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高二数学寒假作业正文


付出才有收获、成功需要努力

(一)数列
一、填空题 1.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 ,则 ?an ? 的前 4 项和为__________。 2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? __________。 3.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a 1 2 ?a 1 3 ? ______ 4.数列 ?an ? 的通项 a n ?

1 ,则 ?an ? 的前 n 项和为 1? 2 ? 3 ? ??? ? n

5.在等差数列 ?an ? 中,若 an ? 0 且 a3a7 ? 64 , a5 的值为________。 6.各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a3 , a5 , a6 成等差数列,则 7.在等差数列中,已知 S n ? 60 , S 2 n ? 54 ,则 S3n ? 8.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= 9.设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 S12 ? 9S 2 , S 4 ? 4S 2 ,则 数列 {an } 的通项公式是_________。 10 . 两 个 等 差 数 列 ?an ? 和 ?bn ? , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 Tn , 若

a3 ? a5 ? a 4 ? a6

S n 2n ? 5 ,则 ? Tn 3n ? 2

a5 ? a 6 ? a 7 ? ____ b5 ? b6 ? b7
二、选择题 11.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 12.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A.4 B.2 C.-2 D.-4

13.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于 (A) 2
n ?1

?2

(B)

3n

(C) 2 n

n (D) 3 ? 1

14 .已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85
-1-



D.100

付出才有收获、成功需要努力

三、解答题 15.有四个数成等差数列,把它们分别加上 4,3,3,5 后又依次成等比数列,求此四个数。

16 . 已 知 数 列 {an } 中 , a n ?

1 1 1 ? ? ? , (n ? N * ) , 若 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 n ?1 n ? 2 2n

an ?

1 2 log a (a ? 1) ? 恒成立,求实数 a 的取值范围 12 3

17.在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3, 4,5, 列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ;

,则称 {an } 为“绝对差数

(Ⅱ) 若 “绝对差数列” 数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 ,n ? 1, 2,3, {an } 中,a20 ? 3, a21 ? 0 , 分别判断当 n ?? 时, an 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.



-2-

付出才有收获、成功需要努力

(二)数列的极限
一、填空题

1 ? 3 ? ? (2n ? 1) = n ?? 2n 2 ? n ? 1 3 2 2. 计算: lim(1 ? ) ? n ?? n
1. 计算: lim
n n ?? n ??

. .
n

3. 已知 lim(1 ? 2r ) =0,r 的取值范围_______。若 lim(1 ? 2r ) 存在,r 的取值范围_______

3n ?1 ? 2n 4. 计算 lim n = n ?? 3 ? 2 n ?1
5. 设 2a 2 ? 5a ? 2 ? 0, 则 lim



an = n? ? 1 ? a n ?1

.

6. 一个球从高为 6 米的地方自由下落,每次着地后回弹高度为原来的高度的 止,则球经过路程的总和为___________.

1 ,到球停在地面上为 3

7. 若数列 ?an ? 的极限为 A ,则它的所有偶数项组成的新数列 ?a 2 n ?的极限是_________.

?6 , n ? 10000 2 ? ?n 8. 计算: an ? ? , lim an = ________________. n ?? 2n 2 ? 1 ? , n ? 10000 ? ?1 ? 3 ? ? (2n ? 1)

2n 1 9. 已知 lim n?1 ? ,则 m 的取值范围是_________________. n n?? 2 2 ? (m ? 2)
10. 设函数 f ( x ) ?

1 , A0 表示坐标原点, An (n, f (n)), n ? N ? ,若向量 x ?1

an ? A0 A1 ? A1 A2 ?

? An?1 An , ?n 是 an与i 的夹角( i ? (1,0) )
? tan ?n ,则 lim S n ?
n ??

设 Sn ? tan ?1 ? tan ?2 ? 三、简答题



11. 计算 0. 4? 0.0 4? 0.00 4? ??

?

?

?

12. 求极限: lim

n??

1? an (a>0) 1? an

-3-

付出才有收获、成功需要努力

13. 无穷等比数列 {an } 的公比为 q, ︱q︱<1,首项 a1 ? 1 , 若其任一项都等于它后面所有项的和 k 倍, 求 k 的取值范围

14. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=k an +1(其中 k 是与 n 无关的实数,k≠0 且 k≠1) (1) 写出由 n,k 表示的 an 的表达式; (2) 若 lim S n ? 1 ,求 k 的取值范围
n??

15.设数列 {an } 、{bn}均是公差不为 0 的等差数列,且 lim
n??

an b ? b2 ? ? ? b2 n ? 3, 求 lim 1 n ? ? bn na4 n

-4-

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(三)矩阵、行列式、算法
一、填空题

?1 0 ? ? 3 0 4? ? ? 1. 设 A ? ? ? , B ? ? 0 ?1? , 则 AB ? _________ . ? ?1 5 2 ? ?1 1 ? ? ?
2. 不等式

4 x 5 ? ?1 的解集是 2x 4

.

lg 2 x 2 4 3. 不等式 2lg x 1 1 ? 0 的解集是 0 1 3
4. 若二阶行列式

.

x1 x2 ? ?1 ,则 ?2 x1 ?2 x2 ? y1 y2 ? y1 ? y2

. ; ②处填 .

5. 根据条件将流程图(图 1)补充完整: 求 1 到 1000 内所有奇数的和, ①处填 6. 如图 2 所示的程序框图的功能是 7. 流程图(图 3)的打印结果是 开始 i←1,S←0 i<100 0 是 ① ② 图1 否 输出 S 结束 . 开始 输入 a、b、 c 是 a>b 否 a←b a>c 否 输出 a 结束 图2 是 a←c 是 .

开始 A ←1 A←2A+1 打 印 A A<35 否 结束 图3

二、解答题 8. 试根据流程图回答: 在执行循环内容时, ①共经过多少次的判断? ②共经过多少次循环体?

开始 I=1 S=0 I=I+3 S=I+S I≤100 N 输出 S 结束
-5-

Y

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9. 某算法的程序框图如图 (1)若输入 p ? 0.8 ,试确定输出变量 n 的值; (2)试写出此算法的功能(即说明它解决怎样的数学问题).

开始 输入 p
n ?1, S ?0

否 输出 n 结束

S<p 是
S ?S ? 1 2n

n ? n ?1

10. 解关于 x, y 的二元一次方程组 ?

?mx ? y ? m ? 1 , 并讨论解的情况 ? x ? my ? 2m

? 2 ? ? ? ? 2 3? ? 2 0 1? 11. 已知矩阵 A ? ? ? 1 2? ? ,矩阵 B ? ? ? 1 3 2? ? ,C ? ? 1 ? , ? ? ? ? ? ? 3? ? ?
(1)求 AB (2)求(AB)C

?
6

0

?
12

12. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 0 n 0

?1 0 n

(1)求通项公式 an ; (2)若 bn ?

?n
12Sn

,设 cn ?

T bn 1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 及 lim n . 1 bn?1 n?? n

-6-

付出才有收获、成功需要努力

(四)向 量
一、填空题

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 已知 a ? b ? 2i ? 8 j , a ? b ? ?8i ? 16 j 则 a ? b =
?

.

2. 已知向量 a ? (1, 5) , b ? (?3, 2) ,则向量 a 在 b 方向上的投影为___________________. 3. 若向量 a, b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 4. 若向量 a ? ( ?3,4) , 则与 a 平行的单位向量为

?

?

?

? ?
?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b =_____________. 3 ? , 与 a 垂直的单位向量为
.

.

5. 已知向量 a ? (2, 1), a ?b ?10, | a ? b |? 5 2 ,,则 | b |?

6. 平面上三个力 F1、F2、F3 作用于同一点且处于平衡状态,它们的大小分别为 2N,3N,5N,则

F1、F2 的夹角为____
?

______.

c ? (2,1) , 7. 若 a ? ( x ? 1,0) , 则满足等式 a ? b ? c 的 x = b ? (0, x ? y) ,

?

?

?

?

?

,y =

. .

8. 设 a, b 是不共线的两个向量, 已知 AB ? 2a ? kb , BC ? a ? b , 若 A、 B、 C 三点共线, 则k ? 二、解答题 9. 已知向量 a ? ?1,2? , b ? ?? 3,2? , (1) 求 a ? b 与 a ? b 的夹角的余弦值; (2) 求实数 k ,使 ka ? b 与 a ? 3b 垂直.

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10. 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 且 3a ? 2b ? 3 ,求 3a ? b 的值.

? ?

?

?

?

?

?

?

-7-

付出才有收获、成功需要努力

? 11. 已知| a |= 2 ,| b |=3, a 与 b 夹角为 45 ,求使向量 a + ? b 与 ? a + b 的夹角是锐角时,? 的

?

?

?

?

?

?

?

?

取值范围

12. 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 1 ,且 ka ? b ? (1)求 f ( k ) 的表达式(用 k 表示) ; (2)求 f ( k ) 的最小值.

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? 3 a ? kb , ?k ? 0? ,令函数 f ?x? ? a ? b

13. 已知点 D、E、F 分别为△ ABC 的边 BC、CA、AB 上的点, AD、BE、CF 相交于点 P , 且 AE ? EC , BF ? 2 FA . (1)记 AB ? a , AC ? b ,试用表示 a 、 b 表示 BP 、 CP ; (2)求 BD : DC 的值.
A

F E P

B

D

C

-8-

付出才有收获、成功需要努力

(五)极限、向量、行列式综合
一、填空题

2 ?1
1. 若 1

0 ? 2 ? 0 ,则 x ? 2
.

x

3 ?1

2. 若 a ? 2i ? 3 j , b ? ?2i ? j ,则 3a ? 2b ? 3. 若 a ? ( ,sin ? ), b ? (cos ? , )且a // b, 则锐角 ? =

?

?

? ?

?

?

?

?

.

3 2

1 3

.

4. 已知 a = ?cos15?,? sin 15?? , b = ?? sin 15?, cos15?? ,则 a ? b =_______________ .

? ? 2 1? ? 3 0? 5. 已知矩阵 A ? ? 和矩阵 B ? ? ? 2 2? ? ,则满足 2 A ? 3 X ? B 的矩阵 X = ? ? 2 1? ? ? ? ? ?

_ .

? 1 ,1 ? n ? 100 ? ? n(n ? 1) 6. 若 an ? ? ,那么 lim an ? n ?? 1 n ? 100 ??2( ) , n ? 101 ? ? 3
7. 数列 ?a n? 中, a n =2n—1,



s

n

= a1 ? a 2 ? ??? ? a n ,则 lim

an

2

x ??

s

=_____________ .

n

8. 正 ?ABC 的边长为 3 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ?

. .

9. 已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m = 三、简答题 10. 已知 a ? (3,4),b ? (2,?1) ,且 (a ? k b) ? (a ? b) 求(1) a, b 夹角的余弦值; (2)k 值

?

?

2 11. 首项为 a ,公比为 q(q ? 0) 的等比数列的前 n 项和为 Sn ,记 Tn ? a1 ? a2 2 ?

? a2 n ,求 lim

Sn n ?? T n

-9-

付出才有收获、成功需要努力

12. 解关于 x, y 的方程组 ?

? x ? my ? 6 ? 0 ,并对方程组的解进行讨论. ?(m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0

OB ? (3,0),    OC ? (3,5) 其中 O 为坐标原点, 13. 设 OA ? (1,1),   
(1)求证: AB ? AC ; (2)求三角形 ABC 的面积; (3) 对于向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 定义一种运算: 将 x1y1 ? x2y 2 的绝对值记为 试计算 f ( AB ? AC ) 的值.

f (a ? b) ,

14. 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 且 b1

1 ,数列 ?bn ? 是等比数列, 2

? a1 , b2 ? a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,记点 Qn ?bn , Sn ?, n ? Z ?

(1)求数列

?an ?, ?bn ?的通项公式;
?

(2)证明点 Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,? 在同一条直线 l 上,并求出直线 l 的方程; (3)若 ?OQn Qn?1 ,
n n
n

?n ? Z ?的面积为 A , T 为数列 ?A ?的前 n 项之和.求: lim A 及 lim T
n?? n

n ??

n

- 10 -

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(六)直线的方程
一、填空题 1. 2. 直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的法向量 n ? 直线

?

倾斜角 ? ?

. . .

? x ? 2 y ?1 ? 的法向量 n ? (a, a ? 2) ,则实数 a 的值为 3 2 ? 3. 直线 l 过点 P(2,3) 且一个方向向量 d ? (?2,1) ,则它的一般式方程为
4. 5. 6. 7. 8. 9. 点 P(3,2)到直线 l : 3x ? 4 y ? 13的距离为
?

. . . . . .

直线 3x ? y ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 的夹角为 60 ,则实数 a 的值为 原点 O 在直线 l 上射影为 H(-2,1)的直线 l 的方程为 直线 ax ? 2 y ? 1 与直线 6 x ? 4 y ? b ? 0 重合,则实数 a , b 的值为 直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连结 A(3,2), B(?3,2) 两点的线段相交, 则 a 的取值范围 求过点 P(1,3) 且与原点的距离为 1 的直线方程

10. 经过直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和直线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点且与直线 5 x ? y ? 0 垂直的直线的方程 是 二、解答题 .

11. 已知两点 A(2,3), B(?4,8) ,直线 l 经过原点且 A,B 两点到直线 l 距离相等,求直线 l 的方程.

12. 已知直线 l 经过点(3,4)且点(-3,2)到直线 l 的距离最大,求直线 l 的方程.

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13. 已知直线 l 经过点(2,4)且被平行直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 所截得的线段 的中点在直线 l3 : x ? 2 y ? 3 ? 0 上,求直线 l 的方程。

14. 已知 ?ABC 的顶点 A(3,-1), ?B, ?C 的平分线所在的直线方程分别为 x ? 0 和 x ? y ? 0 , 求 BC 边所在的直线的方程。

15. 设 同 在 一 个 平 面 上 的 动 点 P,Q 的 坐 标 分 别 是 ( x, y ), ( X , Y ) 并 且 坐 标 间 存 在 关 系

X ? 3x ? 2 y ? 1,Y ? 3x ? 2 y ? 1, 当动点 P 在不平行于坐标轴的直线 l 上移动时,动点 Q 在与
这直线 l 垂直且通过点 (2,1) 的直线上移动,求直线 l 的方程.

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(七)圆的方程
一、填空题: 1. 方程 x +y +4mx-2y+5m=0 表示圆的充要条件是 2. 已知 A(3,2)、B(-1,4),则以 AB 为直径的圆的方程是 3. 过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 4. 过点 P(4,6)的圆 x +y =16 的切线方程为 5. 若点 M(4a+1,3a)在圆(x-1) +y =9 的内部,则的取值范围是 6. 圆 x +y -2x-4y-1=0 关于直线 x-y+3=0 对称的曲线的方程是
2 2 2 2 2 2 2 2

. . . . . .

7. 若集合 A ? ?x, y ? y ? ? 9 ? x 2 , B ? ?x, y ? x ? y ? m ? 0 , 且A ? B ? ? ,则实数 m 的取值范 围 . . . ;最短

?

?

?

?

8. 圆心在直线 x+2y+3=0 上,且与两坐标轴都相切的圆方程 9. 若圆 x +y =9 与圆 x +y -4ax-2y+4a -3=0 相切,则实数 a=
2 2 2 2 2 2 2

10. 若圆 x +y -8x-2y=12=0 内一点 A(3,0) ,则过点 A 的最长弦所在的直线方程为 弦所在直线方程为 二、解答题: 11. 判断 A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上 .

12. 当 a 为何值时,直线 l:x+y-a=0 与圆 O:x +y =2: (1)相交; (2)相切; (3)相离

2

2

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13. 已知 P(x,y)为圆 C:x +y -6x-4y+12=0 上的任意一点,求

2

2

y 的最大、最小值. x

14. 直线 y=kx 与圆 x +y -6x-4y+10=0 相交于两个不同点 A、B,当 k 取不同实数时,求 AB 中点的轨 迹方程。

2

2

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(八)椭圆的方程及性质
一、填空题: 1. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴的长为 25 9

,短半轴的长为

,焦点坐标为

. .

2. 已知两点 A(-3,0) 、B(3,0) ,若│PA│+│PB│=10,那么点 P 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 的焦距为4,则 m 的值为 3. 椭圆 9 m
4. 椭圆

.

x2 y2 ? ? 1 的内接正方形的面积为 9 4

. .

5. 若方程 16x2+ky2=16k 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围

6. 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P ), P2 (? 3,? 2 ) ,则椭圆的 1 ( 6 ,1 方程为 . .

x2 y2 ? ? 1 椭圆上的点, 7. P 是 F1、 F2 是焦点, ∠F1PF2=60°, 则△F1PF2 的面积为 4 3
8. 已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点,若△PF1F2 是直角三角形,则△PF1F2 的面积为 25 9
.

.

9. 在椭圆 x2+8y2=8 上求一点 P,使 P 到直线 l:x-y+4=0 的距离最小,则 P 的坐标为 10. 与圆 C1: (x+3)2+y2=1 外切和圆 C2: (x-3)2+y2=81 内切的动圆圆心 M 的轨迹方程是 二、解答题:

.

11. 已知△ABC 的三边 a、b、c 满足 a>b>c,且成等差数列,顶点 A、C 的坐标为(-1,0) 、 (1,0) , 求顶点 B 的轨迹方程.

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付出才有收获、成功需要努力

12. 已知椭圆 C; x ?
2

y2 ?1 81

(1)问与椭圆 C 有相同焦点的椭圆有多少个?写出其中两个椭圆方程; (2)与椭圆 C 有相同焦点且经过点 P(3,-3)的椭圆有几个?写出它的方程.

13. 已知椭圆 C:4x2+y2=1,直线 l:x-y-b=0 (1)判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系; (2)求 l 被 C 截得的最长弦所在的直线方程,并求弦长的最大值.

14. 已知椭圆的焦点是 F1(-4,0) 、F2(4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交战为 B, 且│F1B│+│F2B│=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:│F2A│、│F2B│、 │F2c│成等差数列, 求(1)该椭圆的方程; (2)弦 AC 中点的横坐标

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(九)双曲线的方程及性质
一、填空题 1. 双曲线 3x2 ? y 2 ? 3 的渐近线方程是______________.

2. 已知双曲线是

x2 y 2 ? ? 1 ,那么它的焦距是 ______________. 20 5

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是_______________. 3. 若方程 k ? 2 5?k
4. 若双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是(0,3) ,则 k 的值是____________. 5. 若双曲线的焦点分别为 (0, —2) , (0, 2) , 且经过点 P (—3, 2) , 则该双曲线的标准方程_ 6. 若椭圆 ____.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 m=___________________. 4 m m 2

x2 y 2 ? ? 1 的一点,且 PF1 =12,则 PF2 =_______. 7. 点 P 是以 F1、F2 为焦点的双曲线 25 6
8. 过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4

.
?

9. 已知双曲线的中心在原点,实轴在 x 轴上,实轴长为 2 3 ,且两条渐近线的夹角为 60 则此双 曲线方程为___________. 10. 若椭圆

x 2 y2 x 2 y2 ? ? =1(a>b>0) 和双曲线 =1(m>0,n>0)有相同焦点 F1、F2, P 为两曲线的 a 2 b2 m2 n 2
.(用 a,b,m,n 表示)

一个交点,则|PF1|·|PF2|= 二、解答题 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点为 F 1 (? 13,0), F 2 ( 13,0), a ? b ? 5

(2)焦点在 y 轴上,焦距为 8,且经过点 M (2 2, ?6)

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付出才有收获、成功需要努力

? 12. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 3x2 ? 5 y 2 ? 75 的左右焦点, P 是双曲线上的一点,且 ?F 1PF 2 =120 ,
求 ?F 1PF 2 的面积.

13. 在相距 1000m 的 F1 , F2 两地听到炮声的时间差是 2s(声速:340m/s) ,则炮位所在的曲线的标准 方程是?

14. 过双曲线 16x -9y =144 的右焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交双曲线于 A、B,求线段 AB 的中点 M 到焦点 F 的距离.

2

2

15. 已知直线 y=x+b 与双曲线 2x -y =2 相交于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过原点, 求 b 的值.

2

2

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付出才有收获、成功需要努力

(十)抛物线的方程及性质
一、填空题 1. 如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,则它的焦点坐标为 2. 抛物线 x 2 ? . . 条. . .

1 y 的焦点坐标为_________,准线方程为 2

3. 过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 4. 平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 5. 抛物线的焦点为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

6. 抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为 7. 抛物线 y =2x2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程是
2 8. 抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是



. . .

9. 过抛物线 y 2=4x 的焦点的直线交抛物线于 A(x1, y 1) , B(x2, y 2)两点, 如果 x1+ x2=6, 则|AB|=

10.抛物线的顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 抛物线上点 (-5, m) 到焦点距离是 6, 则其方程是_________. 二、解答题 11.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F(0,-2) (2)焦点在直线 3x-4y-12=0 上 (3) 抛物线过点 A(-3,2) 。

12.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C:x ? ( y ? 3) ? 1外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.
2 2

- 19 -

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13.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的 2

轨迹的方程.

14.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货 后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通 航?

15.已知抛物线 y ? 4 x ,F 是焦点,直线 l 是经过点 F 的任意直线.
2

(1) 若直线 l 与抛物线交于两点 A、B,且 OM ? AB (O 是坐标原点,M 是垂足), 求动点 M 的轨迹方程; (2)若 C、D 两点在抛物线 y ? 4 x 上,且满足 OC ? OD ? ?4 ,求证:直线 CD 必过定点,并求
2

出定点的坐标

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. c o m 天

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(十一)直线与圆锥曲线
一、填空题 1. 已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是_____________. 2. 已知圆 C 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为_________. 3. 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为________________. 4. 设 A、B 两点是圆心都在直线 x ? y ? 0 上的两个圆的交点,且 A(-4,5) ,则点 B 的坐标为 _________. 5. 设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 6. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 .

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为___________. 4

7. 若直线 y=kx+1 (k∈R) 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1 总有公共点, 则 a 的取值范围是__ __. 7 a
_____.

8. 双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P 到直线 y=x 的距离为 2 ,则点 P 的坐标为____ 二、选择题 9. 已知点 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的任意一点,则 PF 1 ? PF 2 的最大 25 9


值为???????????????????????????????????? ( A. 9 B.

25 2
2 2

C. 25

D.16 )

10.直线 l 过点 ( 2,0) 且与双曲线 x ? y ? 2 仅有一个公共点, 这样的直线有?????? ( A.1 条 11.记定点 M (3, B.2 条 C.3 条 D.4 条

10 ) 与抛物线 y 2 ? 2 x 上的点 P 之间的距离为 d1,P 到抛物线准线 l 的距离为 d2, 3
) B. (1, 2 ) C. (2,2) D. ( ,? )

则当 d1+d2 取最小值时,P 点坐标为??????????????????????( A. (0,0)

1 8

1 2

12.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率 的取值范围是???????????????????????????????? ( ) A.[- 三、解答题 13.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程

1 1 , ] 2 2

B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]

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14.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P(2,1)引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线 l 的方程. 16 4

15.已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,△ABC 的重心与此抛物线的 焦点 F 重合 (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程。

16.已知经过点 P(0,2) 且以 d ? ?1, a ? 为一个方向向量的直线 l 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于不同两
2 2

?

点 A、B . (1)求实数 a 的取值范围; (2)若点 A 、 B 均在已知双曲线的右支上,且满足

y

OA ? OB ? 0 ,求实数 a 的值;
(3) 是否存在这样的实数 a , 使得 A 、B 两点关于直线 y ? 称?若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由

1 x ?8 对 2

O

x

第 16 题图

- 22 -

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(十二)圆锥曲线综合复习一
一、填空题 1. 直线 x=3 与直线 2x+y-1=0 的夹角是 2. 直线 x-y-1=0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长是 . . . . . 时,l1⊥l2. . . .

3. 点 P(1,1)到直线 xcosθ +ysinθ =2 的距离是 d,则 d 的最大值为 4. 若曲线 C 的方程是 x2-4x-2y+k=0,若点 A(3,-4)在曲线 C 上,则 k=

5. 已知三角形 ABC 的两个顶点 A(0,-4)、B(0,4),周长是 18,则 C 的轨迹方程是 6. 已知直线 l1:3x-(k+2)y+k+5=0 与 l2:kx+(2k-3)y+2=0,当 时,l1∥l2;当

7. 已知定点 A(4,0),P 是椭圆 4x2+9y2=36 上的动点,则线段 AP 的中点的轨迹方程是 8. 直线 y=x-1 被双曲线 2x2-y2=3 所截得线段的中点坐标是 9. 过点(-3,2)且与双曲线 x2-16y2=16 有相同渐近线的双曲线的方程是 .其弦长是

10.顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 x-4y+2=0 上,则抛物线的标准方程是 . 11.过抛物线 y2=10x 的焦点的一条直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 3, 则|AB|= 二、选择题 12.过两直线 x+y-2=0 与 2x-y-1=0 的交点, 且垂直于直线 5x-2y+3=0 的直线方程是????? ( A:2x+5y-7=0 B:2x-5y-7=0 C:2x+5y+7=0 D:2x-5y+7=0 ) ) .

13.已知曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,点 P 的坐标是(x0,y0), 则 “点 P 在曲线 C 上” 是 “f(x0,y0)=0 的 ( A:充分不必要条件 C:充要条件 B:必要不充分条件 D:既不充分又不必要的条件

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的任意一点,则|PF1| ? |PF2|的最大值是( 14.F1、F2 是椭圆 25 9
A:9
2



B:16

C:25

D:

25 2

15.

若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D. 4

A. ? 2 三、解答题

C. ?4

16.直线 l 过点 M(2,1)且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点, 如果三角形 AOB 的面积最小, 求直线 l 的方程。

- 23 -

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17.已知点 A(-2,0)、 B(2,0), 点 C 在双曲线 x -y =1 上运动, 求以 AB、 BC 为邻边的平行四边形 ABCP 的顶点 P 的轨迹方程。

2

2

18.求以椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆方程。 169 144 9 16

19.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 和直线 y=x-1 相交于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆过椭圆的左焦点, a2 a2 ?1

求 a2 的值。

- 24 -

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(十三)圆锥曲线综合复习二
一、填空题 1. 直线 x+ 3 y-3=0 的倾斜角是 2. 双曲线 x2-2y2=4 焦距是 . . . . . 条. .

3. 顶点在原点,准线是 x=2 的抛物线方程是

4. 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 5. 将椭圆

x2 y 2 ? ? 1 绕其中心逆时针旋转 900,所得曲线的方程是 25 9

6. 过点 P(-1,1)且与双曲线 y2-x2=2 有一个公共点的直线有 7. 若曲线 y ? 1 ? x 2 与直线 y=x+b 有两个交点,则 b 的范围是

8. 在直线 x+3y=0 上找一点,使它到直线 x+3y-3=0 的距离与到原点的距离相等,则这个点的坐标 是 . .

x2 y 2 ? ? 1 的焦点, 9. F1、 F2 是双曲线 点 P 在双曲线上, 且∠F1PF2=900, 则Δ F1PF2 的面积是 4 1
10.抛物线 y=x2 上到直线 y=2x—4 的距离的最小值是
x

.

11.若曲线 y ? 2 ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是_________. 二、选择题 12."k=2"是"直线 x-2y-1=0 与直线 2x-2ky-1=0 平行的"????????????????? ( A:充分非必要条件
2



B:必要非充分条件
2

C:充要条件

D:既非充分又不必要条件 )

13.若直线 y=kx+2 与椭圆 2x +3y =6 相交于两个不同的点, 则?????????????? ( A:|k|<

6 3

B:|k|>

6 3

C:|k|≤

6 3

D:|k|≥

6 3

14.已知双曲线 x2-y2=1 的左焦点 F,点 P 为双曲线在第三象限内的任意一点, 则直线 PF 的斜率的范 围是????????????????????????????????????( A:k≤0 或 k≥1 B:k<0 或 k>1 C:k≤-1 或 k≥1 D:k<-1 或 k>1 )

15.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线的准线上的身影分别为 A1、 B1, 则∠A1FB1=??????????????????????????????? ( A:450 三、解答题 B:600 C:900 D:1800 )

16.已知动点 M 到定点 A(-2,0)的距离等于 M 到定点 B(1,0)的距离的两倍,求 M 的轨迹方程。

- 25 -

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17.垂直于直线 x+y=0 的直线 l 交椭圆

x2 y 2 ? ? 1 于 M、N,且|MN|=2,求直线的方程。 1 4

18.已知双曲线 2x -y =2,过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于 P、Q 两点,且 B 是 线段 PQ 的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由。

2

2

- 26 -

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(十四)高二数学综合复习一
一、填空题 1. 计算: lim

1? n2 ? n ?? 2 ? n 2

.

2. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 9 16
sin ?

.

1 cos? ? ?? 3. 已知 ? ? ?0, ? ,且 0 cos? ? 2? 1 sin ?

? sin ? ? 0 ,则 ? ? ____________. cos?
. . . . .

4. 在 ?ABC 中,若 ?C ? 90 , AC ? BC ? 4 ,则 BA ? BC ?

? ? ? 5. 若向量 a、b 的夹角为 150? , a ? 3 ,

? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?

6. 过 点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是

7. 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为 8. 已知过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、B 两点, AF ? 2 , 则 BF ? _

9. 双曲线中心在原点, 一个顶点为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 , 则双曲线的标准方程是____. 10. 若数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 a ? 二、选择题

3 的无穷等比数列,且 ?an ? 各项的和为 a ,则 a ? 2

x2 y2 ? ?1, 11. 已知椭圆方程为 长轴在 y 轴上, 若焦距为 4 , 则 m =??????? ( 10 ? m m ? 2
A、 4 .
2



B、 5

C、 7

D、 8

12. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则 这样的直线????????????????????????????????? ( A、有且仅有一条 B、有且仅有两条 C、有无穷多条 D、不存在 ) )

13. 平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面积等于??????( (A) a ? b ? a ? b
2 2

?

?

?

?

2

(B) a ? b ? a ? b
2 2

?

?

2

(C)

1 2 2 a ?b ? a ?b 2

?

?

2

(D)

1 2 2 a ?b ? a ?b 2
- 27 -

?

?

2

付出才有收获、成功需要努力

三、解答题 14. 用行列式解关于 x, y 的方程组:

?3mx ? 4 y ? m ?其中m ? R?,并对解的情况进行讨论. ? ?3x ? ?m ? 5?y ? 1

15. 已知 F1、 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点.过 F2 作垂直 x 轴的直线交双曲线于点 P, a2 b2
y P F1 O F2 x

且∠PF1F2=30?,求双曲线的渐近方程.

16. 点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且 36 20

位于 x 轴上方, PA ? PF (1)求点 P 的坐标; (2) 设 M 是长轴 AB 上的一点, 且 M 到直线 AP 的距离等于 | MB | , 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

17. 过抛物线 y ? x 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA、OB。
2

(1)求证:直线 AB 恒过定点; (2)求弦 AB 中点 N 的轨迹方程; (3)求△ ABO 面积的最小值.

- 28 -

付出才有收获、成功需要努力

(十五)高二数学综合复习二
一、填空题
? 2 ?1 1 ? 1、已知以 x, y 为变量的二元一次方程组的增广矩阵是 ? ? ,这个二元一次方程组 ?1 ?2 0 ?



. ____.

2、直线 l 方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,直线 l 的一个方向向量 d ? __________

1 x 5 1 3、若 0 1 ? 0 ,则实数 x ? x 1 3 1

.

?1 ,1 ? n ? 2010, ? ?n 4、已知数列 {an } 中, an ? ? ,则 lim an ? __________. n ?? ? 2n , n ? 2011, ?n ? 2 ?

5、已知直线 l 经过直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的交点,且垂直于直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 , 则直线 l 的方程为 .

6、平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1) 、B( ?1,3 ) ,若点 P 分 AB 所成的比 ? ? 2 ,则点 P 的坐标为 . .
开始 a=1 a←2a+1 否 a>100 是 输出 a 结束

7、程序框图如图所示,其输出的结果是 8、若双曲线 为

x2 y 2 ,则实数 m 的值 ? ? 1 的一个焦点坐标 F1 ( 0, 4 ) m 12
.

9、已知圆C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 关于直线 x ? ay ? 3 ? 0 的对称图 像是圆C本身,则实数 a ? .

10、二次函数 f ( x) ? n(n ? 1) x2 ? (2n ? 1) x ? 1 ( n ? N ? )在 x 轴上截得的 线段长为 dn ,设 Sn ? d1 ? d2 ? ??? ? dn ,则 lim Sn ?
n??

第7题

.

11、从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引其准线的垂线,垂足为 M,若该抛物 线焦点为 F, PF ? 5 ,设 ?MPF ? ? ,则 sin ? ? 12、定义:对 n 个向量 a1 , a2 , a3 ,
k3a3 ?

.
, kn ,使得 k1a1 ? k2 a2 ?

, an ,若存在 n 个不全为零实常数 k1 , k2 , k3 ,

? kn an ? 0 成立,则称向量 a1 , a2 , a3 ,

, an 为“线性相关”.依此定义,对于线性相关的

向量 a1 ? (1,0), a2 ? (1, ?1), a3 ? (2, 2) ,满足定义的实数 k1 , k2 , k3 依次可以取的一组值为
- 29 -

.

付出才有收获、成功需要努力

二、选择题
13、直线 y ? ?2 x ? 1 的倾斜角大小等于 ?????????????????????( A、 arctan(?2) B、 ? ? arc tan(?2) C、 ? ? arctan(?2) D、 arctan 2 ) 14、直线 x cos? ? y sin ? ? 1 ? 0 ( ? ??0,2? ? ) ,与圆 x2 ? y 2 ? 1 的位置关系是?????( A、相离 B、相切 C、相交 )

D、不确定,与 ? 有关 )

a b c 15、行列式 1 2 3 中元素 b 的代数余子式的值等于???????????????( 3 2 1

A、 ? 8 b

B、 8b

C、 ? 8

D、8

16、我国最近发射的“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地 点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行轨道的短轴 长为??????????????????????????????( A、 (m ? R)(n ? R) C、 mn B、 2 (m ? R)(n ? R) D、 2 mn
n??



17、已知无穷等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,各项的和为 S ,且 lim ? Sn ? 2S ? ? 1 ,则其首项 A、 ? ?2, ?1?
a1 的取值范围是?????????????????????????????(



? ?1,0?

B、 (?2,0)

C、 ? 0,1?

?1,2?

D、 ? ?2,0?

? 0,2?

三、解答题
?mx ? 2 y ? 8 18、用行列式解关于x、y的方程组: ? (m为常数) . ?2 x ? (m ? 3) y ? m

- 30 -

付出才有收获、成功需要努力

19、若 a ? 3, b ? 2 , a 与 b 夹角为 (1)求 a ? b 的值;

? , c ? 3a ? 5b, d ? ma ? 3b . 3

(2)试问 m 为何值时, c 与 d 互相垂直.

20、如图, ?ABC 中,已知 A(?1, 0) , B(1, 2) ,点 B 关于 y ? 0 的对称点 B? 在 AC 边上,且 BC 边上 的高所在的直线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (1)求 AC 边所在直线的方程; (2)求点 C 的坐标及 ΔABC 面积.

B'

- 31 -

付出才有收获、成功需要努力

21、已知椭圆 E 对称轴为坐标轴,并且经过点 A(3, 2) ,焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,经过 AF1 的直线与椭 圆 E 交于另一点 B, ?ABF2 的周长为 16. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点( 0,3 )作直线 l 与椭圆 E 交于 C、D 两点,设 OP ? OC ? OD ,是否存在这样的直线 l, 使得四边形 OCPD 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

22、设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,已知 a1 ? a (a ? 2) , Sn?1 ? 3Sn ? 2n (n ? N ? ) (1)设 bn ? Sn ? 2n , n ? N ? ,证明:数列 ?bn ? 为等比数列; (2)求 lim
n ??

Sn 的值; 2 an

(3)若对于数列 ?an ? ,当 n ? N ? 时, an?1 ≥ an 恒成立,求实数 a 的取值范围.

- 32 -



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