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2015届深圳二模理科数学试题及答案


绝密★启用前

试卷类型:A

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 2015.4
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填

写自己的学校、姓名和考生号, 同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多 涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:如果柱体的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积为 V ? Sh ; 如果随机变量 X 服从正态分布 N (? , ? 2 ) ,则 P(a ? X ? b) ? 其中 ?? ,? ( x) ?
? 1 e 2 π? ( x ? ? )2 2? 2

? ?? ? ( x)dx ,
a ,

b

, x ? (?? , ? ?) , ? 为均值, ? 为标准差.

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 1 2 1 项是符合题目要求的. 2015 1 1.设 i 为虚数单位,则复数 i 等于 A. 1 B. ?1 C. i D. ? i 2 2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , x) ,若 a // b ,则 x 等于 A. 4 B. ?4 C. ?1 3.下列四个函数中,在闭区间 [?1 , 1] 上单调递增的函数是 A. y ? x2 B. y ? 2x C. y ? log2 x D. y ? sin 2 x 4.如图 1,已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸, 则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计) A. 8 ? π B. 8 ? 4 π C. 16 ? π D. 16 ? 4 π 5.若实数 x , y 满足约束条件 ? 则 2 x ? y 的取值范围是 A. [0 , 6] D. 2
2
俯视图 正视图 侧视图

开始

?1 ? x ? y ? 3 , ??1 ? x ? y ? 1

x ? 3, v ? 0, i ? 3

图1
i ? i ?1

B. [1 , 6]
i ?0?
否 输出 v 结束

v ? vx ? ai
输入 ai 是

C. [1 , 5] D. [0 , 5] 6.如图 2,在执行程序框图所示的算法时,若输入 a3 , a2 , a1 , a0 的值依次是 1 , ? 3 , 3 , ?1 , 则输出 v 的值为 A. ? 2 B. 2
·1 ·

图2

C. ? 8 D. 8 7.从 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 这六个数字中任取五个,组成五位数,则不同的五位数共有 A. 50 个 B. 60 个 C. 100 个 D. 120 个 8.设 X 是直角坐标平面上的任意点集,定义 X * ? {(1 ? y, x ?1) | ( x , y) ? X } .若 X * ? X ,则称点 集 X “关于运算*对称” . 给定点集 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} , B ? {( x, y) | y ? x ? 1} , C ? {( x, y) | | x ? 1 | ? | y |? 1} , 其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 的解集为 . 10.已知随机变量 X 服从正态分布 N (1 , ? 2 ) ,若 P( 0 ? X ? 1) ? 0.3 , 则 P( X ? 2 ) ? .
2

11.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与抛物线 y ? 4 x 的准线围成的三角形面 积为 1 ,则此双曲线的离心率等于 . 12.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 15 , S9 ? 153 ,则 S6 ? .
2 13.已知△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,则“ ab ? c ”是“ C ?

π ” 3



条件. (填“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中的一 种) . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 l : ?

?x ? 1? s ( s 为参数)与曲线 C : ?y ? 2 ? s

?x ? t ? 3 ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? _______. ? 2 ?y ? t 15. (几何证明选讲选做题)如图 3, AB 、 AC 是⊙ O 的 A 两条切线,切点分别为 B 、 C .若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 , 则⊙ O 的半径为 .

B

?
C
图3

O

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ?) (其中 0 ? ? ? π , x ? R ) .已知 f (0) ? ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若角 ? 满足 sin(? ? ) ? f (? ) ,且 0 ? θ ? π ,求角 ? 的值. 17. (本小题满分 12 分) 深圳市于 2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发放 10 万个小汽车名额, 其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策推 出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所示:
·2 ·

1 2

π 3

申请意向 年龄 30 岁以下 (含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计

摇号 电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数) 50 50 100 200 100 150 150 400 竞价(人数) 50 300 50 400 合计 200 500 300 1000

(1)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (2)在(1)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (3)用样本估计总体,在全体市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA , OB , OC 两两垂直, △ ABC 为等边三角形, M 为△ ABC 内部一点,点 P 在 OM 的延长 线上,且 PA? PB. (1)证明: OA ? OB ; (2)证明:平面 PAB? 平面 POC ; (3)若 AP : PO : OC ? 5: 6 :1, 求二面角 P ? OA ? B 的余弦值.
C

P

?

M
B

O

A

19. (本小题满分 14 分) (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?

图4

设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 , n ? N* ,且 a1 , S 2 , 2a3 ? 4 成等比数列.

? an ? 的通项公式; n ? ?2 ?

(3)证明:对一切正整数 n ,有

3 4 n?2 ? ??? ?1. a1 a2 an

·3 ·

20. (本小题满分 14 分) 已知动点 M ( x, y ) 和定点 N ( 0,1) , MN 的中点为 P ,若直线 MN 、OP 的斜率乘积为 ? (其中 O 为 原点, ?1 ? ? ? 0 ),动点 M 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 上是否存在两点 A, B ,使得 NAB 是以 N 为顶角的等腰直角三角形?若存在,指出这样 的三角形共有几个;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 其中 a , b 为常数. (1)若 f ( x) 的图像在 x ? 1 处切线过点 (0 , ? 5) ,求 a 的值;

b 1 ,对任意的 x ? (0 , ? ?) ,满足 f ( x) ? f ( ) ? 0 , x x

a2 ) ? 0; 2 (3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.
(2)已知 0 ? a ? 1 ,求证: f (

·4 ·

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