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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练7 三角恒等变换与解三角形 理


训练 7
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

三角恒等变换与解三角形

(时间:45 分钟 满分:75 分)

1.已知 α ,β 都是锐角,若 sin α = A. C. π 4 π 3π 和 4 4

5 10 ,sin β = ,则 α +β =( 5 10 B. 3π 4<

br />
).

π 3π D.- 和- 4 4 ).

2.(2012·辽宁)已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =( A.-1 C. 2 2 B.- D.1 2 2

5 3. (2012·临沂质检)在△ABC 中, =4, = , a b 5cos(B+C)+3=0, 则角 B 的大小为( 2 A. C. π 6 π 3 B. π 4

).

5 D. π 6

4.(2012·郑州六校质量检测)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 <cos A, 则△ABC 为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 ). B.直角三角形 D.等边三角形
2 2

c b

5.(2012·长沙模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) -c =4,且 C =60°,则 a+b 的最小值为( A. C. 4 3 2 3 3 ). . 3 3 4 3 3

D.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. (2012·北京西城模拟)在△ABC 中, 三个内角 A, , 的对边分别为 a, , , b=2 5, B C b c 若 π 5 ∠B= ,sin C= ,则 c=________;a=________. 4 5 7.在△ABC 中,sin C= 3sin Asin B+sin B,a=2 3b,则角 C=________.
2 2

1

8.(2012·东北三省四市教研协作体二调)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 4sin
2

A+ B

7 -cos 2C= ,且 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为________. 2 2

三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分)

?1 π ? 9.(11 分)(2011·广东)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? ? 2 ? 13 5 ? 10.(12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2sin (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3(b>c),求 b 和 c 的值. 11.(12 分)(2013·郑州一测)如图,某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气 象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 2 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.A 地测得该仪器在 C 处时 17 的俯角为 15°, 地测得最高点 H 的仰角为 30°, A 求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的 传播速度为 340 米/秒)
2

B+C 1
2

7 - cos 2A= . 2 4

2

参考答案 训练 7 三角恒等变换与解三角形 2 5 3 10 2 2 1. [因为 α 、 都为锐角, A β 所以 cos α = 1-sin α = , β = 1-sin β = cos . 5 10 所以 cos(α +β )=cos α ·cos β -sin α ·sin β = 2.A 2 π ,所以 α +β = ,故选 A.] 2 4

π? ? [利用辅助角公式求出 α ,再求其正切值.由 sin α -cos α = 2sin?α - ?= 2, 4? ?

3π 3π α ∈(0,π ),解得 α = ,所以 tan α =tan =-1.] 4 4 3 4 3.A [由 5 cos(B+C)+3=0,得 cos A= ,则 sin A= , 5 5 5 2 4 1 π = ,sin B= .又 a>b,B 必为锐角,所以 B= .] 4 sin B 2 6 5 sin C 4.A [依题意,得 <cos A,sin C<sin Bcos A,所以 sin(A+B)<sin Bcos A,即 sin B sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0,所以 cos Bsin A<0.又 sin A>0,于是有 cos B<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选 A.] 5.D [由余弦定理可得:c =a +b -2abcos C=a +b -ab=(a+b) -3ab=(a+b) -4, 4 ?a+b?2 4 3 所以有 ab= ≤? ? ,解得 a+b≥ 3 .] 3 ? 2 ? 6.解析 利用正弦定理可知:c=
2 2 2 2 2 2 2

bsin C 2 2 2 2 =2 2,∵b =a +c -2accos B,∴a -4a-12 sin B

=0,∴a=6. 答案:2 2 7.解析 6
2 2

由正弦定理知, c = 3ab+b ,所以 cos C=

a2+b2-c2 a2- 3ab a- 3b = = = 2ab 2ab 2b

2 3b- 3b 3 π = ,所以 C= . 2b 2 6 答案 π 6
2

8.解析 因为 4sin

A+B

7 -cos 2C= , 2 2

7 2 所以 2[1-cos(A+B)]-2cos C+1= , 2

3

7 2 2+2cos C-2cos C+1= , 2 1 1 2 cos C-cos C+ =0,解得 cos C= . 4 2 1 a +b -7 2 2 根据余弦定理有 cos C= = ,ab=a +b -7, 2 2ab 3ab=a +b +2ab-7=(a+b) -7=25-7=18,ab=6. 1 1 3 3 3 所以 S= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 答案 3 3 2
2 2 2 2 2

9.解 (1)由题设知:f?

?5π ?=2sin?5π -π ?=2sinπ = 2. ? ? 12 6 ? 4 ? 4 ? ? ?

π? 10 ? (2)由题设知: =f?3α + ?=2sin α , 2? 13 ? π? 6 ? =f(3β +2π )=2sin?β + ?=2cos β , 2? 5 ? 5 3 12 4 ? π? 即 sin α = ,cos β = .又 α ,β ∈?0, ?,∴cos α = ,sin β = ,∴cos(α 2? 13 5 13 5 ? 12 3 4 5 16 +β )=cos α cos β -sin α sin β = × - × = . 13 5 5 13 65 10.解 (1)由 2sin
2

B+C 1

7 - cos 2A= 及 A+B+C=180°, 2 2 4

7 2 得 2[1-cos(B+C)]-2cos A+1= , 2 4(1+cos A)-4cos A=5. 1 2 ∴4cos A-4cos A+1=0.∴cos A= . 2 ∵0°<A<180°,∴A=60°.
2

b2+c2-a2 (2)由余弦定理,得 cos A= . 2bc
1 ∵cos A= , 2 ∴

b2+c2-a2 1 = . 2bc 2
2 2

∴(b+c) -a =3bc. 将 a= 3,b+c=3 代入上式得 bc=2.

4

由?

? ?b+c=3, ? ?bc=2,

及 b>c,得?

? ?b=2, ? ?c=1.

2 11.解 由题意,设|AC|=x,则|BC|=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 内,由余弦定理:|BC| =|BA| +|CA| -2|BA|·|CA|·cos∠BAC, 即(x-40) =x +10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°, |CH| |AC| 由正弦定理: = , sin∠CAH sin ∠AHC sin∠CAH 可得|CH|=|AC|· =140 6. sin∠AHC 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6米.
2 2 2 2 2

5


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