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江西省上饶市2014届高三1月第一次高考模拟考试数学(文)试卷


上饶市 2014 届第一次高考模拟考试 数学(文科)试题卷
命题人: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 l 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分.

第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案 无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卷一并收回. 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确答案) -3+i 1.复数 z= 的虚部是( ) 2+i A.1 B.-I C.i D.-1 2..已知集合 A ? { x || x |? 2}, B ? { y | y ? 2 x ? 1} ,则 A ? B ? ( A. ( ?? ,?2] ? [2,?? ) B. (-? ,-2] ? (1,?? ) ) ) C. [2,?? ) D. (1,?? )

3.已知 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a 3 ? 2a 2 ”的(

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.38+2π B.38-2π C.38-π D.38 5.已知数列{ a n }是等差数列,若 和 S n 有最大值,那么 Sn ? 0 时

a7 ? ? 1 ,且它的前 n 项 a6



n 取得最大值为( )

A.7 B.11 C.12 D.13 6.已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f (x)的导函数,函数 y=f′(x) 的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( ) A.(2,3)∪(-3,-2) B.(- 2, 2) C.(2,3) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 7.已知函数 f(x)=sin(2 ? x ? ? )的部分图象如图所示,点 B,C 是 该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则

BC 的值为( ( BD ? BE )·
A.

??? ? ??? ?

??? ?

) C.1 D.2

1 4

B.

1 2

?x? y?4? 0 ? 8、 若函数 y ? log 3 x 的图像上存在点 ( x, y ) , 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 , 则实数 m 的最大值为 ( ? y?m ?
A.



1 2

B. 1
2

C.

3 2

D. 2 .

9..设 F 是抛物线 C ( p ? 0) 的焦点, 点 A 是抛物线与双曲线 C 2 px 1: y ? 2: 的一条渐近线的一个公共点,且 AF 轴,则双曲线的离心率为( ? x A. 2 B . )

x2 y2 a ? 0 , b ? 0 ) ? ?1 ( a2 b2

3

C.

5

D.

5 2

10.某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况, 小车从 点 A 出发的运动轨迹如图所示.设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的 视角为 θ=∠AOP(>0),练车时间为 t,则函数 θ=f(t)的图象大致 为( )

A

B.

C.

D.

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、按照如图的程序框图执行,输出的结果是__ _.
开始

1 ? 2an , 0 ? an ? ; ? 6 ? 2 , 12. 若数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? a1 ? ,则 a20 的值 7 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1. n n ? 2 ? 为 p 13.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的 x-1 9 最小值为 4,则实数 p 的值为___答案: _____. 4 14.若在区间(-1,1)内任取实数 a,在区间(0,1)内任取实数 b,

k=1,S=0

k>16? 否 S=S+k



输出S

k=2k

结束

第 11 题

则直线 ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相交的概率为
x ? 2 ? 1 ,x < 2 , ? 15.已知函数 f ? 有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 x 若 方 程 f? x a ? 0 ?? ?? ?3 ? 2 , ? ,x x ? 1 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.其中第 16—19 小题每题 12 分, 第 20 题 13 分,第 21 题 14 分). 16.(12 分) (本小题 12 分)已知向量 a ? (2 sin x, sin x ? cos x) , b ? (cos x, 3 (cos x ? sin x)) , 函数 f ( x) ? a ? b ? 1 (1) 当 x∈ ?

?? ? ? , ? 时,求 f(x)的值域;并求其对称中心。 ?4 2?

(2) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若将 f(x)向左平移 求△ABC 面积最大值

? B 个单位, 且 b ? 5, f ( ) ? 3 , 2 4

17. (12 分)17.2013 年 1 月份,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与 PM 2.5 有关. 也称为可入肺颗粒物. PM 2.5 日均值越小, 空气质 PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 量越好. 2012 年 2 月 29 日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:
PM 2.5 日均值 k(微克)
k ? 35

空气质量等级 一级 二级 超标

35 ? k ? 75 k ? 75

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的 30 天中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天 的 PM 2.5 日均值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶) (Ⅰ)分别求出甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样本平均数,据此判断哪个市的空气质量较好; (Ⅱ)若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气超标的概率.

n? 6 n ? 7 18.(12 分)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 。 n?
2

⑴求数列 { a n } 的通项公式; ⑵设 b n ?

an ,且数列 { b n } 的前 n 项和为 B n ,求前 9 项和 B 9 的值。 2n

0 19. (12 分)如图 (1) ,BC=6 ? ACB ? 45

过 A 作 AD ,垂足 D 在线段 BC 上 ? BC 且异于点 B,沿 AD 将 ? 折起,组 ABD 成三棱锥A-BCD,过点 D 作 , 且点 E 为三角形 ABC DE ? 平面 ABC 的垂心。 (1)求证: ? BDC 为直角三角形。 (2)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大?并求出其最大值。

x2 y2 20.(13 分)设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直线交 a b
椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

8 PQ 5

21.(14 分).已知函数 f( x )? x ?

2 2 a ) ? a ln x ( (a?R x

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ,当 a=1 时,若对任意的 x ,都有 f( ,求实 ( x ) ? x ? 2 bx ? 4 ? ln 2 ? ? x ) ? g ( x ) , x ? 1 , e 1 2 1 2
2

数 b 的取值范围。 (3)求证: ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 n ? ? ... ? ? 2 3 n n ?1

上饶市 2014 届第一次高考模拟考试数学(文科) 试卷答案及评分标准
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 9 C 10 D

二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 5 5 9 11.31 12. 13. _ 14. 15.(0,1) 4 7 16 三、解答题:共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. π? 16、解:(1)f(x)=sin2x- 3cos2x+1=2sin? ?2x-3?+1-------------------------------2 分 π π π π π 2π ∵ <x< ,∴ <2x<π,∴ <2x- < ,---------------------------------------------3 分 4 2 2 6 3 3 π π π 1 2x- ?≤1,∴1<2sin?2x- ?≤2,于是 2<2sin?2x- ?+1≤3, ∴ <sin? 3 3 3? ? ? ? ? ? 2 ∴f(x)的值域为(2,3]-----------------------------------------------------------------------5 分 对称中心 (

k? ? ? ,1) -------------------------------------------------------------------6 分 2 6

(2) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

) ? 1 平移后 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 3 6

?

B ? f( )?3 2

? 2sin( B ? ) ? 1 ? 3 -------------------------------------------------------------------8 分 6
? sin( B ? ) ? 1, B ? 6 3 2 2 据余弦定理 a ? c ? ac ? 25 ? ac ? ac ? 25 3 25 3 ? s? ? ac ? ----------------------------------------------------------------------12 分 4 4
17、 解: (Ⅰ) 甲市抽取的样本数据分别是 34,42,67,71,79,85; 乙市抽取的样本数据为 31,48,45,65,73,86.
x甲 ? 34 ? 42 ? 67 ? 71 ? 79 ? 85 31 ? 48 ? 45 ? 65 ? 73 ? 86 ? 63 , x乙 ? ? 58 . 6 6

?

?

?

因为 x甲 ? x 乙 ,所以乙市的空气质量较好.

6分

(Ⅱ) 由茎叶图知, 甲市 6 天中有 4 天空气质量未超标, 有 2 天空气质量超标, 记未超标的 4 天数据为 a, b, c, d , 超 标 的 两 天 数 据 为 m, n , 则 6 天 中 抽 取 两 天 的 所 有 情 况 为 : ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ,基本事件总数为 15.记质量超标”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为: am, bm, cm, dm, an, bn, cn, dn ,事件数为 8. 所以 P( A) ?
8 . 即恰有一天空气质量 15

超标的概率为

8 .-----------12 分 15

18.⑴当 n ? 1 时, a 1 ?A 1 ?2 当 n ? 2 时, a ? n ? 6 n ? 7 ? ( n ? 1 ) ? 6 ( n ? 1 ) ? 7 ? 2 n ? 7 n
2 2

?4 ? an ? ? ?4n ? 1

n ? 1 n ? 2
n ? 1

?2 an ? ? ?2n ? 7

n ? 1 n ? 2

?1 an ? ? bn ? n ? ? 2n ? 7 2 ? ? 2n

n ? 2 ------------------------------------6 分

⑵当 n ? 1 时, B 1 ?b 1 ?1

? 3? 11 2 n ? 7 ① 2 22 2 1 1 ?? 31 29 n ? 27 n ? ② ? B ? ??? ? ? ? n 3 4 n ? 1 2 2 22 2 n 2 1 1 ? 3 1 1 27 n ? ? ?? 2 ( ? ? ? ) ? ? ①-②得, B n 2 2 n n ? 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 n ? 7 ? ?? ( ?n ) ? n ? 1 ? 1 4 22 2 1 2n ? 3 ? ? n ?1 4 2
当 n ? 2 时, B ? 1 ? ? ? ?? ?n n 2 3 4

1 2 n ? 3 1 15 241 ? B n ? N * ) B ? 9? ? n? ? n ( 2 2 2 512 512 ---------------------------12 分

19.答案: (1)

证明:连接CE并延长,使CE ? AB ? F, ? 点E为垂心, ? CE ? AB,又? DE ? 平面ABC。 ? DE ? AB; ? AB ? 平面CDF, ? AB ? CD; ? CD ? AD, ? CD ? 平面CDF,即CD ? DB ? ?BDC ? 900
-------------6 分 (2)设 CD=x,所以 AD=x,即三棱锥A-BCD的体积 V ? x2(6?x )

1 6

1 2 1 ' V ?( ? 3 x ? 12 x ) ? ?x ( x ? 4 ) 6 2

即当 x=4 时,三棱锥A-BCD的体积最大。 Vmax ?

16 3 -----------------12 分

20..解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)

A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x 0 ,?b)

b2 ? FA ? AQ,? cx0 ? b ? 0, x0 ? c
2

设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

8 8b 2 5 , y1 ? b PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ) ( b) 2 ? 13 2 ? 1 因为点 P 在椭圆上,所以 13c a2 b (
整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=
2 2 2

1 .------6 分 2

b2 3 ⑵由⑴知 2b ? 3ac,得 ? a; c 2
2



c 1 1 ? ,得c ? a , a 2 2

1 3 a,0) , Q ( a,0) 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为( a,0) ,半径 r= |FQ|=a 2 2 1 | a?5| 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2
于是 F(-

x2 y2 ? ? 1 .--------------------12 分 所求椭圆方程为 4 3
21

?上单调递增,当 a>0 时,f(x)在 ?0,2a?上单调递减,在 ?2 ? 答案(1)当 a=0 时,f(x)在 ? 0 ,?? a ,??
上单调递增。-----------3 分 (2)当 a=1 时, f (x ,所以当 a=1 时, f (x ,所以 f 。 ( x ) ? 3 ? ln 2 )?x? ? ln 2 )?x? ? ln 2 min

2 x

2 x

? ln 2 ? x ? 2 bx ? 4 ? ln 2 又 有 题 意 可 得 f( 对任意的 x ? ?恒 成 立 。 即 ? 1 ,e x ) ? g ( x )恒 成 立 , 即 3 min
2

1 1 ? ?上单调递增,于是 b ? e ? 1 。----------5 分 ? 1 ,e 2b ? x ? ,又因为 y ? x ? 在 x x x e
(3)

1 1 1 3 当a ? 时,即有x ? ? ln x ? , 2 2x 2 2 k ?1 k ?1 2 1 取x ? 时,即ln ? ? k k k k ?1 2 2 1 3 2 1 n ?1 2 1 ? ln ? ? , ln ? ? ,....,ln ? ? 1 1 2 2 2 3 n n n ?1 叠加,得
ln( n ? 1) ? 1 ?
-------------6 分 1 1 1 n ? ? ... ? ? 2 3 n n ?1


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