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湖北省黄石二中2011届高三年级二月份调研考试理科数学试题


湖北省黄石二中 2011 届高三年级二月份调研考试 数学(理科)试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分




一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的. ) 1.若集合 M ? { y | y ? 2x , x ? R} , P

? { y | y ? A. { y | y ? 1} B. { y | y ? 1}

x ?1, x ? 1}, 则 M ? P ? (
D. { y | y ? 0} )

C. { y | y ? 0}

2. 已知命题 p、q,“非 p 为真命题”是“p 或 q 是假命题”的(

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数 f ( x) ? sin(2? x ? 称轴方程是( ☆A. x ? ) B. x ?

?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则函数 f ( x) 的图像的一条对 5? 12

?
12

?
6

3 1 4.如图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图。经过 周期后,甲点的位置将移至( 2
A. 甲 C. 丙 B. 乙 D. 丁

C. x ?

D. x ?

?


5.在以下关于向量的命题中,不正确的是( ) A.若向量 a=(x,y),向量 b=(-y,x), (x y≠ 0 ),则 a⊥ b B.平行四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 ( AB ? AD)(AB ? AD) ? 0 . C.点 G 是△ABC 的重心,则 GA + GB + CG = 0 D.△ABC 中, AB 和 CA 的夹角等于 180° -A 6.设 ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,a、b 是两条不同的直线,给出下列 4 个命题: ( )

①若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b; ②若 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥b,则 ? ∥ ? ; ③若 a⊥ ? ,b⊥ ? ,a⊥b,则 ? ⊥ ? ; ④若 a、b 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 a⊥b. 其中正确命题

是:( A. ④

) B.③ C. ①③ D. ②④

7.某企业 2010 年初贷款 a 万元,年利率为 r ,按复利计算,从 2010 年末开始,每年末偿还一定金额,计划第 5 年

底还清,则每年应偿还的金额数为( A.

)万元. C.

a(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1

B.

ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 5 ? 1

ar(1 ? r ) 5 (1 ? r ) 4 ? 1

D.

ar (1 ? r ) 5

a 2 ? b2 1? ? 8.已知二次不等式的 ax ? 2 x ? b ? 0 解集为 ? x | x ? ? ? 且 a ? b ,则 的最小值为 a ?b a? ?
2

A.1

B.

2

C.2

D. 2 2

9.在棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面 ?ABC 内一点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 3、 4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( ) A.100 ? B.50 ? C. 25? D. 5 2?

10.已知椭圆的一个焦点为 F,若椭圆上存在点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点, 则该椭圆的离心率为( ) A.

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2 an an?1 )为直线 y=x 的方向向量,a 1 =1,则数列 ?an ? 的前 2011 项的和为__________. , 2 2an
?1

11.4.向量 V=( an?1 ?

12.已知定义在 R 上的减函数 f ( x ) 的图像经过点 A(?3, 2) 、 B(2, ?2) ,若函数 f ( x ) 的反函数为 f 等式 | 2 f
?1

(x) ,则不

( x2 ? 2) ? 1|? 5 的解集为
2


2 2

13.已知点M是抛物线y =4x的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:(x-4) +(y-1) =1上,则 MA ? MF 的最小值为 __________

? ? x ? y ? 2? ? ? ? 14.在平面直角坐标系 xoy 中, 已知集合 A ? ?( x, y ) | ? x ? 0 ? ,则集合 B ? ?(2x ? y, x ? 2 y) | ( x, y) ? A? 表示的 ? ?y ? 0 ? ? ? ?
平面区域的面积为 .

15 . 已 知 对 任 意 平 面 向 量 AB =(x,y), 把 AB 绕 其 起 点 沿 逆 时 针 方 向 旋 转 ? 角 得 到 向 量
?? ?

?? ?

?? ?

AP ? ( x cos ? ? y sin ? , x sin ? ? y cos ? ) ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 ? 角得到点 P. 设平面内曲线 C 上的

每一点绕原点沿逆时针方向旋转

? 2 2 后得到点的轨迹是曲线 x ? y ? 2 ,则原来曲线 C 的方程是____ 4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16. (本题满分 12 分)设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P,Q 是单位圆上两点,O 是坐标原点,且 ?AOP ?

?
6



?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .
(Ⅰ)若点 Q 的坐标是 (m, ) ,求 cos( ? ?
?? ? ?? ?

4 5

?
6

) 的值;

(Ⅱ)设函数 f (? ) ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域.

17. (本小题满分 12 分)在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 1

AD ? 1, AA1 ? AB ? 2, 点 E 是 AB 上的动点,点 M 为 D1C
(1)当 E 点在何处时,直线 ME //平面 ADD1 A1 ,并证明 (2)在(Ⅰ)成立的条件下,求二面角 A ? D1 E ? C 的大小.

的中点. 你的结论;

18、本小题满分 12 分) ( 已知数列

?a ? 的前 n 项和 S
n

n

满足

an ? 1 a ? 1 (a>0, a ? 1 )。 且 数列 ?b n? 满足 bn ? an ? lg an ? Sn a

(1)求数列

?a ? 的通项。
n

(2)若对一切 n ? N? 都有 bn ? bn?1 ,求 a 的取值范围。

19.(本小题满分 13 分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收益. 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且 奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数 f(x)模型 .... 的基本要求; (2)现有两个奖励函数模型:(1)y= 是否符合公司要求?

x ? 2 ;(2)y=4lgx-3.试分析这两个函数模型 150

20、 (本小题满分 13 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A,右焦点为 F,右准线与 x 轴交于点 B, a 2 b2
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

且与一条渐近线交于点 C,点 O 为坐标原点,又 OA ? 2 OB ,OA ? OC ? 2 过点 F 的直线与双曲线右交于点 M、N, 点 P 为点 M 关于 x 轴的对称点。 (1)求双曲线的方程; (2)证明:B、P、N 三点共线; (3)求 ?BMN 面积的最小值。

21、(本小题13分)已知函数f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行。 (1)求实数a的值; 1 (2)若方程f(x)= (m ? 3x)在 ? 2, 4? 上有两个不相等的实数根,求实数m的值范围; ? 4 (3)设常数p ? 1,数列?an ? 满足an ?1 ? an ? ln( p ? an)(n ? N ? ), a1 ? ln p.求证:an ?1 ? an .

湖北省黄石二中 2011 届高三年级二月份调研考试 数学(理科)试题答案
一:选择题 1~5:CBCAC 二:填空题 11.2011 15.xy=-1 三:解答题 16.解: (Ⅰ)由已知可得 m ? cos ? ? ? 6~10 : BADBA 12. (?2,0) ? (0,2)

13.4

14.10

3 4 , sin ? ? . 5 5 ? ? ? ?3 3 ?4 所以 cos( ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin = 6 6 6 10 ??? ???? ? ? ? ? 3 1 (Ⅱ) f ?? ? ? OP ? OQ ? (cos ,sin ) ? (cos ? ,sin ? ) ? cos? ? sin ? ? sin(? ? ) . 3 6 6 2 2

因为 ? ?[0, ? ) ,则 ? ? 故 f ?? ? 的值域是 ( ?

?

? 4? 3 ? ? [ , ) ,所以 ? ? sin(? ? ) ? 1 . 3 3 3 2 3

3 ,1] . 2

17.证明: (Ⅰ)当 E 为 AB 的中点时,

ME ∥平面 ADD1 A1 .
证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , MN∥

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN ? AN 在平面 AD1 内? ME ∥平面 AD1 .
方法二)延长 CE 交 DA 延长线于 N ,连结 D1 N . N M

? AN ∥ BC ? NE ? EC ,又 M 为 D1C 的中点,

? ME ∥ D1 N ? D1 N ? 平面 AD1 ? ME ∥平面 AD1 .
(Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时, DE ? 2 , CE ? 2 ,又 CD ? 2 ,
0 可知 ?DEC ? 90 ,所以 DE ? CE ,平面 CED1 ? 平面 DD1E ,

H F

所以二面角 D ? D1 E ? C 的大小为

? ; 2

又二面角 A ? D1 E ? C 的大小为二面角 A ? D1 E ? D 与二面角 D ? D1 E ? C 大小的和, 只需求二面角 A ? D1 E ? D 的大小即可; 过 A 点作 AF ? DE 交 DE 于 F,则 AF ? 平面 DD1 E , AF ? 过 F 作 FH ? D1 E 于 H,连结 AH, 则 ? AHF 即为二面角 A ? D1 E ? D 的平面角,

2 , 2

AH ? D1 E ? AE ? AD1 ,? AH ?

30 15 ,? sin ?AHF ? , 6 5

所以二面角 A ? D1 E ? C 的大小为

?
2

? arcsin

15 . 5

18.解: (1)由题意可知当 n ? 1 时, a1 ? a 当 n ? 2 时, S n ?

S n ?1
用(1)式减去(2)式得: 所以数列 ?a n? 是等比数列

a (a n ? 1) (1) a ?1 a ? (a n ?1 ? 1) (2) a ?1

an ?a a n ?1
所以 an ? a n (n ? N ? )

(2)因为 bn ? an ? lg an 所以 bn ? n.a n . lg a 当对一切 n ? N? 都有 bn ? bn?1 即有 n.a n . lg a ? (n ? 1).a n?1 . lg a

n 当对一切 n ? N? 都成立所以 a ? 1 n ?1 n 1 (2)当 lg a ? 0即有0 ? a ? 1 有 a ? 当对一切 n ? N? 都成立所以有 0 ? a ? 时 n ?1 2 1 综合以上可知 a ? 1 或 0 ? a ? 2
(1)当 lg a ? 0即有a ? 1 有 a ? 时 19.解: (Ⅰ)设奖励函数模型为 y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是: 当 x∈[10,1000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③ f ( x) ? (Ⅱ) (1)对于函数模型 f ( x) ?

x 恒成立. 5

x ?2: 150

当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x) max ? f (1000) ? 所以 f(x)≤9 恒成立.

1000 20 ?2? ? 2 ? 9. 150 3

f ( x) 1 2 f ( x) 1 1 1 ? ? 在[10,1000]上是减函数,所以 [ ]max ? ? ? . x 150 x x 150 5 5 f ( x) 1 2 1 x ? ? ? ,即 f ( x) ? 不恒成立. 从而 x 150 x 5 5
因为函数 故该函数模型不符合公司要求. (2)对于函数模型 f(x)=4lgx-3: 当 x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,则 f ( x)max ? f (1000) ? 4lg1000 ? 3 ? 9 . 所以 f(x)≤9 恒成立. 设 g(x)=4lgx-3-

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ?( x) ? 5 x 5

当 x≥10 时, g ?( x) ?

4lg e 1 2lg e ? 1 lg e2 ? 1 ? ? ? ? 0 ,所以 g(x)在[10,1000]上是减函数,从而 g(x)≤g(10) x 5 5 5
x x x <0,即 4lgx-3< ,所以 f ( x) ? 恒成立.故该函数模型符合公司要求. 5 5 5

=-1<0.所以 4lgx-3-

x2 y2 ? ?1 20. 解: (1)易得双曲线方程为 4 12

(2)由(1)可知得点 B(1,0), F (4,0) 设直线 L 的方程为: x ? ty ? 4

? x2 y2 ?1 ? ? 由: ? 4 12 ? x ? ty ? 4 ?

可得 (3t 2 ? 1) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )则P(x1 ,? y1 )

? 24t ? ? y1 ? y 2 ? 3t 2 ? 1 ? 所以 ? ? y y ? 36 ? 1 2 3t 2 ? 1 ?

所以 BP ? ( x1 ? 1,? y1 ), BN ? ( x2 ? 1, y2 )

因为 ( x1 ? 1) y 2 ? y1 ( x2 ? 1) ? x1 y2 ? y1 x2 ? y1 ? y2 = 2ty1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) = 2t =0 所以向量 BP, BN 共线。所以 B, P,N 三点共线 (3)因为 直线 L 与双曲线右支相交于 M,N 所以 x1 x2 ? (ty1 ? 4)(ty2 ? 4) ? 0 所以 t ?
2

36 ? 24t ?3 2 2 3t ? 1 3t ? 1

1 3

S ?BMN ?

1 18 1 ? t 2 6 3 3 ? 3t 2 BF y1 ? y 2 ? ? 2 1 ? 3t 2 3t 2 ? 1
2

令 u ? 1 ? 3t , u ? ?0,1?

S ?BMN ? 6 3
由 u ? ?0,1?所以 当

4?u 4 1 1 1 1 ? 6 3 2 ? ? 6 3 4( ? ) 2 ? u u u 8 16 u
1 ? ?1,?? ? u

1 ? 1即t ? 0 时,三角形 BMN 面积的最小值为 18 u

21、()f ' ( x) ? 1

1 1 1 1 ? a,? f ' (1) ? -a由题意知 -a ? ? ? a ? 1 x ?1 2 2 2 4 ?1 1? x

(2)由()f(x)=ln(1+x)-x,? 原方程为4ln(1+x)-x=m,设g(x)=4ln(1+x)-x,得g ' ( x) ? 1 ?

3? x ,?当3 ? x ? 4时, g ' ( x) ? 0, 当2 ? x ? 3时,g ' ( x) ? 0, g ' (3) ? 0, g ( x)在 ? 2,? 上是增函数, 3 1? x 在 ?3,4 ? 上是减函数。 g(x)max ? 4 ln 4 ? 3, 又g (2) ? 4 ln 3 ? 2, g (4) ? 4 ln 5 ? 4。 ? 9e ? 0 ? g (2) ? g (4). 25 ? a的取值范围是 ? 4 ln 5 ? 4,ln 4 ? 3?。 4 由g (2) ? g (4) ? 2 ln (3)证明:由f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)有f ' ( x) ? 1 x ?1 ? ,f ' (0) ? 0,当x ? 0时, x ?1 1? x f ' ( x) ? 0, 当-1 ? x ? 0时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在 ? 0, ?? ? 上是增函数, f ( x)在 ? ?1,? 上是减函数. f(x)max ? 0, 在 ? ?1, ?? ? 上f(x)? 0 ?ln(1+x) ? x。又p>a n 0 ? ? p ? a n ? 1 ? ?1,由an ?1 ? an ? ln (p-a n ) ? ln (1+p-1-a n ),? an ?1 ? an ? p-1-a n , 即an ?1 ? p ? 1, ?当n ? 2时,an ?1 ? an ? ln (p-a n ) ? ln ? p ? ( p ? 1)? 0,即an ?1 ? an。 ? 当n ? 1时,a2 ? a1 ? ln( p ? ln p ),由 ln p ? ln(1 ? p ? 1)) ? p ? 1 ( ? a2 ? a1 ? ln( p ? p ? 1)) ? a1 , 结论成立。 ( ? 对n ? N ? , an ?1 ? an


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