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1.2.1 任意角的三角函数(二)




如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z
角的三角

函数值 .

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求

0到2? ?或0? ? 360??

例1.求下列三角函数值: ? 9π 11π (1)sin(- ) ; (2)cos ; (3)tan();(4)tan3? . 4 4 6
例5.求下列三角函数值: (1)sin1480o10'; (2)cos 9π 11π ; (3)tan(). 4 6

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3

解: cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? tan ? ? ? 3 ? ? 6 ? ? 3 ?
?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?

? ? 71? ? ? 19? ? ? ? sin ? ? ? ? tan ? ? ? ? 6 ? ? 3 ? ? 11? ? ? 71? ? ? 19? ?

? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

sin? ? y ? MP
M
A P

cos ? ? x ? OM

思考: 为了去掉等式中得绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?

我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y

P
x

? 的终边

M?

? 的终边

P?

o

M

T P MA

sin ? ? y

= MP

P

cos ? ? x ? OM (1,0)

M

A T

y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA
T M P A MA P T

这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT 分别叫做角? 的正 弦线、余弦线、正切线.统称为三角函数线.
T P
M A P M

T A T
M P

A

MA

P T

当角? 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线分别 变成一个点; 当角? 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点, 正切线不存在.

例 题 示 范
4? 例2.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

练习.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.

? 2? ( 1) ;(2)? . 3 3

例3.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2? 4? 2 ? 4 ? sin 与 sin tan 与 tan 3 5 3 5

解: 如图可知:
2? 4? sin ? sin 3 5

S2

S1 P1 P2
M2 M1 o

B

A

例3.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2? 4? 2? 4? si n 与 si n tan 与 tan 3 5 3 5

解: 如图可知:
2? 4? si n ? si n 3 5 2? 4? tan ? tan 3 5

S2

S1

B A
T2

o

T1

3 例4.在0~2? 内,求使 sin a > 2 成立的α的取值范围.
y

P2

P1 x

3 y= 2

? ?( ,
3

? 2?
3

O

)

变式1.利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角.

1 s i n? ? 2

3 tan ? ? 3
y

解:

y P2 o P1 x

30?T

o
210?

A

x

30?≤?≤150?

30?<?<90?或210?<?<270?

π 例4.若0 ? α ? ,试比较sin? ,tan? ,? 的大小. 2 ︵ ?

解:如图,在单位圆中,设?AOP=? (? ? (0, )),则AP=? . 2 过点P作PM ? OA于M,过点A作AT ? OA交OP的延长线于T,

则角?的正弦线为MP,正切线为AT .

? ?POA 的面积<扇形POA 的面积<?AOT的面积, y 1 1 1 ? ? OA ? MP< ? OA ? ? < ? OA ? AT, 2 2 2 O 即MP ? ? ? AT.

T P

M Ax

?sin ? ? ? ? tan ? .

练习
1.在(0, 2? )内使 cos x ? sin x ? tan x成立的x的取值范围是( C )
3? 5? 3? 3? 7? A( , ) B( , ) C ( , 2? ) D ( , ) 2 4 4 4 2 2 4

? 3?

y

o

M A x

3? 2.若? ? ( , ? ),则下列各式错误的是( D ) 4

P T
y P M o x y=-x

( A)sin ? ? cos ? ? 0
(C ) | sin ? |?| cos ? |

( B)sin ? ? cos ? ? 0 ( D)sin ? ? cos ? ? 0

分析: sin ? ? 0,cos? ? 0,| sin ? |?| cos? |

小结sin ? ? cos ? ?的符号问题:
y
P P o M P

y

sin ? ? cos ? ? 1,?? ? (0, ) 2

?

y

M P

o

0 ? sin ? ? cos ? ? 1,?? ? ( , ) 2 4 M M o x x 3? sin ? ? cos ? ? 0,?? ? ( , ? ) 4 y=-x 3? ? ? ? cos ? ? 0, 3? sin ? ? ? ( ? , ) ?) 若 ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ( k ? 2 y 4 4 3? 7? y=-x 则sin ?? ?? cos ?? ?? 0 0,?? ? ( , ) sin cos 2 4 3? 7? ?(k ? ? ) MM 若 sin ?? 2k ? ? ? ? ? 2( k7 ? ? cos ? ? 0, ? ? ? , 2? ) 4 4 o x x 4 P 则sin ? ? cos ? ? 0

? 3?

P

小 结
1. sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? ? k ? 2? ) ? t an? (k ? z )
2.三角函数线的定义,会画 任意角的三角函数线; 3. 利用单位圆比较三角函数值 的大小,求角的范围.


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