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2012高二数学下学期期末考试试题1


2012 高二数学下学期期末考试试题 1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟.祝各位同学考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若 a , b ? ( 0 , ? ? ) ,则“ a ? b ? 1 ”

是“ ab ? 1 ? a ? b ”的(
2 2

) .

(A)必要非充分条件; (B)充分非必要条件; (C)充要条件; (D)既不充分也不必要条件. 2.经过点(0,0) ,且与以(2,-1)为方向向量的直线垂直的直线方程为( (A) x ? 2 y ? 0 ; (C) 2 x ? y ? 0 ; (B) x ? 2 y ? 0 ; (D) 2 x ? y ? 0 .
2 2

) .

3.已知动点 P( x , y )满足 ( x ? 1) ? y

? x ? y ,则点 P 的轨迹是(

) .

(A)椭圆; (B)双曲线; (C)抛物线; (D)两相交直线. 4. (文科)给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果两条直线同垂直一个平面,那么这两条直线平行. 其中真命题的个数是( ) . (A)4; (B)3; (C)2; (D)1. (理科)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l ( ) . (A)平行; (B)相交; (C)垂直; (D)互为异面直线. 5. 若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 1 ? a 的解集为 ? , 则实数 a 的取值范围为 ( (A) (?? , 2 ) ; (B) ( ?? , 2 ] ; (C) ( 2 , ? ? ) ; ) .

(D) [ 2 , ? ? ) .

6.已知直线 l : y ? ax ? 2 与以 A(1,4) 、B(3,1)为端点的线段相交,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? ?
1 3
2

) . ; (B) ?
1 3
2

? a ? 2 ; (C) a ? 2 ; (D) a ? ?

1 3

或a ? 2 .

7.已知圆 C: ( x ? a ) ? ( y ? 2 ) ? 4 ( a ? 0 ) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 .当直线 l

被圆 C 截得的弦长为 2 3 时,则 a ? ( (A) 2 ; (B) 2 ?
2;

) . (C) 2 ? 1 ; (D) 2 ? 1 .

2 8. 已知点 A (3, , 为抛物线 y ? 2 x 的焦点, P 在抛物线上移动, PA ? PF 2) F 点 当

取得最小值时,点 P 的坐标是( ) . (A) (0,0) ; (B) (2,2) ; 9. (文科)已知 a ? 0 , b ? 0 , (A) 4 2 ;
1 a ? 2 b

(C) (-2,-2)

(D) (2,0) . ) .

? 1 ,则 a ? b 的最小值是(

(B) 3 ? 2 2 ;
x
2

(C) 有(

2 2 ;

(D)5.

(理科)已知 x ? 4 ,则 y ? (A)最大值
5 4

? 4x ? 5 2x ? 4

) . (D)最小值 1.

; (B)最小值
x
2

5 4



(C)最大值 1;

10.点 P 是双曲线

?

y

2

4

12

? 1 上的一点, F1 和 F 2 分别是双曲线的左、右焦点,

PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 ? F1 PF 2 的面积是(

) . (C)8;
?

(A)24;

(B)16;

(D)12.

11.如图 1,PA⊥平面 ABC,∠ACB= 90 ,且 PA =AC=BC= a ,则异面直线 PB 与 AC 所成的角是( (A) arctan
1 2
2 3
x a
2 2

) .
P
2 ;

; (B) arctan

(C) arctan

; (D) arctan

3.

A B

C

图1

12. (文科)已知椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左,右焦点分别为 F1 、 F 2 ,点 P

在椭圆上,且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则此椭圆的离心率的最小值为( (A)
2 3

) . (D)
1 4



(B)

1 2


x
2

(C)
y
2

1 3





(理科)已知 E、F 是椭圆

?

? 1 的左、右焦点, l 是椭圆的一条准线,点 P

4

2

在 l 上,则∠EPF 的最大值是( (A) 15 ;
? ?

) . (C) 45 ;
?

(B) 30 ;

(D) 60 .

?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13. m , n 是空间两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下面有四个命题: ①若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n ; ②若 m ? n , ? // ? , m ? ? ,则 n // ? ; ③若 m ? n , ? // ? , m // ? ,则 n ? ? ; ④若 m ? ? , m // n , ? // ? ,则 n ? ? . 其中真命题的编号是
2 2

. (写出所有真命题的编号)

14.对于圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任一点 P ( x , y ) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,则实 数 m 的取值范围 .

?x ? y ? 1 , ? 15. x , y 满足约束条件: 2 x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 设 ? ?x ? 2 y ? 0 , ?
2 2



16.已知抛物线 x ? 2 xy ? y ? 8 x ? 8 y ? 0 的对称轴为 x ? y ? 0 ,焦点为(1, , 1) 则此抛物线的准线方程是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (12 分)设 a ? 0 ,解关于 x 的不等式:
2

a ( x ? 2) x ?1

? 1.

18. (12 分)过抛物线 y ? 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点 A、B, 经过点 A 和抛物线顶点的直线交准线于点 M. 求证: (Ⅰ) y A y B ? ? p ;
2

P

(Ⅱ)直线 MB 平行于抛物线的对称轴. 19. (12 分)如图 2,已知四边形 ABCD 为矩 形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:MN⊥CD.
B

N A M C D

(Ⅱ)在棱 PD 上是否存在一点 E,使得 图2 AE∥平面 PMC?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 20. (12 分)如图 3,过圆 x ? y ? R 上的动
2 2 2

点 P 向圆 x ? y ? r ( R ? r ? 0 )引两条切线
2 2 2

PA、PB,切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M、N 两点,求△MON 面积的最小值. 21. (12 分)已知 a , b ? R , x ? 1 , 求证: x a ? (
2 2

A M O B P x

x x ?1

) b

2

2

? (a ? b) .
2

N

22. (14 分)文科做(Ⅰ)(Ⅱ) 、 ;理科做(Ⅰ)(Ⅲ) 、 . 已知点 B(2,0) OA ? ( 0 , 2 2 ) ,O 为坐标原点,动点 P 满足 ,
OP ? OA ? OP ? OA ? 4 3 .

图3

(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 m 为何值时,直线 l : y ? 满足 BM ? BN ? (Ⅲ)是否存在直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 ) 与轨迹 C 相交于不同的两点 M、N,且满 足 BM ? BN ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
3 x ? m 与轨迹 C 相交于不同的两点 M、N,且

答案与提示:
一、选择题 1—5 BDBCB; 提示:
2 2

6—12

BCBBD

BB.

1.由 a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ? (1 ? a )( 1 ? b ) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b ; 反之由 (1 ? a )( 1 ? b ) ? 0 不能推得 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 . 故“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的充分非必要条件.选(B) .
2 2

2.由题设知已知直线的斜率为 ?

1 2

,∴所求直线的斜率为 2;

又所求直线过原点,故 2 x ? y ? 0 为所求.选(D) . 3.由题设知动点 P 到定点(1,0)的距离和它到定直线 x ? y ? 0 的距离的比是常 数 2 ,根据双曲线的第二定义可得点 P 的轨迹为双曲线.选(B) . 4. (文科)①、④正确,选(C) . (理科)对于任意的直线 l 与平面 ? ,若 l 在平面 ? 内,则存在直线 m⊥ l ; 若 l 不在平面 ? 内,且 l ⊥ ? ,则平面 ? 内任意一条直线都垂直于 l ; 若 l 不在平面 ? 内,且 l 与 ? 不垂直,则它的射影在平面 ? 内为一条直线,在平面 ? 内必有直线 m 垂直于它的射影,则 m ⊥ l .故选(C) . 5.由 x ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) ? ( x ? 1) ? 2 知 a ? 2 .选(B) . 6.由 A(1,4) 、B(3,1)在直线 l 上或其异侧得 ( a ? 2 )( 3 a ? 1) ? 0 . 解得 ?
1 3 ? a ? 2 .选(B) .

7. 设截得的弦为 AB, 圆心为 C (a , 2 ) , CH ? AB 于 H, 作 则由平几知识得 CH ? 1 .
a?2?3 2

由此得 CH ?

? 1 ,解得 a ?

2 ? 1 .选(C) .

8.点 A 在抛物线含焦点区域,过 A 作 AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点 P,则 由抛物线的定义知点 P(2,2)为所求点.选(B) .

9. (文科) a ? b ? ( a ? b )(

1 a

?

2 b

) ? 3?

2a b
x
2

?

b a

? 3 ? 2 2 ,选(B) .
? 1 2 (t ? 1 t ).

(理科)令 t ? x ? 2 ( t ? 2 ) ,则 f ( t ) ?

? 4x ? 5 2x ? 4

f (t ) 在 [ 2 , ?? ) 上是单调递增函数,故 y 的最小值是 f ( 2 ) ?

5 4

.选(B) .

10.由 PF 1 ? PF 2 ? 0 得 PF 1 ∴ S ? F PF ?
1 2

2

? PF 2

2

? 4c

2

? 64 , PF 1 ? PF 2 ? ? 2 a ? ? 4 .

1 2

PF 1 ? PF 2 =12.选(D) .

11.如图,过 B 作 BD∥CA,且满足 BD=CA, 则∠PBD 为 PB 与 AC 所成的角. 易得四边形 ADBC 为正方形, 由 PA⊥平面 ABC 得 BD ? PD. 在 Rt△PDB 中, PD ?
DB ? a , tan ? PBD ?

P

A D B

C

2a ,
PD DB ? 2 .选(B) .

12. (文科)由题设和焦半径公式得 2 a ? PF 1 ? PF 2 ? 4 PF 2 ? 4 ( a ? ex P ) .
0 ? x P ? a .∴ a ? 2 ex P ? 2 ea .即 e ?
1 2

.选(B) .

(理科)不妨设右准线 l 交 x 轴于点 A,由平几知识知过 E、F 的圆且与 l 相切于点 P 时,∠EPF 最大.由圆幂定理得 AP
? ?

2

? AE ? AF ? 3 2 ?
?

2 ? 6.

易得∠FPA= 30 ,∠EPA= 60 ,从而∠EPF= 30 为所求最大值,故选(B) . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.①、④; 14. [ 2 ? 1 , ? ? ) ; 15.
5 3



16. x ? y ? 2 ? 0 .

提示:13.②、③为假命题;①、④为真命题. 14.设点 P (cos ? , 1 ? sin ? ) ,由题设得 cos ? ? 1 ? sin ? ? m ? 0 . 即 ? m ? u ? cos ? ? 1 ? sin ? 恒成立.而 u ? ∴? m ? 1?
2 .故 m 的取值范围为 [
2 sin( x ?

?
4

)?1?1?

2,

2 ?1, ? ? ) .

y 2x-y=0 x-2y=0 x

15.如图,作出不等式表示的可行域(阴影部分) 和直线 l : 2 x ? y ? 0 ,将 l 向右上方平行移动,使其经过可
A

O x+y=1 2x+y=0

行域内的点A ( 故当 x ?
2 3

2 3

,

1 3 1 3

) 时, z ? 2 x ? y 取得最大值.

,y ?

时, z max ?

5 3



16.对称轴 x ? y ? 0 与抛物线的交点(0,0)为抛物线的顶点,且抛物线的准线垂 直于对称轴,焦点(1,1)关于顶点(0,0)的对称点(-1,-1)在准线上,故所求 准线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 三、解答题 17.不等式整理得
( a ? 1) x ? ( 2 a ? 1) x ?1
( a ? 1)( x ?

? 0.
) ? 0 .?????(3 分)

2a ? 1 a ?1

当 a ? 1 时,不等式为 ①当 0 ? a ? 1 时,
( ?? , 2a ? 1 a ?1 2a ? 1 a ?1

x ?1

? 1 ,原不等式解集为

) ? (1 , ? ? ) ;?????(6 分)

②当 a ? 1 时,不等式解集为 (1 , ? ? ) ;?????(9 分) ③当 a ? 1 时,
2a ? 1 a ?1 ? 1 ,原不等式解集为 (1 , p 2 2a ? 1 a ?1
2

) .?????(12 分)

18. (Ⅰ)AB 方程为 x ? my ?
y ? 2 pmy ? p
2 2

,代入抛物线 y ? 2 px 方程得

? 0 .?????(3 分)
2

由韦达定理得 y A y B ? ? p .?????(5 分) (Ⅱ)OA 方程为 y ?
yA xA x ,与准线方程联立解得 M ( ? p ? py A , ) .???(8 分) 2 2xA

∴ yM ?

? py 2xA

A

?

? p yA
2

yA

2

?

? p yA

2

?

? p ? p yB

2 2

? y B .?????(11 分)

故直线 MB 平行于抛物线的对称轴.?????(12 分) 19. (Ⅰ)取 AC 的中点 O,连结 NO,MO, 由 N 为 PC 的中点得 NO∥PA.?????(2 分) 又 PA⊥平面 ABCD,∴NO⊥平面 ABCD.?????(4 分)

又∵OM⊥AB,由三垂线定理得 AB⊥MN. 又∵CD∥AB,∴MN⊥CD.?????(6 分) (Ⅱ)存在点 E,使得 AE∥平面 PMC. 此时点 E 为 PD 的中点.?????(8 分) 证明如下:取 PD 的中点 E,连结 NE, 由 N 是 PC 的中点得 NE∥CD, NE ? 又 MA ∥CD, MA ?
1 2 CD , 1 2 CD .

P E N A O M B C D

∴MA∥NE,MA=NE. 由此可知四边形 MNEA 是平行四边形, ∴AE∥MN. 由 MN ? 平面 PMC, AE ? 平面 PMC, ∴AE∥平面 PMC.?????(12 分) 20.设 P ( x 0 , y 0 ) 为圆 x ? y ? R 上任一点,则
2 2 2

x 0 ? R cos ? , y 0 ? R sin ? .

由题设知 O、A、P、B 在以 OP 为直径的圆上,该方程为
(x ? x0 2
2

) ? (y ?
2

y0 2
2

)

2

? (

x0 ? y0
2

2

) .?????(4 分)

2

2
2

而 AB 是圆 x ? y ? r 和以 OP 为直径的圆的公共弦,将这两圆方程相减得 直线 AB 的方程为 x 0 x ? y 0 y ? r .
2

∴M (

r

2

, 0 ) , N (0 ,

r

2

) .?????(8 分)

x0
S ? MON ? 1 2

y0
OM ? ON ? r
4

?

r

4

2 x0 y0

2 R cos ? ? R sin ?

?

r
2

4

R sin 2?

?

r R

4 2



故△MON 面积的最小值为

r R

4 2

.?????(12 分)
2x ?1 ( x ? 1)
2

21.∵ x a ? (
2 2

x x ?1

) b ? ( a ? b ) ? ( x ? 1) a
2 2 2
2

2

?

b ? 2 ab ,??(3 分)
2

∵ x ? 1 ,∴

2x ?1 ( x ? 1)
2

?

1 x ?1
2

?

2x

2 2

( x ? 1)( x ? 1)

? 0,



2x ?1 ( x ? 1)
2

?

1 x ?1
2

.?????(6 分)

∴ ( x ? 1) a ?
2 2

2x ?1 ( x ? 1)
2

b ? 2 ab ? ( x ? 1) a
2

2

2

?

1 x ?1
2

b ? 2 ab
2

? 2

x ? 1) a ?
2 2

1 x ?1
2

b

2

? 2 ab ? 2 ab ? 2 ab ? 0 ,?????(11 分)

故x a ? (
2 2

x x ?1

) b

2

2

? ( a ? b ) .?????(12 分)
2

22. (Ⅰ) 设点 P ( x , y ) , OP ? OA ? ( x , y ? 2 2 ) ,OP ? OA ? ( x , y ? 2 2 ) . 则 由题设得 x ? ( y ? 2 2 ) ?
2 2

x ? (y ? 2 2)
2

2

? 4 3 .???(3 分)

即点 P 到两定点(0, 2 2 )(0,- 2 2 )的距离之和为定值 4 3 ,故轨迹 C 是 、 以(0, ? 2 2 )为焦点,长轴长为 4 3 的椭圆,其方程为
x
2

?

y

2

? 1 .??(6 分)

4

12

(Ⅱ)设点 M ( x 1 , y 1 ) 、N ( x 2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点为 M 0 ( x 0 , y 0 ) , 由 BM ? BN 得 BM
?y ? ?
2

0

垂直平分 MN .

联立 ?

3x ? m ,
2

?3 x ? y ?

? 12 .

消去 y 得 6 x ? 2 3 mx ? m ? 12 ? 0 .
2 2

2 2 由 ? ? ( 2 3 m ) ? 24 ( m ? 12 ) ? 0 得 ? 2 6 ? m ? 2 6 .???(10 分)

∴ x0 ?

x1 ? x 2 2

? ?

m 2 3

, y0 ?

3 (?

m 2 3

)?m ?

m 2

.即 M 0 ( ?

m 2 3

,

m 2

).

m

由 BM

0

⊥ MN 得 k BM ? k MN ?
0

?

2 m 2 3

? ?2

3 ? ?1 .

故 m ? 2 3 为所求.???(14 分) (Ⅲ)若存在直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ( x 1 , y 1 ) 、N ( x 2 , y 2 ) ,且满足

BM

? BN ,令线段 MN 的中点为 M 0 ( x 0 , y 0 ) ,则 BM
2 ? 2 ? 3 x 1 ? y 1 ? 12 , 联立 ? 2 2 ? 3 x 2 ? y 2 ? 12 . ?

0

垂直平分 MN .

两式相减得 3 ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ? ? ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) . ∴ k MN ?
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ?? 3( x1 ? x 2 ) y1 ? y 2
?

??

3x0 y0

?k.

又由 BM

0

⊥ MN 得 k BM
3 k

y0 x0 ? 2

0

? ?

1 k

.∴ x 0 ? ? 1 , y 0 ?

3 k



即 M 0 (?1 ,

) .???(10 分)
3

又点 M 0 在椭圆 C 的内部,故 3 x 02 ? y 02 ? 12 .即 3 ? ( ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 12 .
k

解得 k ? 1 .又点 M 0 ( ? 1 , ∴m ? k ?
3 k ? k ? 3 k

3 k

) 在直线 l 上,∴

3 k

? ?k ? m .

? 2 3 (当且仅当 k ?

3 时取等号) .

故存在直线 l 满足题设条件,此时 m 的取值范围为
( ?? , ? 2 3 ] ? [ 2 3 , ? ) ? .???(14 分)


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