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圆锥曲线中点弦典型例题及解析


第二章

圆锥曲线与方程

人 教 A 版 数 学

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圆锥曲线与方程

[例 2]

y2 已知双曲线的方程为 x2- 2 =1.
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试问:是否存在被点 B(1,1)平分的弦?如果存在,求出 弦的直线方程,如果不存在,请说明理由.

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圆锥曲线与方程

[分析] 易判断出点B(1,1)在双曲线的外部,不妨假定
符合题意的弦存在,那么弦的两个端点应分别在双曲线的 左右两支上,其所在直线的倾角也不可能是90°.
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圆锥曲线与方程

[解析]

解法一: 设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程

y2 为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程 x2- =1,得(k2-2)x2- 2 2k(k-1)x+k2-2k+3=0. ∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0. 2k(k-1) 3 解得 k<2,且 x1+x2= 2 . k -2 ∵B(1,1)是弦的中点, k(k-1) 3 ∴ 2 =1,∴k=2>2. k -2 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦.
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圆锥曲线与方程

[点评] 由本题可以看到:
如果点B在双曲线的内部, 则以该点为中点的弦一定存在. 如果点B在双曲线的外部, 则以该点为中点的弦有可能不存在.
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因此,点B在内部无需检验,点B在外部必须检验.
关于双曲线内部、外部,请看图,双曲线把平面划分 开来,图中阴影部分为双曲线内部,另一部分为双曲线外 部.

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圆锥曲线与方程

解法二: 设存在被点 B 平分的弦 MN, M(x1, 1)、 2, 设 y N(x y2). ? 2 ?x1- 2 =1, 则 x1+x2=2,y1+y2=2,且? y2 ?x2- 2=1. ? 2 2 y2 1 1 ①-②得(x1+x2)(x1-x2)-2(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 ∴kMN= =2,故直线 MN:y-1=2(x-1). x1-x2 ① ②
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?y-1=2(x-1), ? 由? 2 y2 消去 y 得,2x2-4x+3=0, ?x - 2 =1, ? Δ=-8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交,故被点 B 平分的弦不 存在.

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x 2 例2.设 双 曲 线 : 2 ? y ? 1?a ? 0?与 C a 直 线l : x ? y ? 1相 交 于 两 个 不 同 的 点 B A,

2

(1) 求 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 ; C e

5 (2) 若 直 线与y轴 的 交 点 为 , 且PA ? l P PB y 12 求a的 值 P
A
O

x B

x 2 例2.设双曲线C : 2 ? y ? 1?a ? 0?与 a 直线l : x ? y ? 1相交于两个不同的点 , B A ()求双曲线C的离心率e的取值范围; 1
y P A
O

2

(1 ? a ) x ? 2a x ? 2a ? 0
2 2 2 2

x B

?1 ? a 2 ? 0 ? ? ?? ? 4a 4 ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0 ? ? 0 ? a ? 2且a ? 1 e? 1
2

?1 ?

6

且e ? 2

5 ( )若直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB 2 12 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P (0,1) 求a的值 5 ? PA ? PB y 12 5 P ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) 12 5
A
O

x B

? x1 ?

12

x2

? 2a ? 2a x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2 1? a 1? a 17 消去x1 , x2 , 得到a ?
2

2



?1 1? 变 题 : 若 ? ? PB, 且? ? ? , ?, PA ? 3 2? 求 离 心 率的 取 值 范 围 e .

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P (0,1) 5 ? PA ? PB 12 5 ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) 12

?

?

? 2a 2 2 2 2 ??x2 ? 2 (? ? 1) 2a ? a ?1 消去x2 得 ? 2 ? 2 2 ? a ?1 ?(1 ? ? ) x ? 2a 2 ? a2 ?1 ? 8 9 2 由?的范围得 ? a ? 5 5 14 13 从而得到e的范围e ? [ , ] 9 8

5 ? x1 ? x2 12 2 2 ? 2a ? 2a x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2 1? a 1? a

?



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