + × = .∴f(C)的值为 . 13 5 13 5 65 65 π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 4 2 2 3 2 2 7 ∴cosβ+sinβ= ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 3 9 9 π π 7 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos2(β- )-1=- . 2 4 9 π π π 3π π 3π π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β- < , <α+β< ,∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 2 4 4 4 2 2 4 π 1 4 π 2 2 3 ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= ,∴sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 4 3 5 π π π π ∴cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )]=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15

第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ ) 2 2 5 5 4 2 2 =- (cosα-sinα)=- . 2 10 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 + + cosθ= 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 1 1 + 2 2 θ cos2 2

cos10° + 3sin10° 3.(2010 年南京市调研)计算: =________. 1-cos80° cos10° + 3sin10° 2cos(10° -60° ) 2cos50° 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80°
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4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x 4 4 (2010sin x+1)(2010cos x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010 π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 2 (2)cos2α=2cos α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50

B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 1 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α sin2α+cos2α 1 解析: 由 3sinα + cosα = 0 得 cosα =- 3sinα ,则 2 = = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 9sin2α+sin2α 10 = . 9sin2α-6sin2α 3 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 2 1 3 2 3 2 或 a =1+sin28° <1+ = ,b =1+sin32° >1+ = ,c = ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 π π 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= 4 4 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4

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π 2 2tanα 3 解析: 由题意知, tanα=3, sin(2α+ )= (sin2α+cos2α), 而 sin2α= cos2α 2 = , 4 2 1+tan α 5 1-tan2α 4 π 23 4 2 = ( - )=- . 2 =- .∴sin(2α+ )= 5 4 2 5 5 10 1+tan α 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解 析 : |a - 2b|2 = (cos10°- 2cos70° )2 + (sin10°- 2sin70° )2 = 5 - 4cos10° cos70°- 4sin10° sin70° =5-4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. 1-cos2α 1 9. (2010 年江苏省南通市调研)已知 =1, tan(β-α)=- , 则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 2 1-cos2α 1-tan α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- = × ,所以 2tanα=1,即 tanα= , sinαcosα 2 1+tan2α 2 1+tan2α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα 所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 2 sin2α+cos (π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = =tanα+ = . 2cos2α 2cosα 2 2 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆与 x 轴

3 4 正半轴的交点, △AOB 是正三角形, 若点 A 的坐标为 ? 记∠COA ÷, ? , ÷
=α. 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 3 4 4 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= , 5 5 5 1 + sin2 α 1 + 2sin α cos α 3 49 cosα= ,∴ = = . 5 2cos2α 18 1+cos2α (2)∵△AOB 为正三角形, ∴∠AOB = 60° . ∴cos∠COB = cos(α + 60° ) = cosαcos60° - 3 1 4 3 3-4 3 sinαsin60° .= × - × = , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
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骣 ? 桫 5 5÷

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得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.

第七章

解三角形

第一节 正弦定理与余弦定理
1. (2008· 陕西理, 3) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、b 、c , 若c = B=120°,则 a 等于 ( ) A. 6 答案 D B.2 C. 3 D. 2

2 ,b=

6,

2. ( 2008· 福 建 理 , 10 ) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若

(a2 + b2 - c2) tanB =
A.
? ; 6

3 ac,则角 B 的值为( D )
C.
? 5? 或 ; 6 6

B.

? ; 3

D.

? 2? 或 . 3 3

3.下列判断中正确的是( B ) A.△ABC 中, a = 7 , b = 14 ,A=30°,有两解 B.△ABC 中, a = 30 , b = 25 ,A=150°,有一解 C.△ABC 中, a = 6 , b = 9 ,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解. 4.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 ( B ) A.等腰直角三角形; B.等腰三角形 C.直角三角形;D.等边三角形. 5.在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则 A. ;
4

sin B 的值为( D ) sin C
D.
3 5

8 5

B. ;
4 4 2 2

5 8

C. ;
2

5 3

6.△ABC 中,若 a + b + c = 2c (a + b ) ,则∠C 的度数是 ( B ) A.60° ; B.45° 或 135° ; C.120° ; D.30° .

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a = 1 , b =

7 ,c =

3 ,则

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5? 6

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B=

. 答案

8.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为

.?答案

10 3

9. ( 2008· 浙江理, 13 )在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .若

( 3b - c) cos A = a cos C ,则 cos A =

. 答案

3 3

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c. 解 ∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.
a sin B 3 3 sin 45? = = , b 2 2

由正弦定理得 sinA=

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
b sin C 2 sin 75? = = sin B sin 45?

2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 = . sin 45? 2
2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 = . sin 45? 2

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=
b sin C 2 sin 15? = = sin B sin 45?

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c=

6? 2 6? 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2

11.在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且

cos B b =. cos C 2a + b

(1)求角 B 的大小; (2)若 b = 解 (1)由余弦定理知:cosB=

13 , a + c = 4 ,求△ABC 的面积.
a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,cosC= . 2ac 2ab

将上式代入
2

a2 ? c2 ? b2 2ab b b cos B =得: · 2 2 2 =cosC 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c
2 2

整理得:a +c -b =-ac∴cosB= ∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B=

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =2 ac 2 2ac

2 ?. 3 2 2 2 2 2 2 ? 代入 b =a +c -2accosB,得 b =(a+c) -2ac-2accosB 3 2

1 3 3 1? 2 ∴b =16-2ac ? . ?1 ? ? ,∴ac=3.∴S△ABC= acsinB=

?

2?

4

12. 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果 (a2 + b2 )sin ( A- B)

= (a2 - b2 )sin ( A + B),判断三角形的形状.
解 方法一、已知等式可化为 a [sin(A-B)-sin(A+B) ]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)] 2 2 ∴2a cosAsinB=2b cosBsinA
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2

由正弦定理可知上式可化为:sin AcosAsinB=sin BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ? 得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A=
2

? -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 2
2

方法二 同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 b2 ? c2 ? a 2 2 a ?c ?b = ba 2bc 2ac

∴a (b +c -a )=b (a +c -b )

2

2

2

2

2

2

2

2

即(a -b )(a +b -c )=0∴a=b 或 a +b =c ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 13.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,若△ABC 的面积为 S,

2

2

2

2S = (a + b) - c 2 ,求 tan C 的值.
解 依题意得 absinC=a +b -c +2ab,由余弦定理知,a +b -c =2abcosC.
C C cos 2 2
2 2 2 2 2 2

2

所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin
C 化简得:tan =2.从而 tanC= 2

=4cos

2

C 2

C 2 =- 4 . 3 2 C 1 ? tan 2 2 tan

14.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a 、b、c,若 a 、b、c 成等差数列,且 2 cos 2 B - 8cos B + 5 = 0 ,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 2 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 或 cosB= (舍去) .∴cosB= .∵0<B< ? ,∴B=
1 2 3 2 1 2

? . 3
a?c 2 ) 1 2 = , 2 2ac

∵ a ,b

a2 ? c2 ? b2 , c 成等差数列,∴ a +c =2b .∴cosB= = 2ac
2 2

a2 ? c2 ? (

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c.又∵B=

? ,∴△ABC 是等边三角形. 3
2

方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 或 cosB= (舍去) .∴cosB= ,∵0<B< ? ,∴B=
1 2 3 2 1 2

? , 3 ? = 3. 3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin ? ?
3 2
2? 2? 2? ? cos A -cos sin A = 3 . ? A? = 3 ,∴sinA+sin 3 3 3 ? ?

化简得 sinA+ ∴A+

3 ?? cosA= 3 ,∴sin ? ? A ? ? =1. 2 6? ?

? ? ? ? = ,∴A= ,∴C= ,∴△ABC 为等边三角形. 6 2 3 3
A? B 7 -cos2C= . 2 2

15. (2008·广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5, c= 7 ,且 4sin
2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.
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解 (1)∵A+B+C=180°,由 4sin ∴4·

2

A? B 7 7 2 C -cos2C= ,得 4cos -cos2C= , 2 2 2 2

1 ? cos C 7 1 2 2 -(2cos C-1)= ,整理,得 4cos C-4cosC+1=0,解得 cosC= , 2 2 2

∵0°<C<180°,∴C=60°. 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab,∴7=(a+b) -3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absinC= ×6×
1 2 1 2

3 3 3 = . 2 2

第二节

正弦定理、余弦定理的应用

1.从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ?、 ? 的关系为( B ) A. ? > ? ; B. ? = ? ; C. ? + ? =90° ; D. ? + ? =180° .

2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,则 A、 C 两地的距离为( D ) A.10 km ; B. 3 km; C. 10 5 km; D.10 7 km

3.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( A ) A. 20 ? ? ?1+



3÷ ÷m ; ÷ ? 3 ÷ 桫

B. 20 ? ? ?1+



3÷ ÷m ; ÷ ? 2 ÷ 桫

C. 20 1+ 3 m ;

(

)

D.30 m.

4.如图,位于港口 O 正东 20 海里 B 处的渔船回港时出现故障.位于港口南偏西 30° ,距港 口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/ 小时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到达 B 处需要 _______小时. 解析: 由余弦定理得 BC= 202+102-2×10×20cos120° 7 =10 7,从而需 小时到达 B 处.答案: 3 5.(2010 年南京市高中联考)如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯 塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的 北偏西 75° ,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北 偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的距 离为________海里. 解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD=3 2, AC=5,∠DAC=45° ,由余弦定理得 CD= 13. 答案: 13 6.(2010 年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶,看见正西方 向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半 小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南 偏西 75° 方向上,则该船的速度是________海里/小时. 解析: 假设该船从 A 处航行到了 D 处, 两座灯塔分别在 B、C 位置, 如图,设 AD 长为 x,则 AB=xtan60° ,AC=xtan75° ,所以 BC=xtan75° 5 -xtan60° =10,解得 x=5,所以该船的速度 v= =10(海里/小时). 0.5 答案:10
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7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且 小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米. 解析: 连结 OC, 在三角形 OCD 中, OD=100, CD=150, ∠CDO 1 =60° , 由余弦定理可得 OC2=1002+1502-2×100×150× =17500, 2 ∴OC=50 7.答案:50 7 8.(原创题)在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为________. a+b-c a+b (a+b)2 解析:∵r= = -1,∵4=a2+b2≥ ,∴(a+b)2≤8,∴a+b≤2 2, 2 2 2 ∴r≤ 2-1.答案: 2-1 9.(2009 年高考辽宁卷)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° ,于水 面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪 两点间距离相等, 然后求 B、 D 的距离(计算结果精确到 0. 01 km, 2≈1. 414, 6≈2. 449). 解:在△ACD 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0. 1. 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC ACsin60° 在△ABC 中, = , 所以 AB= sin15° sin∠BCA sin∠ABC 3 2+ 6 = . 20 3 2+ 6 同理,BD= ≈0.33(km), 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.

第八章
那么数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 2n2 ? n .

数列

1.已知数列 ?an ? 满足条件 ( n ? 1 )an?1 ? ( n ? 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 ? 6 ,设 bn ? an ? n , 2、 x = ab 是 a 、 x 、 b 成等比数列的( D ) 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 3、已知数列 {an }的前 n 项和 Sn = a - 1(a 喂 R, a
n

D.既非充分又非必要

0) ,则数列 {an }( C )

A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,使剩下的 弹子尽可能的少,那么剩余的弹子有( B ) A. 0 颗 B.4 颗 C.5 颗 D.11 颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为 还清这笔贷款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额, 计划恰好在 贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳 入本金计算新的利息) ,则该学生家长每年的偿还金额是 ( D )

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n+ 1

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n+ 1
n


a A. ; m

B.

ap (1 + p )
n+ 1

m? 3 ,n ? 6 2 * 7、数列 ?an ? 对任意 n ? N 都满足 an?2 ? an ? an?4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4, an ? 0 ,则 a11 ? 8
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6、已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? 2, q ? 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 (m ? n) ,则

(1 + p) - 1



ap (1+ p) C. pn - 1



D.

ap (1 + p )
n

(1 + p) - 1

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奎屯

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8、已知函数 f ( x) ?

1 1 1 7 x2 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 2 3 4 2 1? x

9、 一个项数为偶数的等比数列, 首项是 1, 且所有奇数项之和是 85, 所有偶数项之和是 170, 则此数列共有_8 _项 10、在各项为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a4 ? 11a2 ?a 4 ,且前 2 n 项的和等于它的
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前 2 n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 . 10n ? 2

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11、已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?60, a n?1 ? a n ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ?? | a30 | 的值为 765 . 12、等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 {S n } 中最大项为 S 20 . 13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,则此数 列共有 12 项. 1 14、设 f ( x ) ? x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得: 3 ? 3 13 f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ? ? f (0) ? ? ? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为 3. 3 15、已知数列 ?an ? 的通项 an ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,前 n 项和为 S n ,则 S n = 1 ? (2n ? 1)2 n . 16、数列

1 1 1 1 3 2n ? 3 . , , , ,?前 n 项的和等于 ? 4 2( n ? 1)(n ? 2) 12 ? 2 2 2 ? 4 32 ? 6 4 2 ? 8

17、已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比 数列,则其公比为( B )

D. 2 18、已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2n ? qa2n ?1, a2n ?1 ? a2n +d ( q、d ? R,q >0) .
(1)若 q ? 2, d ? ?1, 求 a3 , a4 并猜测 a2006 ; (2)若 ?a2 n ?1?是等比数列,且 ?a2 n ?是等差数列,求 q, d 满足的条件. 解: (1)? a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a2 ? 1 ? 1, a4 ? 2a3 ? 2,?猜测 a2006 ? 2 . (2)由 a2n ? qa2n ?1,a2n ?1 ? a2n + d (q, d 喂R, q 当 d ? 0 时,显然 a2n ?1 ? qa2n ?1 , ?a2 n ?1?是等比数列.
0) ,得 a2n ?1 ? qa2n ?1 ? d .

A. 1

B. ?1

C. ?1

当 d ? 0 时,因为 a1 ? 1, 只有 a2 n ?1 ? 1 时, ?a2 n ?1?才是等比数列. 由 a2n ?1 ? qa2n ?1 ? d ,得 q ? d ? 1, 即 d ? 0, q ? 0 ,或 q + d = 1 . 由 a2n ? qa2n ?1, a2n ?1 ? a2n ? 2 ? d 得 a2n ? qa2n ? 2 ? qd(n ? 2) . 当 q ? 1, a2n ? a2n ? 2 ? d (n ? 2) ,显然 ?a2 n ?是等差数列, 当 q ? 1 时, a2 ? qa1 ? q , 只有 a2 n ? q 时, ?a2 n ?才是等差数列. 由 a2n ? 2 ? q(a2n ? d ) ,得 q ? d ? 1, 即 q ? 1, q ? d ? 1. 综上所述: q + d = 1 .
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19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,试求其前 n 项和. 解:由题设: S10 ? 310 得: ?

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6
n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

∴ S n ? 4n ?

第九章
则 a 与 b 的夹角为 2、下列命题:

平面向量

1. 已知三个向量 a=(cos ? 1 , sin ? 1 ), b=(cos ? 2 , sin ? 2 ), c= (cos? 3 , sin ? 3 ), 满足 a ? b ? c ? 0 ,

2 ? 3

r r r r r r r r (2)若 e 为单位向量,且 a // e ,则 a = a ?e ; r r r r (3) a 鬃 a a= a r r r r r r (4)若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线 uu u r uuu r uuu r uuu r (5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AB + BD = BC + AD
正确的命题个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.0

(1)若 a 与 b 为非零向量,且 a // b 时,则 a - b 必与 a 或 b 中之一的方向相同;

? ? ? ? ? ? 3、若 O 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4 e 1, BC ? 6e2 , 则3e2 ? 2e1 等于( B ) ? ? ? ? A. A O B. BO C. C O D. DO ? ? ? ? 19 ? 4、若 a ? (5,?7), b ? (?1,2) ,且( a ? ?b ) ? b ,则实数 ? 的值为 . 5 ?
5、已知 | a |?| b |? 2 , a 与 b 的夹角为

,则 a ? b 在 a 上的投影为 3 . 3 6、在直角坐标平面上,向量 OA ? (4,1) ,向量 OB ? (2,?3) ,两向量在直线 l 上的正射影长 度相等,则直线 l 的斜率为 3或 -

1 . 2

1 1 ? ), b =(1, 7、 设平面向量 a =(-2, 1), 若 a 与 b 的夹角为钝角, 则 ? 的取值范 (??,? ) ? (? ,2) . 2 2

8、 已知向量 OB ? (2,0), OC ? (2,2), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin? ) , 则向量 OA, OB 的夹角范围是

轾 p 5p 犏, 犏 12 12 臌
9、将函数 y ? 2 x 的图象按向量 a 平移后得到 y ? 2 x ? 6 的图象,给出以下四个命题: ① a 的坐标可以是 (?3,0) ; ③ a 的坐标可以是 (0,6) ; 上述说法正确的是①②③④.
? ? ? ?

② a 的坐标可以是 (?3,0) 和 (0,6) ; ④ a 的坐标可以有无数种情况.
?

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15 则 a 与 b 的夹角为 1500 . , | a |? 3, | b |? 5 , 4 ?5 11、若△ABC 三边长 AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 等于 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 .已知 | a |? 4, | b |? 3, a ,b 的夹角为 120 °,且 c ? a ? 2b , d ? 2a ? kb ,当 c ? d 时, k= . 13.已知 A(3,y) ,B( ? 5 ,2) ,C(6, ? 9 )三点共线,则 y=_________. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14.若 a =(1,2) , b =( ? 3 ,2) ,k 为何值时:(1)k a + b 与 a -3 b 垂直; (2)k a + b 与 a ? -3 b 平行?
10、 已知 ?ABC 中, CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15. 已知| a |=4,| b |=3, (2 a -3 b ) · (2 a + b )=61,求:(i) a 与 b 的夹角θ ; (ii) | a ? 2b | .

16. 已知 ?ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2) ,B(2,3) ,C(-2,5) ,求 cos A .

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? ? ? 2 2 17.设 a =(sinx-1,cosx-1) , b =( , ) . (1)若 a 为单位向量,求 x 的值; (2) 2 2 ? ? 设 f(x)= a · b ,则函数 y=f(x)的图象是由 y=sinx 的图象如何平移得到?

18.已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ) ,且 x ?[0, ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (1)求 a ? b 及 a ? b ; (2)求函数 f ( x) ? a ? b ? a ? b sin x 的最小值.

?

3

3

?

x

x

?

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第十章
第一节

算法

程序框图 A组

1.(2009 年高考福建卷改编 )阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 ________. 解析:试将程序分步运行: 1 第一循环:S= =-1,n=2; 1-2 1 1 第二循环:S= = ,n=3; 1-(-1) 2 1 第三循环:S= =2,n=4.答案:4 1 1- 2 2.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图,输入 x= -2,h=0.5,那么输出的各个数的和等于________. 解析:由框图可知,当 x=-2 时,y=0; 当 x=-1.5 时,y=0;当 x=-1 时,y=0; 当 x=-0.5 时,y=0;当 x=0 时,y=0; 当 x=0.5 时,y=0.5;当 x=1 时,y=1; 当 x=1.5 时,y=1;当 x=2 时,y=1. ∴输出的各数之和为 3.5. 答案:3.5 3.(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图,输出的 T=________.

第2题 解析:据框图依次为: S=5, ? ? ?n=2, ? ?T=2, S=10, ? ? ?n=4, ? ?T=6, S=15, ? ? ?n=6, ? ?T=12, S=20, ? ? ?n=8, ? ?T=20,

第3题

S=25, ? ? ?n=10, ? ?T=30,

故此时应输出 T=30.答案:30 4 . (2010 年南京市高三调研 ) 阅读下面的流程图,若输入 a= 6 , b = 1,则输出的结果是 ________.
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解析:a=6,b=1,则 x=5>2,再次进入循环得 a=4,b=6,此时 x=2,退出循环.故 输出 2.答案:2 5.(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100, 则输出的变量 S 的值是多少?

第5题 第6题 解析:由循环结构可得 S=100+99+?+3+2=5049. 故输出的变量 S 的值为 5049.答案:5049 6.(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头 a 指向①时,输出的结果为 S =m,当箭头 a 指向②时,输出的结果为 S=n,求 m+n 的值. 解:(1)当箭头 a 指向①时,输出 S 和 i 的结果如下: S 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5 i 2 3 4 5 6 ∴S=m=5. (2)当箭头 a 指向②时,输出 S 和 i 的结果如下: S 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3+4 i 2 3 4 5 S 0+1+2+3+4+5 i 6 ∴S=n=1+2+3+4+5=15,于是 m+n=20.

B组 1.(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 s=720,则在判断框 中应填入的关于 k 的判断条件是__________. 解析:s=10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8,判断条件为“是”时进入循环体,7≥8 判 断条件为“否”,跳出循环,输出 s.答案:k≥8
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(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2.若 R=8,则下列流程图的运行结果为___4___. 3.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等,则 x 的可能 值的个数为________. 解析:x≤2 时,x2=x,∴x=0 或 x=1;2<x≤5 时,2x-3=x,∴x=3; 1 x>5 时, =x,∴x=-1 或 x=1(都舍去).所以共有 3 个可取值.答案:3 x 4.如图,该程序运行后输出的结果为________. 解析:A=1≤9,“是”,则 S=0+1,A 变为 2;A=2≤9,“是”,则 S=0+1+2, A 变为 3;?;A=9≤9,“是”,则 S=0+1+?+9,A 变为 10;A=10≤9,“否”,则 输出 S=45. 答案:45 5.已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框内①处 应填____. 解析:a=1 时进入循环,此时 b=21=2;a=2 时再进入循环,此时 b=22=4;a=3 时 再进入循环,此时 b=24=16,∴a=4 时应跳出循环,∴循环满足的条件为 a≤3,∴填 3. 答案:3

(第 4 题)

(第 5 题)

(第 6 题)

6. 按如图所示的程序框图运行后, 输出的结果是 63, 则判断框中的整数 M 的值是________. 解析:A=1≤M,“是”,则 S=2×1+1=3,A 变为 2; A=2≤M,“是”,则 S=2×3+1=7,A 变为 3; A=3≤M,“是”,则 S=2×7+1=15,A 变为 4; A=4≤M,“是”,则 S=2×15+1=31,A 变为 5; A=5≤M,“是”,则 S=2×31+1=63,A 变为 6; A=6≤M,“否”,则跳出循环,故填 5. 7.(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如 下表所示:
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1 2 3 4 5 6 队员 i a1 a2 a3 a4 a5 a6 三分球个数 下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填______,输出的 s=______. (注:框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=”)

(第 7 题) (第 8 题) 解析: 由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分球总数, 故 判断框应填 i≤6 或 i<7,输出 s 为 a1+a2+a3+a4+a5+a6. 8.(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式 是________. 解析:由程序框图的条件结构知:x>1 时,y=x-2;x≤1 时,y=2x. x ? (x≤1), ?2 ? 故 y= ?x-2 (x>1). ? 9.某流程如图所示,现输入如下四个函数 1 ①f(x)=x2;②f(x)= ;③f(x)=lnx;④f(x)=sinx. x 则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________. 解析: 由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时, 输出与输入函数必是同一函数, 分析上述四个函数,易知只有 y=sinx 满足条件.答案:④

(第 9 题)

(第 10 题)
? ?

? π 3π π π ? ? 10. 如图所示的算法中, 令 a=tanθ, b=sinθ, c=cosθ, 若在集合?θ? ?-4<θ< 4 ,θ≠0,4,2

中,给 θ 取一个值,输出的结果是 sinθ,求 θ 值所在的范围. π 3 解:由框图知,要输出 a、b、c 中最大的,当 θ∈( , π)时,sinθ 最大. 2 4 π 3 ∴θ 值所在的范围为( , π). 2 4
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1 1 1 1 11.画出计算 1+ + +?+ + 值的一个算法的流程图. 2 3 9 10

(第 11 题) (第 12 题) 12.到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时,银行要收取一定的手续费.汇款额不超 过 100 元, 收取 1 元手续费;超过 100 元但不超过 5000 元,按汇款额的 1%收取;超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.设计算法求汇款额为 x 元时,银行收取的手续费 y 元,只画出 流程图. 解: 要计算手续费,首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式,依题意知 y = 1 (0<x≤100), ? ? ?x×0.01 (100<x≤5000), ? ?50 (5000<x≤1000000). 流程图如上图所示.

第二节

程序语句

A组 1.(2010 年徐州调研)如图,给出一个算法的伪代码,则 f(-3)+f(2)=_-8__. Input x If x≤0 Then f(x)←4x Else f(x)←2x End If Print f(x) Input x If x<0 Then y←(x+1)(x- 1) Else y←(x-1) End If
2

T←1 I←3 While I<50 T←T+I I←I+2 End While Print T (第 1 题) (第 2 题)

Print y (第 3 题) End 2.输入 x=5,运行下 面的程序之后得到的 y 等于_16_. 3.(2010 年泰州质检)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为_625_. 4.(2009 年高考安徽卷改编)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_127_. Input n
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S←0 I←1 While________ S←S+I I←I+1 Wend Print “S=”;S End

(第 4 题) (第 5 题) (第 6 题) 5.(原创题)编写程序求 S=1+2+3+?+n 的和(n 由键盘输入),程序如图,则横线上应填 __I≤n _. 6.(2009 年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图,求最后输出的 W 的值. 2 解:第一次:T=1,S=1 -0=1; 2 第二次:T=3,S=3 -1=8; 2 第三次:T=5,S=5 -8=17. 此时满足 S≥10. 所以 W=S+T=17+5=22.

B组 1.右面程序执行后输出的结果是__0__. n←5 S←0 While S<15 S←S+n n←n-1 End While Print n 2.下列程序的功能是:判断任意输入的数 x 是否是正数,若是,输出它的平方值;若不是, 输出它的相反数.则填入的条件应该是_____ x≤0___. x←Input(“x=”) If________ y←-x; Else y←x2 End If Print y

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3.程序如下: a←Input(“a =”) b←Input(“b =”) c←Input(“c =”) a←b b←c c←a Print a,b,c 若输入 10,20,30,则输出结果为____20,30,20____. 4.(2010 年南通调研)程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是_24_. 5.有下面算法: p←1 For k From 1 To 10 Step 3 p←p+2×k-6 End For Print p 则运行后输出的结果是_21_. 6.(2010 年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为_5_. S←1 I←1 While S<5 I+1 S←S× I I←I+1 End While Print I 1 1 1 7.现欲求 1+ + +?+ 的和(其中 n 的值由键盘输入),已给出了其程序框图, 3 5 2n-1 请将其补充完整并设计出程序. 1 解:①i←i+1 ②S←S+ 2i-1 程序如下:

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Input n S←0 i←0 While i<n i←i+1 1 S←S+ 2i-1 Wend Print S End

8.已知函数 y=x2+2x(x∈[-10,10],x∈Z),编写程序,求该函数的最大值.

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第十一章
第一节

概率

古典概型

A组 1.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________. 解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三 个事件彼此互斥,因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%- 3%=92%=0.92.答案:0.92 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10,则 此射手在一次射击中不够 8 环的概率为________. 解析:射中 8 环及以上的概率为 0.20+0.30+0.10=0.60,故不够 8 环的概率为 1 -0.60=0.40.答案:0.40 3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________. 解析:从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、 3 1 1 乙丁、丙丁,满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率为 P= = .答案: 6 2 2 4.(2010 年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信,记一封信的重量为 ξ(单位:克),如 果 P(ξ<10)=0.3,P(10≤ξ≤30)=0.4,则 P(ξ>30)=________. 解析:P(ξ>30)=1-P(ξ<10)-P(10≤ξ≤30)=1-0.3-0.4=0.3.答案:0.3 5.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有 3 个这样的电子元件,则出现 至少有一个接通的概率为________. 解析:设电子元件接通记为 1,没有接通记为 0.又设 A 表示“3 个电子元件至少有一 个接通”,显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”,Ω 表示“3 个电子元件的状态”,则 Ω={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)(0,0, 0)}.Ω 由 8 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的, A ={(0,0,0)},事 1 1 件 A 由 1 个基本事件组成,因此 P( A )= ,∵P(A)+P( A )=1,∴P(A)=1-P( A )=1- 8 8 7 7 = .答案: 8 8 6.(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止 参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员, (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 3+5+4 3 A,则 P(A)= = .故随机抽取一名队员,该队员只属于 20 5 3 一支球队的概率为 . 5 (2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B,则 P(B)=1-P( B ) 2 9 9 =1- = .故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . 20 10 10 B组 1.(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是________. 解析:从四条线段中任取三条有 4 种取法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4, 3 5),其中能构成三角形的取法有 3 种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),故所求的概率为 . 4
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3 答案: 4 1 1 2.甲射手击中靶心的概率为 ,乙射手击中靶心的概率为 ,甲、乙两人各射击一次,那么, 3 2 甲、乙不全击中靶心的概率为________. 1 1 5 5 解析:P=1- × = .答案: 3 2 6 6 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率是 0. 42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________. 解析:P=1-0.42-0.28=0.30.答案:0.30 4.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一 人的概率是________. 解析:(甲送给丙,乙送给丁),(甲送给丁,乙送给丙),(甲、乙都送给丙),(甲、乙都 送给丁)共四种情况,其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种. 1 答案: 2 5.(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是___. 3 解析:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个.故 P= 6×6 1 1 = .答案: 12 12 6.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、 4,把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________. 解析:由于正四面体各面都完全相同,故每个数字向上都是等可能的,被 5 整除的可能 4 1 1 为(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)共 4 种,而总共有 4×4=16(种),故 P= = .答案: 16 4 4 7.有一个奇数列 1,3,5,7,9,?,现在进行如下分组,第一组有 1 个数为 1,第二组有 2 个数为 3、5,第三组有 3 个数为 7、9、11,?,依此类推,则从第十组中随机抽取一个 数恰为 3 的倍数的概率为________. 解析:由已知可得前九组共有(1+2+3+?+9)=45(个)奇数,第十组共有 10 个奇数且 依次构成公差为 2 的等差数列,且第一个奇数为 a1=1+2×(46-1)=91,所以,第十组的 奇数为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字,其中恰为 3 的倍数的 3 3 数有 93,99,105 三个,故所求概率为 P= .答案: 10 10 8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x、y,则满足 log2xy=1 的概率为________. 解析: 由 log2xy=1 得 y=2x, 满足条件的 x、 y 有 3 对, 而骰子朝上的点数 x、 y 共有 6×6 3 1 1 =36,∴概率为 = .答案: 36 12 12 9.(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2 +bx+c=0 有实根的概率为____________. 解析:一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实根的充要条件为 b2≥4c. b 1 2 3 4 5 6 2 使 b ≥4c 的基本事 0 1 2 4 6 6 件个数 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的概 19 19 率为 P= .答案: 36 36 10.如图,四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形,若每个小三角形用 4 种不同颜 色中的任一种涂染,求出现相邻三角形均不同色的概率. 解:若不考虑相邻三角形不同色的要求,则有 44=256(种)涂法,
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下面求相邻三角形不同色的涂法种数:①若△AOB 与△COD 同 色,它们共有 4 种涂法,对每一种涂法,△BOC 与△AOD 各有 3 种涂 法,所以此时共有 4×3×3=36(种)涂法.②若△AOB 与△COD 不同 色,它们共有 4×3=12(种)涂法,对每一种涂法△BOC 与△AOD 各有 2 种涂法, 所以此时有 4×3×2×2=48(种)涂法. 故相邻三角形均不同 36+48 21 色的概率 P= = . 256 64 11. 在数学考试中, 小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0. 18, 在 80~89 分的概率是 0. 51, 在 70~79 分的概率是 0.15,在 60~69 分的概率是 0.09,计算小明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率. 解:设小明的数学考试成绩在 90 分及以上,在 80~89 分,在 70~79 分,在 60~69 分分别为事件 B,C,D,E,这 4 个事件是彼此互斥的. 根据互斥事件的加法公式,小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B+C)=P(B)+ P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率,即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件,所以小明考试不及格的概率为 1- P(B+C+D+E)=1-0.93=0.07. 12.盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取 2 次,每次只取 1 只, 试求下列事件的概率:(1)取到的 2 只都是次品;(2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只;(3)取 到的 2 只中至少有 1 只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次,每次只取 1 只,共有 62=36(种)不同取法. 4 1 (1)取到的 2 只都是次品的情况有 22=4(种),因而所求概率为 P= = . 36 9 (2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能:第一次取到正品,第二次取到次 品;第一次取到次品,第二次取到正品,所以所求的概率为 4×2 2×4 4 P= + = . 36 36 9 (3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品”的对立事件, 1 8 因而所求的概率为 P=1- = . 9 9

第二节 概率的应用
A组 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 . 解析:当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法;当取出的小球标注的 数字之和为 6 时,有{1,5},{2,4}两种取法,所以符合条件的取法种数为 3 种,而所有的 3 3 取法有 10 种,故所求的概率为 .答案: 10 10 → → → 2. 已知 k∈Z, AB=(k, 1), AC=(2, 4), 若|A B |≤4, 则△ABC 是直角三角形的概率为________. 解析:|A B |≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3. B C =(2-k,3).若 A B · B C =-k2+2k+3=0,则 k=-1,k=3;若 B C · A C =0,则 3 3 → → k=8(舍);若 A B · A C =0,则 k=-2.故 P= .答案: 7 7 3.(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分 别标有数字 1,4 的 2 张卡片.若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张卡片上的数 字之和为奇数的概率是________. 解析:数字之和为奇数的有(1,4),(2,1),(4,1),(7,4)共 4 种情形,而从两个盒子
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1 1 中各抽取一张卡片共有 8 种情况,所以所求概率为 .答案: 2 2 4. (2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿, 它们的长度(单位: m)分别为 2. 5, 2. 6, 2. 7, 2. 8, 2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 解析:在 5 个长度中一次随机抽取 2 个,则有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8), (2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9), (2.8,2.9),共 10 种情况.满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8),(2.6, 2 1 1 2.9),共 2 种情况,所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 P= = .答案: 10 5 5 5.(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中,A B 与 a 同向,C B 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是________. 解析:要使∠ABC 是钝角,必须满足 A B · C B <0,即 a· b=n-m>0.连掷两次骰子所得 5 点数 m,n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是 . 12 6.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色 1 球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球,2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取 出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率. x 1 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得 = ,解得 x=4,∴红色球有 4 个. 24 6 (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A, 所有的基本事件有(红 1, 白 1), (红 1, 蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 个.事件 A 包含的基 本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 个, 5 所以 P(A)= . 12





→ →

B组 1.(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k,k+1,其 中 k=0,1,2,?,19.从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字 之和(例如:若取到标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不 小于 14”为 A,则 P(A)=________. 解析:对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况: 1 (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19),而基本事件有 20 种,因此 P(A)= . 4 1 答案: 4 2.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形,则按此规律第 100 个图形 中有白色地砖________块; 现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中, 则豆子落在白色地砖上 的概率是________.

解析:白色地砖构成等差数列:8,13,18,?,5n+3,?

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503 ∴an=5n+3, a100=503, 第 100 个图形中有地砖 503+100=603, 故所求概率 P= . 答 603 503 案:503 603 3.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平 面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N), 若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为________. 解析:分别从 A 和 B 中各取 1 个数,一共有 6 种等可能的取法,点 P(a,b)恰好落在直 线 x+y=2 上的取法只有 1 种:(1,1);恰好落在直线 x+y=3 上的取法有 2 种:(1,2),(2, 1);恰好落在直线 x+y=4 上的取法也有 2 种:(1,3),(2,2);恰好落在直线 x+y=5 上的 1 1 1 1 取法只有 1 种:(2,3),故事件 Cn 的概率分别为 , , , (n=2,3,4,5),故当 n=3 或 6 3 3 6 4 时概率最大.答案:3 和 4 4.先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中,有放回地随机抽取 2 个球,则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________. 解析:基本事件共有 4×4=16 个,其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),共 10 10 5 5 种,所以所求概率为 = .答案: 16 8 8 5.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b,向量 m=(a,b),n=(1,-2),则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________. 解析:显然 m· n=a-2b=0,所有可能的结果为(a,b)=(2,1)、(4,2)、(6,3).基本 1 1 事件总数为 36,则概率为 .答案: 12 12 6.(2010 年南京高三调研)如图,将一个体积为 27 cm3 的正方体木 块表面涂上蓝色,然后锯成体积为 1 cm3 小正方体,从中任取一块, 则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 . 解析:据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体 的各条棱的中点时满足条件. 正方体共 12 条棱, 所以两面涂色的小 正方体有 12 个,而所有小正方体有 27 个,所以,所求的概率为 P 12 4 4 = = .答案: 27 9 9 7.集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中任取 一元素 n,则所取两数 m>n 的概率是________. 解析:基本事件总数为 25 个.m=2 时,n=1;m=4 时,n=1,3;m=6 时,n=1,3, 15 5;m=8 时,n=1,3,5,7;m=10 时,n=1,3,5,7,9;共 15 个.故 P= =0.6.答 25 案:0.6 8.集合 A={(x,y)|y≥|x-1|},集合 B={(x,y)|y≤-x+5}.先后掷 两颗骰子,设掷第一颗骰子得点数记作 a,掷第二颗骰子得点数记作 b,则(a,b)∈A∩B 的概率等于 . 解析:如图:满足(a,b)∈(A∩B)的(a,b)值共有 8 个,(1,1), 8 (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2).∴P= 6×6 2 2 = .答案: 9 9 9.(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x, y) ,则当 x , y∈Z 时, P 满足 (x - 2)2 + (y - 2)2≤4 的概率为 ________. 解析:由|x|≤2,|y|≤2,x、y∈Z,则基本事件总数为 n=25, P 满足(x-2

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