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第二编 专题整合突破 专题一集合、常用逻辑用语 第三讲 不等式及线性规划 Word版含解析


第三讲 不等式及线性规划 必记公式] 1.a2+b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当 a=b). 2.ab≤? 3. ?a+b?2 ? (a,b∈R). ? 2 ? a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab ≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b 重要结论] 4.2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立). 1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc. (2)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (3)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1). n n (4)a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关 系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f ?x ? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g ?x ? f ?x ? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g ?x ? (3)简单指数不等式的解法 当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); 1 当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; 当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 3.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点(x0,y0),通过 Ax0+By0 +C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. 失分警示] 1.忽略限制条件致误:应用不等式的性质时,要注意限制条件. 2.注意符号成立的条件:用基本不等式求最值时,若连续进行 放缩,只有各等号成立的条件保持一致时,结论的等号才成立. 3.忽略基本不等式求最值的条件致误:利用基本不等式求最值 时要注意“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可. 4.解分式不等式时,直接把分母乘到另一边,不注意分母的取 值范围致误. 5.线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清. a z 6.y=-bx+b中截距符号弄反,导致平移时上下方向错误. 考点 典例示法 典例 1 不等式的性质及解法 (1)2016· 合肥质检]函数 f(x)=-x2+3x+a,g(x)=2x ) B.-ln 2,+∞) ? 1 ? D.?-2,0? ? ? -x2,若 f(g(x))≥0 对 x∈0,1]恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.-e,+∞) C.-2,+∞) 解析] 本题主要考查二次函数与指数函数的性质.如图所示, 3 在同一坐标系中画出 y=x2+1, y=2x, y=x2+2的图象, 由图象可知, 2 3 3 在 0,1]上,x2+1≤2x<x2+2恒成立,即 1≤2x-x2<2,当且仅当 x=0 3 或 x=1 时等号成立, ∴1≤g(x)<2, ∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?-1+3+a≥0 ?a≥-2,即实数 a 的取值范围是-2,+∞),故选 C. 答案] C (2)2014· 山东高考]已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关


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