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必修四2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义


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问题1:一个数a的相反数是什么? 提示:-a. 问题2:一个向量有相反向量吗? 提示:有,向量a的相反向量是-a. 返回

相反向量 与a长度相等,方向相反 的向量,叫做a的相反向量, 记作-a.

(1)规定:零向量的相反向量 仍是零向量 ;
(2)-(-a)= a

; (3)a+(-a)= (-a)+a =0; (4)若a与b互为相反向量,则a= -b ,b= -a , a+b= 0 .

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问题1:两个相反数的和为零,那么两个相反向量的

和也为零吗?
提示:是零向量.

问题2:根据向量加法,如何求作a-b?
提示:①先作出-b;②再按三角形或平行四边形法 则进行. 返回

向量的减法 (1)定义:a-b=a+ (-b) ,即减去一个向 量相当于加上这个向量的 相反向量 . (2)几何意义:以O为起点,作向量 OA = a, OB =b,则 BA =a-b,如图所示,即a-b可表示从

向量b的终点 指向 向量a的终点 的向量.

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1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算, 可以相互转化,减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量. 2.两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得:用平行四边形法则时,两个向量也是共起点,

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和向量是起点与它们的起点重合的那条 对角线所对应的向量( AC ),而差向量是 另一条对角线所对应的向量( DB ),方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点;用三角形法则时,把减向量与被减向量的 起点相重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终 点.

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[例1]

化简:( AB - CD )-( AC - BD ).

[思路点拨]

先去掉括号,利用相反向量转化为加

法进行运算,也可以转化为减法进行运算.

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[精解详析]

法一:( AB - CD )-( AC - BD )

= AB - CD - AC + BD = AB + DC + CA + BD =( AB + BD )+( DC + CA ) = AD + DA =0.

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法二:( AB - CD )-( AC - BD ) = AB - CD - AC + BD = AB + DC - AC - DB =( AB - AC )+( DC - DB )= CB + BC =0. 法三:( AB - CD )-( AC - BD )= AB - CD - AC + BD =( OB - OA )-( OD - OC )-( OC - OA )+( OD - OB ) = OB - OA - OD + OC - OC + OA + OD - OB =0.

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[一点通] 对于向量的加减运算,作加法时要注意首尾相 接,如 AB + BC = AC ;作减法时要注意起点相同,如 AB -

AC = CB .按照这种三角形法则,有时要把一个向量写成和或
差的形式,如 MN = MP + PN 或 MN = ON - OM .

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1.在平行四边形ABCD中, AB + CB - DC = A. BC C. DA B. AC D. BD

(

)

解析:如图∵ CB = DA , ∴ AB + CB - DC = AB + DA - DC = AB + CA = CA + AB = CB = DA .

答案:C

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2.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空: a+b=____,b+c=____,c-d=____,a +b+c-d=____.
解析:a+b= AB + BC = AC =-f; b+c= BC + CD = BD =-e; c-d= CD - AD = DA - DC = CA =f; a+b+c-d= AB + BC + CD - AD = AD - AD =0.

答案:-f

-e

f

0

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3.化简:( AB + PC )+( BA - QC ).

解:法一:原式=( AB + BA )+( PC + CQ )=0+ PQ = PQ . 法二:原式= AB + PC + BA - QC =( OB - OA )+( OC - OP )+( OA - OB )-( OC - OQ ) = OQ - OP = PQ .

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[例2] 一点,

如图所示,O是四边形ABCD内任

试根据图中给出的向量,确定a、b、c、 d的方向(用箭头表示),使a+b= BA ,c-d=
DC ,并画出b-c和a+d.

[思路点拨]

利用三角形法则和平行四边形法则作图求解.

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[精解详析] 因为a+b= BA ,c-d= DC , 所以a= OA ,b= BO ,c= OC ,d=
OD ;如图所示,作平行四边形OBEC,平行

四边形ODFA,根据平行四边形法则可得:b -c= EO ,a+d= OF .

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[一点通]

在作向量的和时,要合理使用三角形法

则和平行四边形法则.作两个向量的差时,应注意:两
个向量的起点重合;差向量的方向是箭头指向被减向 量.

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4.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,
AB =a, BC =b, AC =c,试作以下

向量并分别求模. (1)a+b+c; (2)a-b+c.

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解:(1)如图,由已知得:a+b= AB + BC = AC ,又 AC =c, 延长AC到E, 使| CE |=| AC |. 则a+b+c= AE ,且| AE |=2 2. (2)作 BF = AC ,连接CF, 则D、C、F共线, 则 DB + BF = DF , 而 DB = AB - AD =a- BC =a-b, ∴a-b+c= DB + BF = DF 且| DF |=2.

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5.如图所示,O 为△ABC 内一点, OA =a, OB =b,
OC =c.求作 b+c-a.

解:法一:如图①以 OB 、OC 为邻边作?OBDC,连接 OD、AD, 则 OD = OB + OC =b+c,
AD = OD - OA =b +c-a.

法二:如图②作 CD = OB =b,连接 AD,则 AC = OC - OA = c-a, AD = AC + AC =c-a+b=b+c-a.

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[例3]

(12分)已知任意四边形ABCD,E是AD的中点,F是

BC的中点,求证: AB - EF = EF - DC ,
[思路点拨] 利用封闭图形中所有顺次连接的向量和为零向 量表示 EF ,再运算.

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[精解详析]

如图,

在四边形CDEF中, EF + FC + DC + DE =0, ∴ EF - DC = CF + ED , 在四边形ABFE中,
AB + BF + FE + EA =0,

(4分)

∴ AB - BF = FB + AE , 又E、F分别是AD,BC的中点. ∴ CF = FB , ED = AE ,从而 CF + ED = FB + AE . ∴ EF - DC = AB - EF

(8分)

(12分)

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[一点通]

在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和

共线(相等)向量的应用.在运用三角形法则时,要注意当两向 量首尾相接时考虑用加法,当两个向量起点相同时,可以考虑 用减法.

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6.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线 BD的延长线上取点E,F,使BE=DF, 求证:四边形AECF是平行四边形.

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证明:∵ AE = AB + BE , FC = FD + DC , 又 AB = DC , BE = FD . ∴ AE = FC ,即 AE 与 FC 平行且相等, ∴四边形AECF是平行四边形.

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7.如图,已知点O到平行四边形ABCD的 三个顶点A、B、C的向量分别为a、 b、c,试用a、b、c表示 OD .
解:因为 OA =a, OB =b, OC =c,则 BC = OC - OB = c-b,又 AD = BC ,所以 OD = OA + AD = OA + BC = a+c-b.

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1.运用三角形法则,求作向量和的方法是:作平移, 首尾连,求作向量差的方法是:作平移,共起点,两尾连, 指被减. 2.解决向量加法和减法的综合问题,一方面要注意综 合应用向量加法、减法的平行四边形法则以及加法的结合 律、交换律来分析解决问题;另一方面要充分利用平面图形 的形象直观来分析问题;还要注意构成向量模型,利用向量 知识来分析解决问题.

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