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第一节 相似三角形的判定及有关性质

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考纲解读 了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理 .

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考情剖析 从高考内容上来看,独立考查相似三角形知识的题目较少,多与 圆相结合综合考查相似三角形的应用,题型为解答题,属容易题,着 重考查学生的推理论证能力.

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1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 ,那么在 其他直线上截得的线段也相等. 推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必

平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线

平分另一腰.

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2.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的 延长线)所得的对应线段成比例.

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1.平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗? 提示:正确.如果一条直线截三角形的两边或两边的 延长线所得的对应线成比例,那么这条直线平行于三角形 的第三条边,该命题正确.

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3.相似三角形的判定 (1)定义:对应角相等 ,对应边 成比例 的两个三角形叫 做相似三角形. (2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边 (或 两边的延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1:两角对应相等,两三角形相似.

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(4)判定定理2:两边对应 成比例且夹角 相等,两三角形 相似. (5)判定定理3:三边对应成比例 ,两三角形相似.

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4.直角三角形相似的判定 定理1:如果两个直角三角形有一个 锐 角对应相等,那 么它们相似.

直角边对应成 比例, 定理2:如果两个直角三角形的两条
那么它们相似. 定理3:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边 和一条直角边对应成比例,那么这两 个直角三角形相似.

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5.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平 分线的比都等于 相似 比. (2)相似三角形周长的比等于相似 比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方 . (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似 比, 外接圆的面积比等于相似比的 平方 .

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2.相似三角形是否有传递性? 提示:相似三角形有传递性 6.直角三角形的射影定理 定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影

中项 ;两直角边分别是它们在斜边上 ____________ 射影与斜边 的比例_____
的比例中项.

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1.如图,已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于 点A,B,C和A′,B′,C′,如果AB=BC=1, 3 A′B′= ,则B′C′=________. 2

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解析:由平行线等分线段定理可直接得到答案.
3 答案:2

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2.如图,BD,CE是△ABC的高,BD,CE交于F,写 出图中所有与△ACE相似的三角形________.

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解析:由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐 角,因而它们均相似,又易知∠BFE=∠A, 故Rt△ACE∽Rt△FBE.
答案:△FCD、△FBE、△ABD

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3.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中 点,AN,CM交于点O,那么△MON与△AOC面积的比是 ________.

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1 解析:∵M,N分别是AB、BC中点,故MN綊2AC, S△MON ?MN?2 1 ∴△MON∽△COA,∴ =? AC ? =4. S△AOC ? ?
1 答案:4

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4.如图所示,已知DE∥BC,BF∶EF=3∶2,则 AC∶AE=__________,AD∶DB=__________.

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AE DE EF 解析:∵DE∥BC,∴AC=BC=BF. AE EF 2 ∵BF∶EF=3∶2,∴AC=BF=3. ∴AC∶AE=3∶2. AB 3 同理DE∥BC,得AB∶AD=3∶2,即AD=2. ∴ AD 2 AD 2 = ,即 = =2. AB 3 AB-AD 3-2

AD 即BD =2.∴AD∶BD=2∶1.

答案:3∶2 2∶1
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5.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB, a CB⊥AB,AB=AD=a,CD= 2 ,点E、F分别为线段AB、 AD的中点,则EF=__________.

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解析:连接DE和BD,依题知,EB∥DC,EB=DC= a 2 ,∴EBCD为平行四边形,∵CB⊥AB,∴DE⊥AB,又E 是AB的中点,故AD=DB=a,∵E,F分别是AD、AB的中 1 1 点,∴EF=2DB=2a.

a 答案:2

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平行线分线段成比例定理的应用

【例1】

如图,在△ABC中,点D是AC的中点,

BF 点E是BD的中点,AE交BC于点F,则 的值为____. FC

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利用线段中点作辅助线构造平行直线,根据平 行线分线段成比例定理求解.

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【解析】

过点D作DM∥AF交BC于点M.

∵点E是BD的中点,∴在△BDM中,BF=FM, 又点D是AC的中点,∴在△CAF中,CM=MF, BF BF 1 ∴FC= = . FM+MC 2

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利用平行线截割定理解决问题,特别注意被平行线所截的 直线,找准成比例的线段,得到相应的比例式,有时需要 进行适当的变形,从而得到最终的结果 .

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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2, E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE与梯形EFCD的面积比为________.

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1 解析:由CD=2,AB=4,EF=3,得EF= 2 (CD+ AB),∴EF是梯形ABCD的中位线,则梯形ABFE与梯形 1 EFCD有相同的高,设为h,于是两梯形的面积比为 2 (3+ 1 4)h∶2(2+3)h=7∶5.
答案:7∶5

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相似三角形的判定与性质

【例2】

如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的

中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若 CF∥AB,证明:

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(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. (1)作辅助线,构造平行四边形;(2)证明对应 角相等.

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【证明】

(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以

DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形, 所以CF=BD=AD.

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而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边 形,故CD=AF. 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF, 所以GB=BD,所以∠BGD=∠BDG. 由BC=CD知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD.
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1.相似三角形的判定主要是依据三个判定定理,结合定理 创造条件建立对应边或对应角的关系 . 2.注意辅助线的添加,多数作平行线 .

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3.相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元 素,如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接 圆的直径、内切圆的直径等 .

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(1)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90° ,BC=3,AC = 15 ,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为 E,则sin∠CAD=________.

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(2)如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB 的延长线于D,CD=2 ________. 7 ,AB=BC=3,则AC的长为

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解析:(1)在Rt△ABC中, BC=3,AC= 15,AB= 15+9=2 6. BC AB 3 2 6 易证得△ABC∽△DBE,∴ = ? = , BE DB 6 BD ∴BD=4?CD=1,AD=4, CD 1 ∴sin∠CAD=AD=4.

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(2)由切割线定理知CD2=BD· AD=BD· (3+BD), 即(2 7)2=BD2+3BD, 解得BD=4或BD=-7(舍去). 因为∠BDC=∠CDA,∠DCB=∠DAC, CD AC 所以△CAD∽△BCD,所以BD= CB, 2 7 AC 3 7 即 = ,解得AC= . 4 3 2
答案:(1) 1 3 7 (2) 4 2
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射影定理的应用

【例3】

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90° ,

CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,求 AC3 AE 证:BC3 = BF .

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由三角形ABC为直角三角形,因此可以利用射 影定理,寻找边AC与AD、AB之间的关系,同理可以得到 边BC与BD、AB之间的关系,再根据△ADE∽△DBF, △ADE∽△ABC,得到有关比例式,最终得到所求证的结 果.

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【解析】

由直角三角形射影定理知:

2 AC AD 2 2 AC =AD· AB,BC =BD· AB,∴ BC2 =BD .

AD DE 由△ADE∽△DBF,得 BD = BF , AE AC 由△ADE∽△ABC,得DE=BC , AE AE DE AC AD AC AC2 AC3 ∴ = · = · = · 2= 3. BF DE BF BC BD BC BC BC

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利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其 射影,再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化, 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积 式,并且注意射影定理的其他变式 .

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(1)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D, CD=4,BD=8,则圆O的半径等于________.

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(2)如图所示,在△ABC中,∠CAB=90° ,AD⊥BC于 DF AE D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:AF=EC .

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解析:(1)在Rt△ACB中,由射影定理得CD2= AD· DB,42=8· AD,AD=2,AB=AD+DB=10,所以圆的 半径等于5. (2)证明:由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ABD中,AF=AB,① AE AB 在△ABC中, = ② EC BC 在Rt△ABC中,由射影定理知,

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BD AB AB =BD· BC,即AB=BC .③
2

DF AB 由①③得:AF= BC ,④ DF AE 由②④得:AF=EC .
答案:(1)5 (2)见解析

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1.使用平行线分线段成比例定理时要注意对应线段不 能乱对应. 2.利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应 注意

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(1)作出图形,观察图形及已知条件,寻找合适的比例 关系; (2)如果题目中没有平行线,要注意添加辅助线,可添 加的辅助线可能很多,要注意围绕待证式; (3)要注意“中间量”的运用与转化.

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3.相似三角形判定定理的作用 (1)可以判定两个三角形相似;(2)间接证明角相等,线 段成比例;(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件. 4.射影定理的作用 已知条件中含直角三角形,且涉及直角三角形斜边上 的高时,应首先考虑射影定理,注意射影定理与斜边的对 应法则,根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等 式,并分清比例中项.

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