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第1章 集合与命题


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第一章

集合与命题

在高校自主招生考试中,对集合的考查主要集中在以下两个方面:一是考查考生对集 合知识与数学其他知识的综合应用水平;二是考查考生对集合概念的理解与掌握.对命题 知识的考查也主要集中在对概念的把握、 理解和应用上, 要求考生能对具体问题进行分析, 最终能够自主地解

决问题,不论是集合还是命题的试题,难度与综合程度都要高于高考要 求. 【知识梳理】 1、一个 n 阶集合(即由个元素组成的集合)有 2n 个不同的子集,其中有 2 n ? 1 个非空 子集,也有 2 n ? 1 个真子集. 2、集合的几个运算律: (1)交换律: A
B?B A, A B?B A;

(2)结合律: A ( B C ) ? ( A (3)分配律: A ( B C ) ? ( A (4)0—1 律: A ? ? A , A (5)等幂律: A
A ? A, A

B)
B)

C , A (B

C) ? ( A

B)

C;
B) ( A C) ;

( A C) , A (B
I ?I,A

C) ? ( A

I ? A, A A ? A;

? ? ? (其中 A ? I );

(6)吸收律: A ( A

B) ? A , A

(A

B) ? A ;

(7)求补律: A ? I A ? I , A ? I A ? ? ; (8)反演律: 痧 I (A
B) ?
I

A

I

B,痧 I (A

B) ?

I

A

I

B.
B|.

3、一般地,对任意两个有限集合 A, B ,有 | A 我们还可将之推广为: 一般地,对任意 n 个有限集合 A1 , A2 ,?, An , 有
| A1 A2 An ?1 An |
A2 | ? | A1
? | A1 A2

B |?| A | ? | B | ? | A

?| A1 | ? | A2 | ?

? | An | ? | A1

A3 | ?
A3 | ?

? | A1

An | ?
An?1

? | An?1

An |
A3 An |

? | An?2

An | ?

? (?1)n?1? | A1

1

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应用上述结论,可解决一类求有限集合元素个数问题.

【典型例题】 一、集合及运算 例 1. (2009 年复旦大学) 设 Q 是有理数集, 集合 A ? x | x ? a ? b 2, a, b ? Q, x ? 0 . 在

?

?

? ? ? 2 ? ?1 ? 下列集合中, (1)?2 x | x ? A? ; (2) ? (3) ? | x ? A? ; (4) x 2 | x ? A .和 x | x ? A? ; x 2 ? ? ? ? ? ?

?

?

A 相等的集合有( A.4 个

) B.3 个 C.2 个 D.1 个

解: 2x ? 2(a ? b 2) ? 2a ? 2b 2, a, b ? Q .
2a, 2b ? Q 且可取遍所有的有理数( a , b 不同时为 0) .

??2 x | x ? A? ? A ? x | x ? a ? b 2, a, b ? Q, x ? 0 .

?

?

2 2 2 a x? (a ? b 2) ? a?b?b? 2, a, b ? Q , 2 2 2 2

a , b, ? Q 且可取遍所有的有理数( a , b 不同时为 0) 2
? 2 ? ? ? ?? x | x ? A? ? A ? x | x ? a ? b 2, a, b ? Q, x ? 0 . ? ? ? 2 ?

?

?

1 1 a?b 2 a ?b 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 , a, b ? Q . 2 2 x a ? b 2 a ? 2b a ? 2b a ? 2b 2 Q ?Q a ?b 设 Q1 ? 2 ,则 a ? 2 1 2 , b ? 2 2 2 , , Q2 ? 2 2 2 Q1 ? 2Q2 Q1 ? 2Q2 a ? 2b a ? 2b

∵对任意的有理数 Q1 , Q2 都能找到 a , b 与之对应. ∴设 Q1 , Q2 可取遍所有的有理数( Q1 , Q2 不同时为 0) .
?1 ? ∴ ? | x ? A? ? A ? x | x ? a ? b 2, a, b,? Q, x ? 0 . ?x ?

?

?

x2 ? (a ? b 2)2 ? (a2 ? 2b2 ) ? 2ab 2, a, b ? Q
a 2 ? 2b 2≥0 ,
2

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所以 a2 ? 2b2 不能取遍所有的有理数, ∴ ? x 2 | x ? A? ? A ? x | x ? a ? b 2, a, b ? Q, x ? 0 . 所以本题答案为 B. 归纳与小结:此题主要考查集合相等,一方面要理解两个集合相等的内涵,要抓住如 果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 是的子集( B ? A ) ,此时,集合

?

?

A 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等.集合相等的概念是判断集合
相等的依据,另一方面,若能把一个集合正确表示成其它的等价形式,也是解决此类问题 的有效途径.

? 5? 例 2. ( 2008 年 浙 江 大 学 ) 已 知 集 合 A ? ?( x, y ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ≤ ? , 集 合 4? ?

B ? ?( x, y) | |x ? 1?| 2y|? ≤2 ? |a .若 A ? B .求 a 的取值范围.
5 ? 5? 解:集合 A ? ?( x, y ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ≤ ? 是以 (1, 2) 为圆心,以 为半径的圆及其内 2 4 ? ?
2a 部. 集合 B ? ?( x, y) || x ? 1| ?2 | y ? 2 | ≤a? 是以 (1, 2) 为中心, 两条对角线的长度分别为 a ,

的菱形及其内部.由于 A ? B .也就是要求整个圆盘要落在整个菱形之中.即要求 (1,2) 到 菱形 | x ? 1| ?2 | y ? 2 |? a 的每一条边的距离大于等于圆的半径.菱形 | x ? 1| ?2 | y ? 2 |? a 的

5 ?a? 边长是 a 2 ? ? ? ? a. 2 ?2?
a ?a 5 | ? 2?a |的每一边的距离为 d ? 2 ? a .由于 点 (1, 2) 到 菱 形 | x ? 1 |? 2 y 5 5 a 2
d? 5 5 5 a≥ ,解出 a≥ . 5 2 2

2

归纳与小结:对于集合,我们不但要理解其代数形式,也要正确理解集合所表示的几 何含义,从几何图形入手是解决此题的关键.
3

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例 3. (2010 年复旦大学)设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0 ? R 满足:对任意
a>0 ,都存在 x ? X .使得 0< | x ? x0 | <a .那么称 x0 为集合 X 的聚点,用 Z 表示整数集,

? n ? ?1 ? | n ? Z, n≥0 ? ,② R /{0} ,③ ? | n ? Z, n ? 0 ? ,④整数集 Z 中,0 则在下列集合:① ? ?n ?1 ? ?n ?

为聚点的有( A.②③

) B.①④ C.①③ D.①②④

解:这是新定义型集合问题,根据定义, “聚点”应理解为以 x0 为圆心,以任意一个 无穷小的量为半径的圆内都至少有集合的一个元素,而且这个元素不能是 x0 .所以要寻找 的是上述集合中元素与“聚点”O 的差是否可以任意小.
n 1 1 1 1 ? n ? | n ? Z, n≥0 ? ,由于 ? 0 ?1? ≥1 ? ? .所以对于 a< , 对于集合① ? n ?1 n ?1 2 2 2 ?n ?1 ?

找不到满足 0< | x ? 0 | <a 的 x ,所以 0 不是①的聚点. 集 合 ② R /{0} , 表 示 的 是 除 去 0 以 外 的 实 数 集 , 那 么 对 于 任 意 的 a>0 . 均 有
0< 1 1 1 a ? a ? a <a .而 a ? R 所以 0 是②的聚点. 2 2 2 1 1 ?1 ? 集合③ ? | n ? Z, n ? 0 ? ,对于任意的 n> 时, 0< ? 0 <a ,所以 0 是③的聚点. n a ?n ?

对于集合④整数集 Z,当 0< a<1 时,找不到整数 n ,使得 0< | n ? 0 | <a ,所以 0 不是 ④的聚点. 综上所述,答案为 A . 归纳与小结: “聚点”是高等数学中一个很重要的概念,象这样以新定义型的形式对 高等数学的概念进行考查的试题在高校自主招生考试中经常出现,主要考查考生学习理解 的能力.

例 4. (2010 年清华五校联考样题)已知, f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,
f ( x)

单 调 递 增 ,

f (?1) ? 0

. 设

? ( x) ? sin 2 x ? m cos x ? 2m

, 集 合

4

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? ? ? ? ? ?? ? ?? M ? ?m ?x ? ?0, ? , ? ( x)<0? , N ? ?m ?x ? ?0, ? , f ?? ( x)?<0? ,求 M ? 2? ? 2? ? ? ? ?

N.

解:由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f ( x) 单调递增, f (?1) ? 0 . 可知 f (? ( x))<0 ? ? ( x)< ? 1 或 0<? ( x)<1 . 所以 M
? ? ? ?? N ? ?m ?x ? ?0, ? , ? ( x)< ? 1? . ? 2? ? ?

由 ? ( x)< ? 1 得 sin 2 x ? m cos x ? 2m ? 1<0 ? cos 2 x ? m cos x ? 2m ? 2>0 . 令 t ? cos x,0≤t≤1 , 则 t 2 ? mt ? 2m ? 2>0 在 0≤t≤1 内恒成立, 这就转化为函数问题. 设 T (t ) ? t 2 ? mt ? 2m ? 2 , 当

m 1 ,∴此时无解; ≤0 时, T (0) ? 2m ? 2>0, m> 2

m 当 0< ≤1 时, ? ? m2 ? 8m ? 8<0 ,解得 4 ? 2 2<m≤2 ; 2


m >1 时, T (1) ? m ? 1>0 ,解得 m>2 . 2
N ? (4 ? 2 2, ??) .

综上, M

归纳与小结:此题是集合、函数、不等式的综合问题,试题知识点多,综合性强,这 是高校自主招生考试试题的特点.

例 5. (2007 年清华大学) 对于集合 M ? R2 , 称 M 为开集, 当且仅当 ?P0 ? M ,?r>0 , 使得 P ? R2 || PP0 | <r ? M .判断集合 ?( x, y) | 4 x ? 2 y ? 5>0? 与 ?( x, y) | x≥0, y>0? 是否为 开集,并证明你的结论. 解: (1)集合 ?( x, y) | 4 x ? 2 y ? 5>0? 是开集.
x? 如 图 , 因 为 对 于 ?P0 ?{ ( x , y ) | 4 2 y? >5 , 0} 设 P0 到 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 的 距 离 为

?

?

d P0 (d P0>0) ,取 r ?

d P0 2

,那么显然有 P ? R2 || PP0 | <r ? ?( x, y) | 4 x ? 2 y ? 5>0? ,
5

?

?

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因此集合 ?( x, y) | 4 x ? 2 y ? 5>0? 是开集. y
P0 ( x0 , y0 ) P0 ( x0 , y0 )

y

O

x
图 1-1

O

x

(2)集合 ?( x, y) | x≥0, y>0? 不是开集. 事实上,我们只要证明存在一点 P0 ? M ,对于任意的 r>0 ,都有 P ? R2 || PP0 | <r 不 是 ?( x, y) | x≥0, y>0? 的子集. 如图, 取 P0 ? (0,1) , 那么对于任意的 r>0 , P ? R 2 || PP0 | <r

?

?

?

?

都 包 含 有 第 二 象 限 的 点 , 故 P ? R 2 || PP0 | <r 不 是 ?( x , y ) | x ≥ 0,> y ?0的 子 集 , 因 此
≥ ?( x , y ) | x 0,> y ?0 不是开集.

?

?

归纳与小结:题目中的开集表示的就是平面上的一个区域(也可以是多个区域) ,该 区域满足边界不属于该区域这一性质,知道这一点,判断就容易多了.另外,对于成立的 结论,解决时要进行严格的证明;对于不成立的结论,只需给出一个反例就可以了.

例 6. (2006 年清华大学)求由 2 个或 2 个以上的正整数组成的有限集合 S ,使 S 中 的元素之和等于元素之积. 解:由题意, S n ≥n . 设 S ? ?x1 , x2 , ???, xn ? , n≥2 .其中 xi ? N * .不妨设 x1<x2<??? <xn , 由 x1 ? x2 ? ??? ? xn ? x1 ? x2 ?
? xn ,得到 x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn<nxn ,即 x1 ? x2 ? ? xn ?1<n .

1, x2>2, ???, xn?1>n ? 1 .所以 x1 ? x2 ? 又因为 x1>

? xn?1>(n ? 1)!≥(n ? 1)( n ? 2) .

所以 (n ? 1)(n ? 2)<n ,解得 n ? 2 或 n ? 3 .

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当 n ? 2 时,由 x1<2 得到 x1 ? 1 ,由 1 ? x2 ? x2 , x2 ? 0 ,这样的集合不存在; 当 n ? 3 时,由 x1 x2<3 得到 x1 ? 1, x2 ? 2 ,由 x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? x2 ? x3 ,解得 x3 ? 3 . 所以所求的集合 S ? ?1, 2,3? . 归纳与小结:经过一般形式的假设后,得到不等式 n>(n ? 1)!,如果解该不等式会有很 大的难度,因为题目中 n 为正整数,因此可以考虑对该不等式进行放缩,得到关于 n 的二 元不等式,从而得到的两个取值可能,再对每一个取值进行具体的分析.

例 7. (2010 年浙江大学改编)设集合 M ? ?x | f ( x) ? x? , N ? ?x | f ( f ( x)) ? x? . (1)求证: M ? N ; (2)若 f ( x) 是一个在 R 上单调递增函数,是否有 M ? N ?若有,请证明. (3)给出反例, M ? N . 解: (1)若 M ? ? ,显然 M ? N 成立;若 M ? ? ,任取 x0 ? M ,即有 f ( x0 ) ? x0 , 则 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ,即 x0 ? N ,故 M ? N . (2)假设 M ? N 成立,则需要证明 N ? M ,下面证明 N ? M . 若 N ? ? ,显然 N ? M 成立;若 N ? ? ,任取 x0 ? N ,即有 f ( f ( x0 )) ? x0 , 下面证明 f ( x0 ) ? x0 . 若 f ( x0 ) ? x0 ,不妨设 f ( x0 )>x0 ,由于 f ( x) 是一个在 R 上单调递增函数,所以
f ( f (x > f (x ) x 0 )) 0 > 0,这与 f ( f ( x0 )) ? x0 矛盾,同理, f ( x0 )<x0 也与 f ( f ( x0 )) ? x0 矛盾.

所以 f ( x0 ) ? x0 ,即 x0 ? M .故 N ? M . 结合(1) ,由集合相等的概念可知 M ? N . (3)根据(2)中增函数性质,考察取减函数:取 f ( x) ? ? x 即可. 归纳与小结:此题的证明思路是从集合的包含、集合相等的概念出发进行证明,对概 念的深入理解和灵活运用是自主招生考试的特点,应引起同学们的注意,另外此题第二问
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的证明过程中用到了反证法,反证法在北约试题中几乎是每年必考的内容.

二、充要条件 例 8. (2009 年华南理工) b>0 是函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 在 [0, ??) 单调的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b? b2 b ? 解:函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ? ? x ? ? ? c ? 在 [0, ??) 单调,知 ? 剠0,? b 2 4 2 ? ?

0 .即 b

的 取 值 范 围 是 N ? ?b | b …0? . 记 M ? ?b | b>0? , 从 而 有 M ? N ,? b>0 是 函 数
f ( x) ? x2 ? bx ? c 在 [0, ??) 单调的充分不必要条件.

归纳与小结:在高考和自主招生的考试中对充要条件的考查主要体现在两个方面:一 是判断指定的条件与结论之间的关系,主要分为四种,即充分不必要、必要不充分、充要、 既不充分也不必要;二是探求某结论成立时的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条 件.

例 9. (2009 年清华大学)求证:一个数列 a1 , a2 , a3 ???, a2n 中各数相等的充分必要条件 是 p :其中任意 2 n 个元素中 n 个元素之和等于另外 n 个元素之和. 证明:一个数列 a1 , a2 , a3 ???, a2n ,条件 p :其中任意 2 n 个元素中 n 个元素之和等于另 外 n 个元素之和,条件 q:各数均相等. 必要性 (q ? p) 若满足 q ,则数列 a1 , a2 , a3 ? ??, a2n 中各数均相等,所以任意从中取出 2 n 个元素,不论 如何排列,其中 n 个元素之和等于另外 n 个元素之和. 充分性 ( p ? q) 若满足 p ,则假设此 2 n 个元素之中,至少有一个与其他元素不同,我们将此 2 n 个元
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素重新按从小到大的顺序排列,记 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bi ? bi ?1 ? ? ? b2n , (i ? 1,2,?,2n ) ,其 中小于号“<”至少有一个. 分别求和, B1 ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn , B2 ? bn?1 ? bn?2 ? bn?3 ? ??? ? b2 n ,则
B2 ? B1 ? (bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? b2n ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? b2n ? b1 .

所以不论小于号“<”在什么地方,都会有 b2 n>b1 ,即 b2n ? b1>0 . 所以 B2 ? B1 …b2n ? b1>0 与条件 p 矛盾. 综上, 数列 a1 , a2 , a3 ???, a2n 中各数相等的充分必要条件是满足条件 p , 即其中任意 2 n 个 元素中 n 个元素之和等于另外 n 个元素之和. 归纳与小结:对于充要条件的证明,应分成充要性和必要性两部分分别进行证明.

三、命题 例 10. (2009 年浙江大学)现有如下两个命题: 命题 p :函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? ax ? a 既有极大值又有极小值; 命题 q :直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与曲线 x2 ? 2ax ? y 2 ? a2 ? 1 ? 0 有公共点. 若命题“ p 或 q ”为真,且命题“ p 且 q ”为假,试求实数 a 的取值范围. 解: 命题 p 为真时, 必有 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a ? 0 有两解, 即 ? ? 4a 2 ? 12a>0 , 即 a<0 或 a>3 . 命题 q 为真时,直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 x2 ? 2ax ? y2 ? a2 ? 1 ? 0 有公共点,从而圆心
(a, 0) 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的距离不大于半径 l,即
3a ? 2 5 ? 1 ,解得 ? 1 ? a ?

7 . 3

由命题“ p 或 q ”为真,且命题“ p 且 q ”为假,知 p 、 q 中必有一真一假.

?a>3或a<0, ? 若 p 真 q 假时,实数 a 的取值范围是 ? 7 解得 a< ? 1或a>3 . ?a< ? 1或a> 3 . ?

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0 ? a ? 3, ? 7 ? 7 解得 0 ? a ? . 若 q 真 p 假时,实数 a 的取值范围是 ? ?1 ? a ? , 3 ? 3 ?

综上,实数 a 的取值范围是 a< ? 1或a>3 或 0 ? a ?

7 . 3

归纳与小结:正确理解命题,理解命题之间的关系(且、或、非) ,正确判断命题的 真假是解决这类问题的关键.

例 11. (2013 年北约)设有 mn 个实数排成一个 m 行 n 列的阵列 {aij }m?n , 使得每一行上 的 n 个数从左到右都按递增的顺序排列,即对任意 1 ? i ? m ,当 j1 ? j2 时,有 aij1 ? aij2 .下 面把每列上的 m 个数从上到下都按递增的顺序重排得到阵列 {a'ij }m?n , 即对任意 1 ? j ? n , 当 i1 ? i2 时,有 a'i1 j ? a'i2 j .问这个新的阵列 {a'ij }m?n 每一行中的 n 个数的大小顺序如何?给 出结论并说明理由. 解:新的阵列 {a 'ij }m?n 中,每一行中的 n 个数中的 n 个数从左到右还是按递增的顺序排 列. 反证如下:若有某一行不是这样,不妨设第 i 行上存在 j ? k 但是 a 'ij ? a 'ik . 由新阵列的排法知, a '1k ? a '2k ?

? a 'ik ? a 'ij ? a 'i ?1, j ?

? a 'mj .

返回到原阵列 {aij }m?n 讨论, i 个数 a '1k , a '2 k , 个数 a 'ij , a 'i ?1, j ,

, a 'ik 都在原阵列的第 k 列上,而 m ? i ? 1

, a 'mj 都在原阵列的第 j 列上,由于这些数共有 m ? 1 个而总共有 m 行,所
, a 'ik 中的某个数与 a 'ij , a 'i ?1, j ,

以一定有 a '1k , a '2 k ,

, a 'mj 中的某个数在原阵列的同一行.

故在原阵列的此行上,第 j 列上的数大于第 k 列上的数,与原阵列的排法矛盾.

10


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