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课时作业26


课时作业(二十六)
一、选择题 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β C.α+β=90° 答案:B 2.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80° ,塔顶仰角为 45° ,此人沿南偏东 40° 方向前进 10 米到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30° ,则塔高为( A.15 米 C.10 米 B

.5 米 D.12 米 ) B.α=β D.α+β=180° )

解析:根据仰角与俯角的含义,画图即可得知.

解析:如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45° , 则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30° ,则 OD= 3h, 在△OCD 中,∠OCD=120° ,CD=10, 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos120° , ∴h2-5h-50=0,解得 h=10,或 h=-5(舍). 答案:C

3.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A、B 两点的距 离为( ) B.50 3m 25 2 D. m 2 AB AC = , sin∠ACB sinB

A.50 2m C.25 2m 解析:由正弦定理得

2 50× 2 AC· sin∠ACB ∴AB= = =50 2(m). sinB 1 2 答案:A 4. 据新华社报道, 强台风“珍珠”在广东饶平登陆. 台风中心最大风力达到 12 级以上, 大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,树的 上半部分折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是( 20 6 A. 米 3 10 6 C. 米 3 ) B.10 6米 D.20 2米

解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45° ,∠AOB AO 20 20 6 =75° ,∴∠OAB=60° .由正弦定理知, = ,∴AO= (米). sin45° sin60° 3 答案:A 5.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠C=120° ,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面 积等于( )

A. 3 B.5 3 C.6 3 D.7 3 解析:连接 BD,在△BCD 中,BC=CD=2,∠BCD=120° , ∴∠CBD=30° ,BD=2 3, 1 S△BCD= ×2×2×sin120° 3. = 2 在△ABD 中,∠ABD=120° -30° =90° , AB=4,BD=2 3, 1 1 ∴S△ABD= AB· BD= ×4×2 3=4 3, 2 2 ∴四边形 ABCD 的面积是 5 3.

答案:B 6.(2011 年绍兴模拟)在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中 之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m C.37.3 m B.17.3 m D.373 m )

解析:依题意画出示意图. 则 CM-10 CM+10 = tan30° tan45°

tan45° +tan30° ∴CM= ×10≈37.3. tan45° -tan30° 答案:C 二、填空题 7.(2011 年上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠ CBA=60° ,则 A、C 两点之间的距离为________千米.

2 AC 解析:如图,∠C=180° -75° -60° =45° .由正弦定理, = . sin45° sin60° 得 AC= 6. 答案: 6 8.(2010 年山东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b =2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________. π 解析:∵sinB+cosB= 2,∴sin(B+ )=1. 4 π 又 0<B<π,∴B= . 4 由正弦定理,知 2 2 1 = ,∴sinA= . sinA sinB 2

π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6 π 答案: 6 9.甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60° 的方向,两船相距 a 海里,乙船正向 北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,则甲船应取方向________才能追上乙船;追上时甲船 行驶了________海里.

解析:如图所示,设到 C 点甲船追上乙船,乙到 C 地用的时间为 t,乙船速度为 v, 则 BC=tv,AC= 3tv,B=120° , BC AC 由正弦定理知 = , sin∠CAB sinB ∴ 1 3 = , sin∠CAB sin120°

1 ∴sin∠CAB= ,∴∠CAB=30° ,∴∠ACB=30° , 2 ∴BC=AB=a, ∴AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos120°

? 1 =a2+a2-2a2·-2?=3a2,∴AC= 3a. ? ?
答案:北偏东 30° 三、解答题 3 a

10.(2011 年东北三校二模)港口 A 北偏东 30° 方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检查站为 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处 观测站,已知观测站与检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远? 解:在△BDC 中,由余弦定理知, BD2+CD2-BC2 cos∠CDB= 2BD· CD 1 4 3 =- ,∴sin∠CDB= . 7 7 π π π 5 3 ∴sin∠ACD=sin(∠CDB- )=sin∠CDBcos -cos∠CDBsin = . 3 3 3 14 在△ACD 中,由正弦定理知 AD CD 5 3 3 = ?AD= ×21÷ =15. 14 2 sin∠ACD sinA

∴此时轮船距港口还有 15 海里.

11.(2011 年山东省兖州市一模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南 偏西 30° ,相距 10 海里 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; → (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与CA成 θ 角,求 f(x)=sin2θsinx+ cos2θcosx(x∈R)的值域. 解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos120° =700, BC=10 7. (2)∵ sinθ sin120° = ,∴sinθ= 20 10 7 4 , 7 5 5 f(x)的值域为[- , ]. 7 7 3 , 7

∵θ 是锐角,∴cosθ=

3 4 5 f(x)=sin2θsinx+cos2θcosx= sinx+ cosx= sin(x+φ),∴ 7 7 7 放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE=α,

12.(2010 年江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直

∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为 125m,试问 d 为多少时,α-β 最大?

H h H H h H 解:(1)由 AB= ,BD= ,AD= 及 AB+BD=AD,得 + = , tanα tanβ tanβ tanα tanβ tanβ 解得 H= 4×1.24 htanα = =124. tanα-tanβ 1.24-1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m. H (2)由题设知 d=AB,得 tanα= . d H-h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tanβ= . tanβ tanβ d tanα-tanβ 所以 tan(α-β)= 1+tanαtanβ



h h ≤ , H?H-h? 2 H?H-h? d+ d

H?H-h? 当且仅当 d= ,即 d= H?H-h?= 125×?125-4?=55 5时,上式取等号,所 d 以当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< , 2 2 所以当 d=55 5时,α-β 最大.故所求的 d 是 55 5m. [热点预测] 13.(2011 年济宁一中高三 4 月模拟)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, π 已知向量 m=(sinB,1-cosB)与向量 n=(0,1)在夹角为 ,求: 6 (1)角 B 的大小; a+c (2) 的取值范围. b 解:(1)1-cosB= 2-2cosB× 1 ∴cosB=- 2 2π ∵0<B<π,∴B= . 3 a+c sinA+sinC (2)由正弦定理得, = b sinB = = 2 π [sinA+sin( -A)] 3 3 2 3 1 2 π (sinA+ cosA- sinA)= sin(A+ ) 2 2 3 3 3 3 3 ,1-cosB= , 2 2

π ∵0<A< , 3 π π 2π 3 π ∴ <A+ < ,∴ <sin(A+ )≤1, 3 3 3 2 3 a+c 2 3 a+c 2 3 ∴1< ≤ ,故 的取值范围为(1,+ ]. b 3 b 3 【备选题】

1.如图,某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 米,在地面

上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 米,从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45° , 则这座电视发射塔的高度 CD 为________米. 解析:AB= 912-352=84,tan∠CAB= 5 1+ 12 17 = 得 CD=169. 5 7 1- 12 答案:169 2.(2011 年天津调研)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足 a+b π +c= 2+1, sinA+sinB= 2sinC, c=________; C= , 则 若 则△ABC 的面积 S=________. 3 解析:依题意及正弦定理得 a+b= 2c, 且 a+b+c= 2+1,因此 c+ 2c= 2+1,c=1. π 当 C= 时,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=1, 3 (a+b)2-3ab=1. 1 又 a+b= 2,因此 2-3ab=1,ab= , 3 1 1 1 π 3 则△ABC 的面积 S= absinC= × · = . sin 2 2 3 3 12 答案:1 3 12 CD+35 BC 35 5 = = .由 =tan(45° +∠CAB)= AB 84 12 84

3.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航 行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相 距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

解:如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, A1A2=30 2× ∴A1A2=A2B2. 20 =10 2, 60

又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1· 1B2· A cos45° =202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 2(海里/小时). 20 2 =200, 2

4.(2011 年盐城二调)如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC,另一侧 修建一条观光大道,它的前一段 OD 是以 O 为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一 π 部分,后一段 DBC 是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ),x∈[4,8]时的图象,图象的最 2 8 高点为 B(5, 3),DF⊥OC,垂足为 F. 3 (1)求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE,问点 P 落在曲线 OD 上何处时, 水上乐园的面积最大? 8 3 2π 2π π 解:(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),由图象知 A= ,ω= = = , 3 T 4×?8-5? 6 8 8 3 π 5π π π 将 B(5, 3)代入到 y= sin( x+φ)中,得 +φ=2kπ+ (k∈Z),又|φ|< ,所以 φ= 3 3 6 6 2 2 π - , 3 8 3 π π 故 y= sin( x- ). 3 6 3 (2) 在 y = 8 3 π π sin( x - ) 中 令 x = 4 , 得 D(4,4) , 则 OD 所 在 的 方 程 为 y2 = 3 6 3

4x(0≤x≤4,0≤y≤4), t2 t2 设点 P( ,t)(0≤t≤4),则矩形 PMFE 的面积 S=(4- )t(0≤t≤4), 4 4 3t2 4 3 4 3 S′=4- (0≤t≤4),由 S′=0,得 t= .当 t∈(0, )时,S′>0,S 单调递增; 4 3 3 4 3 4 3 当 t∈( ,4)时,S′<0,S 单调递减,所以当 t= 时,S 取得最大值,此时点 P 的坐标 3 3

4 4 3 为( , ). 3 3


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