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竞赛补充练习2


七年级数学竞赛补充练习 2

倍数 约数

七年级



号 姓名

1.两个整数 A 和 B(B≠0) ,如果 B 能整除 A(记作 B|A) ,那么 A 叫做 B 的倍数,B 叫做 A 的约数.例如 3|15,15 是 3 的倍数,3 是 15 的约数. 2.因为 0 除以非

0 的任何数都得 0,所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数,非 0 整数都是 0 的约数.如 0 是 7 的倍数,7 是 0 的约数. 3.整数 A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都 是 A 的倍数,例如 5 的倍数有±5,±10,……. 4.整数 A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1 和±A.例如 6 的约数是±1,±2,±3,±6. 5.通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约 数. 6.公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数(例如 15 与 28 互质). 7.在有余数的除法中, 被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作:

A=BQ+R,当 A,B,Q,R 都是整数且 B≠0 时,A-R 能被 B 整除 例如 23=3×7+2 则 23-2 能被 3 整除.
2 3

例 1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,2 ,2 , 2 ,3,3 ,3 ,3 ,2×3,2 ×3,2 ×3 . 正 约 正整数 2 2
2 4 2 3 4 2 2 2

解:列表如下 个 数 计 2 正整 数 2×3 2 ×3
2

个数 计 2

正整 数 3 3
2

正约 数 1,3

数 1,2

正约数 1,2,3,6 1,2,3, 4,6,12 1,2,3,

个数计 4 6

1,2, 3 4 1,2,

1,3, 3 3
2

1,3, 4 3
3

9

2

3

4,8

3 ,3

2

3

4

2 ×3

2

2

4,6,9, 12,18,36

1,2, 2
4

1,3, 5 3
4

4, 8,16

3, 3 ,3
3 4

2

5

其规律是:设 A=a b (a,b 是质数,m,n 是正整数) 那么合数 A 的正约数的个是(m+1)(n+1) 例如求 360 的正约数的个数 解:分解质因数:360=2 ×3 ×5, 360 的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个) 例 2 用分解质因数的方法求 24,90 最大公约数和最小公倍数 解:∵24=2 ×3,90=2×3 ×5 ∴最大公约数是 2×3, 记作(24,90)=6 最小公倍数是 2 ×3 ×5=360,
3 2 3 2 3 2

m n

记作[24,90]=360

例 3 己知 32,44 除以正整数 N 有相同的余数 2,求 N 解:∵32-2,44-2 都能被 N 整除,∴N 是 30,42 的公约数 ∵(30,42)=6,而 6 的正约数有 1,2,3,6 经检验 1 和 2 不合题意,∴N=6,3 例 4 一个数被 10 余 9,被 9 除余 8,被 8 除余 7,求适合条件的最小正整数 分析:依题意如果所求的数加上 1,则能同时被 10,9,8 整除,所以所求的数是 10, 9,8 的最小公倍数减去 1。 解: ∵[10,9,8]=360,

∴所以所求的数是 359 1. 12 的正约数有_________,16 的所有约数是_________________ 2. 分解质因数 300=_________,300 的正约数的个数是_________ 3. 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4. 一个三位数能被 7,9,11 整除,这个三位数是_________ 5. 能同时被 3,5,11 整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6. 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2,则 A=________ 7. 写出能被 2 整除,且有约数 5,又是 3 的倍数的所有两位数。答____ 8.一个长方形的房间长 1.35 丈,宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最 大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合? 9.一条长阶梯,如果每步跨 2 阶,那么最后剩 1 阶,如果每步跨 3 阶,那么最后剩 2 阶, 如果每步跨 4 阶,那么最后剩 3 阶,如果每步跨 5 阶,那么最后剩 4 阶,如果每步跨 6 阶,那么最后剩 5 阶,只有每步跨 7 阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?

答案:

1.

1,2,3,4,6,12;
2 2

±1,±2,±3,±6,±8,±16
2 3

2.

2 ×3×5 ; 18

3. 2×5; 2 ×5

4.

693

5. [3,5,11]=165,1155;990

6.

A=3

即求 14-2 与 23-2 的公约数

7.

30,60,90

8. (135,105)=15,正约数有 1,3,5,15

9.

119。∵[2,3,4,5,6]=60,60×2-1=119


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