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山东省临沂市某重点中学2015-2016学年高二数学12月月考试题 文


高二上学期月考试题文科数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确答案) 1、已知 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 600 , C ? 750 ,则 b 等于 A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6 D. ( )

32 3
( )

2、等差数列 {an } 的前

n 项和为 S n ,且 S6 ? 39 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于 A. 1 B.

5 3

C. 3

D. ?2 ( D. ac ? bc ( ) )

3、设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则

1 1 ? B. a 2 ? b 2 C. a ? c ? b ? c a b 4、若命题“ ? p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,则
A. A.命题 p 与命题 q 的真假性相同 C.命题 q 不一定是真命题

B.命题 q 一定是真命题 D.命题 p 不一定是真命题

5、椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦 点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程

x2 y 2 ? ? 1 ,点 A 、 B 是它的两个焦点,当静止 25 9
( )

的小球放在 A 处,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后,再回到点 A 时,小球经过的路程是 A.20 6、若直线 A.2 B.18 C.2 D.以上均有可能

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于 a b
B.3 C.4 D.5





7、抛物线 y ? 4 x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为 A.

( D.0



17 16
2

B.

15 16

C.

7 8

8、 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F, 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 m, n , 则

1 1 ? 等于 m n
A. 2 a B.





1 2a

C. 4 a

D.

1 4a

9、设双曲线 x ? y ? 1的两渐近线与直线 x ?
2 2

2 围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y) 为区域 2
( )
-1-

D 内的动点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为

A. ? 2

B. ?

2 2

C.0

D.

3 2 2

10、双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 30 ? 的直线交双曲线右 a 2 b2
( )

支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 A. 6 B. 2

C.

3 3

D. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则命题 ? p 为 .

12 、已知 F1 , F2 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 ? PF 2, 若 a2 b2

S ?PF1F2 ? 9 ,则 b=
13、已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 14、不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为
2

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10





15、如图 F 1,F 2 分别为椭圆 正三角形,则 b 的值是
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,点 P 在椭圆上, ?POF2 是面积为 3 的 a 2 b2


三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,请写出详细解答过程)

-2-

y2 2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆” 16、命题 p : “方程 x ? ;命题 q :对任意实数 x 都有 mx ? mx ? 1 ? 0 m
2

恒成立.若 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求实数 m 的取值范围.

17、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C ,
2 2 2

且 AC ? AB ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an ?1(n ? N ? ) . (Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。

-3-

??? ? ??? ? 4 2 x2 y 2 19、已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、B 两点,且 OA ? OB ? ( , ) , 3 3 a b
求椭圆 C 的离心率.

20、已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列,且它们有一个公共的焦点(0,2) ,其中双 曲线的一条渐近线为 y ?

3 x ,求三条曲线的标准方程。 3

21.已知椭圆的中心为坐标原点 O ,它的短轴长为 2 2 ,一个焦点 F 的坐标为 ? c, 0 ? ? c ? 0 ? ,一个定点 A 的坐标为 ?

? ??? ? ? 10 ? ??? ? c, 0 ? 且 OF ? 2 FA . ? c ?

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知过焦点 F 的直线交椭圆于 P , Q 两点. ①若 OP ? OQ ,求直线 PQ 的斜率; ②若直线 PQ 的斜率为 1,在线段 OF 之间是否存在一个点 M ? x0 ,0? ,使得以 MP , MQ 为邻边构 成的平行四边形为菱形,若存在,求出 M 点的坐标;不存在,请说明理由.

-4-

高二上学期月考试题参考答案 文科数学 一、选择题 C A C B D 二、填空题 11、 ?x0 ? R,sin x0 ? 1 三、解答题
2 16、解:命题 p :∵方程 x ?

2015-12-29

C B C D D

12、3

13、

13 16

14、 {x | ?4 ? x ? 1}

15、 2 3

y2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,∴ m ? 1 .??????2 分 m

命题 q :∵ mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,
2

当 m ? 0 时,符合题意;????????????????????????????4 分 当 m ? 0 时, ?

?m ? 0
2 ? ? ? m ? 4m ? 0

,解得 0 ? m ? 4 , ∴ 0 ? m ? 4 .?????????6 分

∵ p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,∴ p, q 一真一假.??????????????7 分 (1)当 p 为真, q 为假时, ?

?m ? 1 ,∴ m ? 4 ;?????????????9 分 ? m ? 4或m ? 0

(2)当 p 为假, q 为真时, ?

?m ? 1 ,∴ 0 ? m ? 1 .?????????????11 分 ?0 ? m ? 4

综上所述, m 的取值范围为 0 ? m ? 1 或 m ? 4 .?????????????????12 分

17、解:∵ sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C ,
2 2 2

∴ b ? c ? a ? bc ,即 a ? b ? c ? bc ,???????????????????4 分
2 2 2 2 2 2

∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,即 A ? 60? ,????????????????????6 分 2bc 2

又 AC ? AB ?| AC | ? | AB | cos A ? 4 ,∴ | AC | ? | AB |? 8 ,?????????????8 分

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

S?ABC ?

? 1 ???? ??? | AC | ? | AB | sin A ? 2 3 .??????????????????????12 分 2

18、解: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1,? a1 ?

1 , ??????2 分 3
-5-

4 a1 ? a2 ) ? a2 ? 1,? a2 ? ? 又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 (
(2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 ; ????????4 分 9

1 1 (an ? 1) ? (an?1 ? 1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说) ,

?

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3
????????8 分

1 1 ??an ?是首项为 ,公比为- 的等比数列, 3 3 1 1 n ?1 ? an ? (? ) ? (?1) n?1 3?n , 3 3

?log3 | an |? log3 3?n ? ?n ,即 bn ? ?n .
?Tn ? ? n(n ? 1) 2

??????????10 分

???????????????????12 分

19、解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , ∵ OA ? OB ? ( , ) ∴ x1 ? x2 ?

??? ? ??? ?

4 2 3 3

4 2 , y1 ? y2 ? ?????????????????????????2 分 3 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 .,得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ??????????????4 分 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
2a 2 4 ? . ??????????????????????6 分 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 2 2 a ?b 3
? a 2 ? 2b 2 ??????????????????????????????????8 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ,? a 2 ? 2a 2 ? 2c 2 ,
? a 2 ? 2c 2 ,? e ? c 2 ? ???????????????????????????12 分 a 2

20、双曲线方程: y ?
2

x2 ?1 3
-6-

抛物线方程: x2 ? 8 y

椭圆方程:

y 2 x2 ? ?1 16 12

-7-


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