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新课标山西大学附中2013--2014学年第一学期高一(12月份)月考数学试题附答案[编辑10页]


新课标山西大学附中 2013--2014 学年第一学期 高一(12 月份)月考数学试题附答案
(考试时间:90 分钟 考查内容:必修 1、3 ) 一.选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. y ? 1, y ?





x x

B. y ?



x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1
3 ,1.5, ?0.5 ,0.5 这些数组成的集合有 5 个元素;②定义在 R 2

C. y ? x, y ? 3 x 3

D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

2.下列说法中正确 的说法个数 为①由 1, .. ..

上的函数 f ( x) , 若满足 f (0) ? 0 , 则函数 f ( x) 为奇函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? f (2) , 则函数 f ( x) 在 R 上不是增函数; ④函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上满足 f (a) ? f (b) ? 0 , 则函数 f ( x) 在 ( a, b) 上有零点; ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

? x3 3.已知 f ( x ) ? ? ?log 3 x
A. 1 或 3

x?0 ,若 f (a) ? 1 ,则实数 a ? ( x?0
B. 1 ( C. 3 ) D. -1 或 3


开始 T = 1, S = 0 输入x x ≤ 60?

1 4. y ? ( ) x ? 1 的图象大致是 2


S = S+ 1



A.

B.

C. B. f (1) < f (2) < f (4) D. f (4) < f (2) < f (1)

D.

T = T+ 1

2 5.如果函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) ,那么

否 T > 1000? 是
输出S 结束

A. f (2) < f (1) < f (4) C. f (2) < f (4) < f (1)
x 2

6. f ?x? ? 3 ? x , 则在下列区间中,使函数 f ?x ? 有零点的区间是 A. ?0,1? B. ?1, 2 ? C. ?? 2,?1? D. ?? 1,0? 7.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将其中的一个数据 150 输入为 15,那么由此求出的平均 值与实际平均值的差是 ( ) A . 2 .7 B . ? 2.7 C. 3 D. ?0.3 8. x1 , x2 , …, xn 的平均数为 x ,方差为 S ,则数据 3x1 ? 5 , 3x2 ? 5 , …, 3xn ? 5 的平均数和方差
2

分别是 (
2


2 2 2

A. x 和 S B. 3x 和 3S C. 3x ? 5 和 9 S D. 3x ? 5 和 9S ? 30S ? 25 9.调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟.有 1000 名小 学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则平均每天做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 ( ) A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32
]

10.数 a、b 满足 3 ? 10 ,下列 5 个关系式:① 0 ? a ? b ;② 0 ? b ? a ; ③ a ? b ? 0 ;④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b .其中不可能 成立的关系有 ( ) ...
a b

A. 2 个

B. 3 个

C.4 个

D.5 个

1 / 10

11.设 a ? 1 ,实数 x, y 满足 x ? log a

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图像形状大致是( y



A B C D 12.命题①函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 最多 有一个交点; .. ②函数 y ? ? x2 ? 2ax ? 1 在区间 (??, 2] 上单调递增 ,则 a ? (??, 2] ; .. ③若 f ( x ? 2) ? 1 ,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2x ,则 f (2011) ? 1 ; 2 f ( x) ④函数 y ? log2 ( x2 ? ax ? 2) 的值域 为 R,则实数 a 的取值范围是 (?2 2,2 2 ) ; .. A. 1 B. 2 C. 3 二.填空题(每空 4 分,共 16 分) 13.若幂函数 f ( x) 的图象过点 ? 2, D. 4

? ? ?

2? ? ,则 f ? 9 ? ? 2 ? ?

.

14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图) 。为了 分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则 在 [2500,3000) (元)月收入段应抽出__ ____人

频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 100015002000250030003500 4000 月收入(元)

15.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时, f ( x) = x ( x +1),则函数 f ( x) =



16.已知定义在 [?2, 2] 上的函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) ,其图象如下图所示:给出下列四个命题:①方程

f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根其中正确 的命题是 . (将所有正确的命题序号填在横 ..
线上).

2 / 10

新课标山西大学附中 2013--2014 学年 第一学期高一(12 月份)月考数学试题 数学答题纸
一. 选择题(每小题 3 分,共 36 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二.填空题: (每空 4 分,共 16 分)
13. . 14. .

15.

16.

.

三.解答题
17. (本小题满分 8 分) (1) 已知 a ? 0,b ? 0 ,化简 ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ;

? ?

2

1

?? ??

1

1

? ? ? ?

1

5

? ?

(2) 已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a,b 表示 log12 5 .

、 18.(本小题满分 10 分)
3 / 10

汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向(两方向垂直)匀速前进,汽车和自行 车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米。 (汽车开到 C 地即停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y ,写出 y 关于 t 的函数关系式, 并求出定义域。 (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少? B A C D

19.(本小题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) 满足 f (loga x) = a( x ? 1) ,(其中 a>0 且 a≠1) x(a 2 ? 1) (1)求 f ( x) 的解析式及其定义域;

(2)在函数 y ? f ( x) 的图像上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与 x 轴平行,如果存在,求出两 点;如果不存在,说明理由。

20. (本小题满分 10 分) 某工厂对 200 个电子元件的使用寿命进行检查,按照使用寿命(单位:h),可以把这批电子元件分成第一组 [100,200],第二组(200,300],第三组(300,400],第四组(400,500],第五组(500,600],第六组(600,700].由 于工作中不慎将部分数据丢失,现有以下部分图表:

4 / 10

[100,200] (200,300] (300,400] (400,500] (500,600] 分组 B 30 E F 20 频数 C D 0.2 0.4 G 频率 (1)求图 2 中的 A 及表格中的 B,C,D,E,F,G,H,I 的值; (2)求图 2 中阴影部分的面积; (3)若电子元件的使用时间超过 300h 为合格产品,求这批电子元件合格的概率.

(600,700] H I

21.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

(说明 : (1)必做 4 分; ( 2 ) 、 ( 3 )选做一问 分 ) .. . . . . . . .....6 . .

5 / 10

21.不做 (课后思考)已知函数 f ( x) ? ..

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) x

(Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)试证明函数 f ( x ) 在区间 (0, 2] 单调递减,在区间 (2, ??) 单调递增; (Ⅲ)是否存在实数 k 同时满足以下两个条件:①不等式 f ( x ) ?

f ? x ? ? k 在 x ???6,?1? 上有解.若存在,试求出实数 k 的取值范围,若不存在,请说明理由.

k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立; ②方程 2

新课标山西大学附中 2013--2014 学年第一学期 高一(12 月份)月考数学试题标准答案
一.选择题(每小题 3 分,共 36 分)
题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 A 11 B 12 B

二.填空题: (每空 3 分,共 18 分) 13.

1 3

. 14.

25

. 15.

f ( x) =?

?x(1+x) ?x(1-x)

x≥0 x<0

16.

①③④

.
6 / 10

三.解答题
1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? 3 3 2 2 17. (Ⅰ) 已知 a ? 0,b ? 0 ,化简 ? 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ? (Ⅱ) 已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a,b 表示 log12 5 . 1 5 2 1 1 1 1 5 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 3 3 6 6 3 2 6 2 3 6 = 4ab 0 ? 4a (5 分) 2 2 解:(Ⅰ) ? 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a b ? = ? 2 ? ? 6 ? ? 3 a b ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? lg 5 1 ? lg 2 1? a (Ⅱ) log12 5 ? (5 分) ? ? lg 12 2 lg 2 ? lg 3 2a ? b

18、汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向(两方向垂直)匀速前进,汽车和 自行车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米。 (汽车开到 C 地即停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y ,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出定义域。 (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少? B A C 解: (1)经过 t 小时后,汽车到达 B 处、自行车到达 D 处,则

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? (100 ?10t )2 ? (5t )2 ? 125(t 2 ?16t ? 80) ? 125[(t ? 8)2 ? 16] ·1
2 2 所以 y ? BD ? 125(t ? 16t ? 80) ? 125[(t ? 8) ? 16]

D

(2)

y ? 125[(t ? 8) 2 ? 16]

t ?[0,10]

? 当 t ? 8 时, y

定义域为: t ?[0,10]
min

? 125 ?16 ? 20 5

答:经过 8 秒后,汽车和自行车之间的距离最短。最短距离是 20 5 米。 19.(2010 年皖南八校第二次联考)某工厂对 200 个电子元件的使用寿命进行检查,按照使用寿命(单位: h),可以把这批电子元件分成第一组[100,200],第二组(200,300],第三组(300,400],第四组(400,500], 第五组(500,600],第六组(600,700].由于工作中不慎将部分数据丢失,现有以下部分图表:

分组 [100,200] (200,300] (300,400] (400,500] (500,600] (600,700] 频数 B 30 E F 20 H 频率 C D 0.2 0.4 G I (1)求图 2 中的 A 及表格中的 B,C,D,E,F,G,H,I 的值; (2)求图 2 中阴影部分的面积; (3)若电子元件的使用时间超过 300h 为合格产品,求这批电子元件合格的概率. 解:(1)由题意可知 0.1=A·100,∴A=0.001, (1 分) B 30 ∵0.1= ,∴B=20,又 C=0.1,D= =0.15,E=0.2×200=40,F=0.4×200=80, 200 200 20 10 G= =0.1,∴H=10,I= =0.05. (4 分) 200 200 (2)阴影部分的面积为 0.4+0.1=0.5. (2 分) (3)电子元件的使用时间超过 300 h 的共有 40+80+20+10=150 个, 150 3 故这批电子元件合格的概率 P= = .(3 分) 200 4 2 20.已知函数 f(x)满足 f( loga x) = a( x ? 1) ,(其中 a>0 且 a≠1) x(a 2 ? 1)
7 / 10

(1)求 f(x)的解析式及其定义域; (2)在函数 y= f ( x) 的图像上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与 x 轴平行,如果存在,求出两 点;如果不存在,说明理由。 20.解(1) f ( x) ? (2)不存在
x ?x

a (a x ? a ? x )( x ? R) (5 分) a ?1
2

设 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2
x ?x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x x 2

a(a x1 ? a x2 )(a x1 ? x2 ) (a 2 ? 1)a x1 ? x2

因为 a 1 2 +1>0, a 1 2 >0, 而不论 a>1 还是 0<a<1 a 1 ? a 2 与 a ? 1 同号 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f(x)在 R 上是增函数。 21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间;

故在函数 y ? f ( x) 的图像上是否存在两个不同的点,使过两点的直线与 x 轴平行。(5 分)

(2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x
1 3 ? (x ? )2 ? , x ? 0 2 ? ? x ? x ? 1 , x ? 0 ? ? 2 4 f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ? ? 2 ?? ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ?( x ? 1 ) 2 ? 3 , x ? 0 ? 2 4 ? 2分

21、解析:(1) a ? 1

∴ f ( x ) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 2

1 ,0) 2

1 1 f ( x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 分 2 2
2a 4a

(2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax 2 ? x ? 2a ? 1 ? a( x ? 1 ) 2 ? 2a ? 1 ? 1 (1 分) 1 2 3
0

0

0

1 1 0? ?1 即a ? f ( x)在[1,2]为增函数 g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 (1 分) 2 2a 1 1 1 1 1 1? ?2 g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ? 1 (1 分) 即 ? a ? 时, 2a 4 2 2a 4a 1 1 ?2 即 0 ? a ? 时 f ( x)在[1,2]上是减函数 g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 (1 分) 2a 4
1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4 a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

综上可得

(1 分)

(3) h( x) ? ax ?

2a ? 1 ?1 x

在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2

则 h( x ) ? h( x ) ? (ax ? 2a ? 1 ? 1) ? (ax ? 2a ? 1 ? 1) 1 2 2 1 2
x1 x 2a ? 1 x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 )(a ? )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] x1 x2 x1 x2

(*) ∵ h( x)在[1,2]上是增函数 ∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 (2

分) ∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 1
0

当 a ? 0时, 上式显然成立

8 / 10

2 3

0

a?0

0

a?0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a x1 x2 ?

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?4 a

2a ? 1 ?1 a

解得 0 ? a ? 1

得?

1 ?a?0 2

1 (1 分)用导数也可 2 x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) 22.已知函数 f ( x) ? x (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)试证明函数 f ( x ) 在区间 (0, 2] 单调递减,在区间 (2, ??) 单调递增; k (Ⅲ)是否存在实数 k 同时满足以下两个条件:①不等式 f ( x ) ? ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立; 2 ②方程 f ? x ? ? k 在 x ???6,?1? 上有解.若存在,试求出实数 k 的取值范围,若不存在,请说明理由.
所以实数 a 的取值范围是 [ ? ,1] 22.解:(Ⅰ) 由 f (1) ? f (4) 得 1 ? a ? b ? 由 f ( x) ?

16 ? 4a ? b ,解得 b ? 4 . 4

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 为奇函数,得 f ( x) ? f (? x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, x x 2 ? ax ? b x 2 ? ax ? b ? ? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 . 即 x ?x 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? . 任取 x1 , x2 ? (0, 2] ,且 x1 ? x2 , x x x ?4 4 4 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) 1 2 x1 x2 x1 x2 ∵ 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 ? 0 ,
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,函数 f ( x ) 在区间 (0, 2] 单调递减. 类似地,可证 f ( x ) 在区间 (2, ??) 单调递增. (Ⅲ)对于条件①:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 x ? (0, ??) 上有最小值 f ? 2? ? 4 故若 f ( x) ?

? k ? ?8

k k k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则需 f ( x) min ? ? ,则 4 ? ? , 2 2 2

对于条件②:由(Ⅱ)可知函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 单调递增,在 [?2, 0) 单调递减, ∴函数 f ( x ) 在 ? ?6, ?2? 单调递增, 在 ? ?2, ?1? 单调递减, 又 f ? ?6 ? ? ?

20 , f ? ?2? ? ?4 , f ? ?1? ? ?5 , 3

? 20 ? , ?4 ? ? 3 ? 20 ? k ? ?4 . 若方程 f ? x ? ? k 在 ? ?6,?1? 有解,则需 ? 3 ??8 ? k 20 ? ? k ? ?4 若同时满足条件①②,则需 ? 20 ,所以 ? 3 ? ? k ? ?4 ? ? 3
所以函数 f ( x ) 在 ? ?6,?1? 上的值域为 ? ? 答:当 ?

20 ? k ? ?4 时,条件①②同时满足. 3
9 / 10

10 / 10


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