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正弦定理练习题


一、单选题 1、若 为( 的内角 ) B. 1 所对的边 满足 ,且 ,则 的值

A.

C.

D. ,且 =60°,则 的

2、若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 值为( ) A. 3、在 B.1 C. 中,已知 D. ,则角 为( )

A.

/>
B.

C.

D.



4、某人先朝正东方向走了 km,再朝西偏北 为 A. 5、若 A. km,那么 等于 B. 的三角 B. C. ( C.3 D. ) 或

的方向走了 3km,结果它离出发点恰好

,则 A、B、C 分别所对边 D. ,则此三角形是

=( )

6、在△ABC 中,若 A.正三角形 7、在 B.锐角三角形 ,则 B.钝角三角形

( ) D.钝角三角形

C.直角三角形

中,若

的形状一定是( ) C.直角三角形 D.等腰三角形

A.锐角三角形

8、在

中,

( )

A.

B.



C.

D.



9、△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= A.2 +2 B.

,C= +1

,则△ABC 的面积为(

)

1

C.2

-2

D.

-1

10、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A.a=1, b="2" , c=3 C.a=1, b= 11、在 A. 12、 则 A. B. , ∠A=30° 中, B. , ,面积 C. B.a=1, b=2,∠A=100° D.b="c=1," ∠B=45° ,则 D. ,

的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 ( ). C. 中,角 等于( ) B. C.20 D. D. 所对的边分别为 ,若 ,则△

13、在△ 的面积 A.10

14、在△ABC 中, (a,b, c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的 形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 15、在 中,若 ,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

16、在

中,若 B.直角三角形

,则



( ) D.等腰直角三角形 ,则 B 等于

A. 等腰三角形

C.等边三角形 ,

17、(本小题考查 正弦定理)在三角形 ABC 中 A 或 B. C. D. 以上答案都不对。

18、在△ABC 中,三个内角分别是 A,B,C,若 sinC=2cosAsinB。则此△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C。等腰三角形 D.等腰直角三角形

2

19、在 状为

中,角

的对边长分别为

,若

,则

的形

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

20、已知 则

,角 是( )





所对应的边分别为

,满足



A.锐角三角形 C.钝角三角形 二、解答题 21、(本小题满分 12 分) 已知 、 、 分别是

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

的三个内角





所对的边

(1)若 (2)若

面积 ,且 ,试判断

求 、 的值; 的形状.

22、沿一条小路前进,从 A 到 B,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角)是 50°,距离是 3 km,从 B 到 C,方位角是 110°,距离是 3 km,从 C 到 D,方位角是 140°, 距离是(9+3 号). 23、第四届中国国际航空航天博览会于 2010 年 11 月在珠海举行,一次飞行表演中,一 架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯 角分别是 45°和 30°(如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45°和 30°, 他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线 )km.试画出示意图,并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根

距离. 24、在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。 (1)求 cosA 的值;(2)若△ABC 面积为 ,求 b 的值

3

25、在社会实践中,小明观察一棵桃树。他在点 A 处发现桃树顶端点 C 的仰角大小为 往正前方走 4 米后,在点 B 处发现桃树顶端点 C 的仰角大小为

,

. (I) 求 BC 的 长; (II) 若小明身高为 1.70 米,求这棵桃树顶端点 C 离地面的高度(精确到 0.01 米,其中 ). 26、(本小题满分 12 分) 已知△ (Ⅰ)若 (Ⅱ)若△ 27、已知 、 的内角 ,求 所对的边分别为 的值; 求 的值. 且 .

的面积 、 为

的三个内角,且其对边分别为 、 、 ,若 .

(1)求 (2)若

; ,求 的面积. 、 、 所对的边,且

28、在锐角△ (1)确定角 (2)若

中, 、 、 分别为角 的大小;

,且△

的面积为

,求

的值.

29、(本小题满分 10 分) 已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东 45°方向上,A、B 相距 10 海里,小船甲从海岛 B 以 2 海 里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动,同时小船乙从海岛 A 出发沿北偏 15°方向也以 2 海 里/小时的速度移动。 (Ⅰ)经过 1 小时后,甲、乙两小船相距多少海里? ( Ⅱ)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若 可能,请求出所需时 间,若不可能,请说明理由。

4

30、 中,角 A,B,C 的对边分别是 (1)求角 B 的大小; (2)若 的面积为为 且 ,求

且满足

的值;

5

xxxx - xxxx 学年度 xx 学校 xx 月考答案及解析 1、 【答案】C 【解析】试题分析:由余弦定理 知: ② ,消去 得: . ?① ,又 ?

2、 【答案】C 【解析】试题分析:由 得: ,解得 ,故由余弦定理知: ,故选 C.

3、 【答案】A 【解析】试题分析:因为 ,所以 ,根据余弦定理

有: ,所以角 为 . 点评:正弦定理和余弦定理是两个比较重要的定理,要重点掌握,灵活应用.

4、 【答案】D 【解析】试题分析:作出图象,三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形,由余 弦定理建立关于 x 的方程即可求得 x 的值.则设 AB=x, BC=3,

6

故可知答案为 D 点评:考查解三角形的知识,其特点从应用题中抽象出三角形.根据数据特点选择合适 的定理建立方程求解

5、 【答案】C 【解析】试题分析:由 再由正弦定理 得 及 得 。 ,

6、 【答案】D 【解析】略

7、 【答案】D

【解析】试题分析:∵在△ABC 中,acosB=bcosA,∴

,又由正弦定理可得

∴ = ,sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0. 由-π<A-B<π 得,A-B=0,故△ABC 为等腰三角形, 故选 D. 点评:解决该试题的关键是利用边化角的思想得到 sin(A-B)=0,并能利用角的范围, 确定出 A,B 的关系式。

8、

7

【答案】D

【解析】因为由正弦定理可知, 故 A 有两个解,选 D

9、 【答案】B

【解析】由正弦定理知 c= 又 sinA=sin(π-B-C) =sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC

=2

.

=

, bcsin A= +1.

所以△ABC 的面积 S= 故选 B.

10、 【答案】D 【解析】试题分析: 不满足两边之和大于第三边.; 由正弦定理可知 大边对大角,

,错误;

,可得



. 故选 D.

11、 【答案】B 【解析】解:因为在 中, , ,面积

选B

8

12、 【答案】A 【解析】因为解:∵a,b,c,且 a,b,c 成等比数列且 c=2a b2=ac=2a2, b= a,c=2a

由余弦定理可知 cosB= 故答案为: A

13、 【答案】B

【解析】试题分析:由余弦定理得





.

14、 【答案】B 【解析】试题分析:利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边,整理后表示出 cosA,再利用余弦定理表示出 cosA,两者相等,整理后得到 a2+b2=c2,根据勾股定理的 逆定理即可判断出此三角形为直角三角形。因为 ,那么可知

可知答案为 B. 点评:此题考查了三角形形状的判断,考查二倍角的余弦函数公式,余弦定理,以及勾 股定理的逆定理;熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

9

15、 【答案】D

【解析】解:因为 选D

16、 【答案】A

【解析】由

得 ,即 ,则 ,又 是 的内角,所以

,则 ,所以 ,即 ,则 ,即

,所以

是等腰三角形。故选 A。

17、 【答案】C 【解析】略

18、 【答案】C 【解析】略

19、 【答案】B 【解析】试题分析:根据正弦定理,角 等腰三角形,故选 B 的对边长分别为 ,展开得到 ,若 故可知

10

点评:本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用,考查计算能 力.

20、 【答案】B

【解析】因为

所以

21、 【答案】(1) , (2) 是等腰直角三角形

【解析】试题分析:解:(1) 由余弦定理得: 所以 (2)由余弦定理得:

, ,

,得

,所以

在 中, ,所以 所以 是等腰直角三角形; 点评:解决的关键是对于三角形的面积公式与正弦定理和余弦定理的灵活运用。属于基 础题。

22、

11

【答案】从 A 到 D 的方位角是 125°,距离为

km.

【解析】示意图如图所示, 连接 AC,在△ABC 中, ∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又 AB=BC=3, ∴∠BAC=∠BCA=30°. 5分 由余弦定理可得 AC= =

3分

= =3 (km). 8分 在△ACD 中,∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°, CD=3 +9.

由余弦定理得 AD= = = (km). 10 分

由正弦定理得 sin∠CAD=

= = . 12 分 ∴∠CAD=45°, 于是 AD 的方位角为 50°+30°+45°=125°,所以,从 A 到 D 的方位角是 125°, 距离为 km. 14 分

23、

12

【答案】解:(1)在 则 在 所以, (2)在 中, 中,

中, . ……(3 分) ,则



. ……(5 分)

(m). ……(7 分) , , ,……(10 分) . ……(8 分)

根据正弦定理,得

则 ……(14 分) 【解析】

.

24、

【答案】(1)

;(2)b=3

【解析】试题分析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,又 a=2c,所以 b=

.

(1)

=

;

(2)因为△ABC 面积为 ,即 ,所以 b=3. 点评:中档题,本题综合考查余弦定理的应用,三角形面积公式,等差数列等基础知 识,对计算能力有较好考查。

25、 【答案】解: ( I )在 则 由正弦定理得到, 将 AB=4 代入上式, 得到 , (米 )
13

中,

( II ) 在 因为

中,

,

,所以 ,

得到 则 所以 答:BC 的长为 【解析】 ,

,

(米) 米;桃树顶端点 C 离地面的高度为 7.16 米。

26、

【答案】 【解析】

27、

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】试题分析:(Ⅰ) 又 ,

2分

14

, (Ⅱ)由余弦定理 得 即: ,

6分

8分 10 分

12 分 点评:正、余弦定理是解斜三解形强有力的工具,在求解三角形的时候,问题涉及三角 形的若干几何量,解题时要注意边与角的互化.一般地,已知三角形的三个独立条件(不 含已知三个角的情况),应用两定理,可以解三角形

28、

【答案】(1)

(2)5 得 sinA="2sinC" sinA

【解析】试题分析:(1)由 ="2" sinC (2)由(1)知 sinC= C= 又△

的面积为

点评:熟练掌握正余弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题

29、

15

【答案】解:(Ⅰ)经过 1 小时后,甲船到达 M 点,乙船到达 N 点,



, ∴ ∴

,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2 分 , .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 )小时小船甲处于小船乙的正东方向. 海里, 海里, , , ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 .┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 , , ┅┅┅5 分

(Ⅱ)设经过 t( 则甲船与 A 距离为 乙船与 A 距离为 则由正弦定理得 即

答:经过 【解析】

小时小船甲处于小船乙的正东方向.┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分

30、

【答案】(1)

. ⑵a+c=



【解析】试题分析:(1)又 A+B+C=π,即 C+B=π-A, ∴sin(C+B)=sin(π-A)=sinA, 将(2a-c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA, 在△ABC 中,0<A<π,sinA>0, ∴cosB= ,又 0<B<π,则 ;

16

(2)∵△ABC 的面积为 ∴S= ,

,sinB=sin

=



acsinB=

ac=

∴ac=3,又 b= ,cosB=cos = , ∴由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得:a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9=3, ∴(a+c)2=12, 则 a+c= . 点评:中档题,本题综合考查了正弦、余弦定理的应用,诱导公式,两角和与差的正弦 函数公式,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值。其中(2)将 sinB 及已知面 积代入求出 ac 的值,利用余弦定理得到 b2=a2+c2-2accosB,再利用完全平方公式整理 后,按整体思想求出 a+c 的值。

17


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