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安徽省铜陵市第五中学2014届高三下学期期中考试数学试题


安徽省铜陵市第五中学 2014 届高三下学期期中考试数学试题
一、填空题(25 分)

1、已知正实数 x、y、z 满足 2x

=yz,则

的最小值为________.

2、设常数 a>0,若 9x+

≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为_

_______.

3、设正项等差数列{an}的前 2 011 项和等于 2 011,则

的最小值为________.

4、数列

满足

,



.

5、已知数列

中,

,

,

,



……

=

.

二、选择题(25 分)
6、已知等差数列{ }的前 项和为 ,且 ,则 ( )

A.

B.

C.

D.

7、在等比数列{an}中, A.4 B .5 中, B.3 满足 C.4 C.6

· D.7 ,则

且前 n 项和

,则项数 n 等于





8、在等差数列 A.2 9、设非零实数

的值为(



D.5 )

,则下列不等式中一定成立的是(

A.

B.

C.

D.

10、设函数

是定义在

上的可导函数,其导函数为 的解集为
1

,且有

,则不等式

A.

B.

C.

D.

三、简答题(50 分)

11、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 m 的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果 池四周围墙建造单价为 400 元/m ,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m ,池底建造单价为 80 元/m ,水池所有墙的厚 度忽略不计. (1) 试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2) 若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
2 2 2

2

12、如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1) 现有可围成 36m 长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大? (2) 若使每间虎笼的面积为 24m ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小?
2

13、

(1) 已知 x<

,求函数 y=4x-2+

的最大值;

(2) 已知 x>0,y>0 且

=1,求 x+y 的最小值.

14、已知

为锐角,且

,函数

,数列

的首项



.

(1)求函数

的表达式;(2)求数列

的前 项和



2

参考答案
一、填空题

1、

.

2、

解析:9x+ 3、2

≥2

=6a,所以 6a≥a+1,即 a≥

.

解析:由题意得 S2 011= ∴ a1+a2 011=2.

=2 011,

又 a2+a2 010=a1+a2 011=2,







(a2+a2 010)=

+1≥2.

4、 5、

【解析】:



,∴



……

……

所以 …… =

三、选择题
3

6、A 7、C 8、A 【解析】 试题分析:设等差数列 则 . 的公差为 ,则 ,

考点:等差数列的运算. 9、D 10、

【解析】 : 由 则当 时, , ,即

, 在

得: 是减函数, ,

, 即

, 令 ,





是减函数,所以由

得,

,即

,故选

二、简答题

11、解:(1) 设污水处理池的宽为 x m,则长为

m.

总造价为 f(x)=400×

+248×2x+80×162=1 296x+

+12 960=1 296

+1

2960≥1 296×2

+12 960=38 880 元.当且仅当 x=

(x>0),即 x=10 时取等号.∴ 当长为 16.2 m,

宽为 10 m 时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.

(2) 由限制条件知

∴ 10

≤x≤16.设 g(x)+x+

,由函数性质易知 g(x)在

上是增函数,∴ 当 x=10

时(此时

=16),g(x)有最小值,即 f(x)有最小值 1 296×



12 960=38 882(元).∴ 当长为 16 m,宽为 10 12、解:(1) 设每间虎笼长为 xm,宽为 ym,

m 时,总造价最低,为 38 882 元.

4



面积 S=xy.

由于 2x+3y≥2

=2

,所以 2

≤18,得 xy≤

,即 S≤

,当且仅当 2x=3y 时取等号.

则 所以每间虎笼长、宽分别为 4.5m、3m 时,可使面积最大. (2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为 lm,则 l=4x+6y,且 xy=24,所以 l=4x+6y=2(2x+3y)≥2×2 4 =4× =48(m),当且仅当 2x=3y 时取等号. =

故每间虎笼长、宽分别为 6m、4m 时,可使钢筋网的总长最小为 48m.

13、解:(1) x<

,∴ 4x-5<0.

∴ y=4x-5+

+3=-[(5-4x)+

]+3

≤-2

+3=1,ymax=1.

(2) ∵

x>0,y>0 且



=1,



x+y=(x+y)

=10+



≥10+2

=16,即 x+y 的最小值为 16.

14、(1)由



是锐角,

(2)



5

,

(常数)

是首项为

,公比

的等比数列,





6


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