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高一数学期末复习资料


复习指南 1. 注重基础和通性通法 在平时的学习中,应立足教材,学好用好教材,深入地钻研教材,挖掘教材的潜力, 注意避免眼高手低,偏重难题,搞题海战术,轻视基础知识和基本方法的不良倾向,当然 注重基础和通性通法的同时,应注重一题多解的探索,经常利用变式训练和变式引申来提 高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上,因为听懂了不一

定会,会了不一定对,对 了不一定美。即数学学习的五种境界:听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫。 另外我们的学生的解题的素养不够,比如仅仅一点“规范答题”问题,我们老师也强 调很多遍,但作为学生的你们又有几人能够听进去! 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” : 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题, 提高数学的兴趣, 增强学好数学的信心, 达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的,而只能由学 生依据自身已有的知识、经验,主动地加以建构。学习是一个创造的过程,一个批判、选 择、和存疑的过程,一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学,老师强行的逼迫是不 容易的或者说是作用不大,俗话说“强扭的瓜不甜”嘛!数学学习不但要对概念、结论和 技能进行记忆,积累和模仿,而且还要动手实践,自主探索,并且在获得知识的基础上进 行反思和修正。 (这也就是我们经常将让大家一定要好好预习,养成自学的好习惯。 )记得 有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义:科学就是以怀疑和接纳新知识作为进 步的标准的一门学问,仔细想来确实很有道理! 所以我们在平时学习中要注意反思, 只有这样才能使内容得到巩固, 知识的得到拓展, 能力得到提高,思维得到优化,创新能力得到真正的发展,希望大能够让数学反思成为我 们的自然的习惯! 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识,而且事半功倍,可以省好多的时间。而 有些同学则认为上课时听不到什么,索性就不听,抓紧课堂上的每一点时间做题,多做几 道题心里就踏实。 这种认识是不科学的, 想象如果上课没有用的话, 国家还开办学校干嘛? 只要印刷课本就足够了,学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的,听听老师对问题的分析和解题技巧,老师是如何 想到的,与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西,更重要的是跟着老师的 思路,注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记,因为整理笔记实际上是 一种知识的整合和再创造!回忆课堂上老师是怎样讲的,自己在整理时有比较好的想法, 就记下来,抓住自己思维的火花,因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。
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在这里我再一次强调听课要做到“五得” ? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上 6. 注重思想方法的学习 学习数学重再学习数学思想方法,它是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴 含于数学知识发生、发展和应用的过程中,也是历年来高考数学命题的特点之一。不少学 者认为: “传授知识”是数学的一种境界,加上“能力培养”是稍高的境界,再加上“方法渗 透”是较高的境界,而再加上“提高修养(指数学文化和非智力引力的介入) ”则是最高 境界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法,它是数学的精髓,只有运用数学思想方 法,才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力,才能体现数学的学科特 点,才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会,在工作岗位上我们的这种数学素养就 会内化为自身的较深的修养,从而使得自己的气质得以升华,它对于我们今后的做人和处 事有很大的指导意义,再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内 表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同 一集合。

?B 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?
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?A 或 B? 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例: 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记
作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B (读 作‘A 交 B’ ) ,即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B} . 韦 恩 图 示 性 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’ ) ,即 A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}). 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S

A

B

A

B

A

图1

图2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 .
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4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 2 2 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| 2 2 x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意: 1. 定义域: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标 的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种
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?

1) 平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ?B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集, 值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方) ; ④ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)
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(C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的 单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, ○ 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的 图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函 数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 (2)待定系数法 (3)换元法(4)消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ① 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ② 利用图象求函数的最大(小)值 ③ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x ?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1
_

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_
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3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?
?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R) (3) y ? x ? 1 ? 2x

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算
2

1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N .
n

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

当 n 是奇数时,n a n ? a , 当 n 是偶数时,n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,
a
? m n

m n

?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) ;
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(2) (a ) ? a
r s

rs

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质
r r s

(a ? 0, r , s ? R) .

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定 函数图象都过定 点(0,1) 点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a,b]上,f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2) 若 x ? 0, 则 f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫
x

做以 .a 为底 ..N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真 数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ ? 指数式与对数式的互化

loga N

2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○

幂值

真数
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ab = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○

M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M (n ? R) . ○
2 log a ○ 注意:换底公式

loga b ?

logc b (a ? 0, 且 a ? 1 ;c ? 0 , 且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称
5

其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

? 1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,

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其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1) 所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义并且图象都过点 (1, 1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时, 幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一 象限内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

(

)

2.计算: ① log3 2 ?
log27 64
1 3

;② 2 4? log 3 =
2

; 253 =

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ?

1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
a

1? x

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点

? 函数 y ? f ( x) 有零点.
3、函数零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x)
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的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象 与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象 与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴 无交点,二次函数无零点. 高一新课标人教版必修 4 公式总结 基本三角函数 Ⅰ
2

?

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ
? ?Ⅲ

? ?Ⅳ

? 2 ? ? Ⅰ、Ⅲ 2 ? ? Ⅰ、Ⅲ 2 ? ? Ⅱ、Ⅳ 2 ? ? Ⅱ、Ⅳ 2

Ⅱ ? 终边落在 x 轴上的角的集合:

?? ? ? ??,? ? z? ? 终边落在 y 轴上的角的集合:

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? , ? ? z ? ? 终边落在坐标轴上的角的集合: ?? ? ? ? , ? ? z ? 2 2 ? ? ? ?
l ? ? r

3 60度 ? 2? 弧度 1? ?

?

?
1 80 .

S ?

1 1 l r ? ? r2 2 2

弧度 1 80

1 弧度 ?

?



? 基本三角函数符号记 忆: “一全,二正弦,三切,四 余弦” 或者“一全正,二正弦,三两 切,四余弦”

1 80? ? ? 弧度

tan? cot? ? 1
?倒数关系: Sin?Csc? ? 1

正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

Cos?Sec? ? 1

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tan2 ? ? 1 ? Sec2?
平方关系: Sin2? ? Cos 2? ? 1

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

1 ? Cot 2? ? Csc 2? 乘积关系: Sin? ? tan ?Cos ? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin?? ? 2k? ? ? Sin? , k ? z Cos?? ? 2k? ? ? Cos? , k ? z t an?? ? 2k? ? ? t an? , k ? z

?

角?与角 ? ?关于x轴对称

Cos?? ? ? ? Cos?

Sin?? ? ? ? ? Sin? t an?? ? ? ? ? t an?
Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? ? t an? Sin?? ? ? ? ? Sin?

?

角? ? ?与角?关于y轴对称

?

角? ? ?与角?关于原点对称

Cos?? ? ? ? ? ?Cos? t an?? ? ? ? ? t an?

Sin?? ? ? ? ? ? Sin?

?角

?
2

? ?与角 ?关于 y ? x对称

?? ? Sin? ? ? ? ? Cos? ?2 ? ? ? ? Cos? ? ? ? ? Sin? ?2 ? ?? ? t an? ? ? ? ? cot? ?2 ?

? ? Sin ?? ? ? ? Cos? Cos Sin? ? ? 2 tan ? ? Cot? ? ? ? Sec ?Csc ?? ? Cos? ? ? ? ? ? Sin? 2 ? ? ?? ? t an? ? ? ? ? ? cot? ?2 ?



上述的诱导公式记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 周期问题
y ? AS in??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? AS in??x ? ? ? y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0, T ? 2?

?

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? AS in??x ? ? ? ? b y ? ACo s??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

?

第 12 页 共 17 页

y ? A t an??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A t an??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? ? ? T? ?
T? T?

? ? ? T? ?

Ⅴ 性 质

三角函数的性质

y ? Sin x
R

y ? Cos x
R

定义域 值 域

?? 1,1?
2?
奇函数

?? 1,1?
2?
偶函数

周期性 奇偶性 单调性

? ?? ? ?2k? ? ? ,2k? ?, k ? z, 增函数 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 增函数 ? ? ?2k? ,2k? ? ? ?, k ? z, 减函数 ? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? z, 减函数 ? ?

对称中心

?k? ,0?, k ? z
x ? k? ?

? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?
x ? k? , k ? z
5 4
5

对称轴

?
2

,k ? z



3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6





y ? tan x

y ? cot x

第 13 页 共 17 页

定义域

? ? ? ? x x ? ?? ? , ? ? z ? 2 ? ?
R

?x x ? ??,? ? z?
R





周期性 奇偶性 单调性

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z, 增函数 2 2? ?

?k? , k? ? ? ?, k ? z, 增函数
? ? ? ? k? ? ,0 ?, k ? z 2 ? ?

对称中心 对称轴

?k? ,0?, k ? z

10 8



6

图 像
-15 -10 -5

y
4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

-4

-6

-8

-10

?

怎样由y ? Sinx变化为y ? ASin??x ? ? ? ? k
振幅变化: y ? Sinx



y ? ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y ? ASin?x
上下平移变化

y ? ASin(?x ? ? )

y ? ASin(?x ? ? ) ? k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量

a, a ? 0 , b, 如果有

?

?

一个实数 ?, 使得b ? ? a, a ? 0 , 则b与a是共线向量;反之如果 b与a是共线向量 那么又且只有一个实数 ?, 使得b ? ? a.
Ⅶ 向量的一个定理的类似推广 向量共线定理:
b ? ?a

?

?

?a ? 0?

? 推广
第 14 页 共 17 页

平面向量基本定理:

? 其中e1 , e 2 为该平面内的两个 ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 , ? ? 不共线的向量 ? ? ?

? 推广
a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ? ? 3 e3 ,
空间向量基本定理:

? 其中e1 , e 2 , e3为该空间内的三个? ? ? ? 不共面的向量 ? ? ?

Ⅷ一般地,设向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ?且a ? 0, 如果a ∥ b那么x1 y2 ? x2 y1 ? 0 反过来,如果 x1 y2 ? x2 y1 ? 0, 则a ∥ b . Ⅸ一般地,对于两个非零向量 a, b 有 a ? b ? a b Cos? ,其中θ 为两向量的夹角。

Cos? ?

a ?b ab

?

x1 x2 ? y1 y2 x1
2 ?

y1

2

x2

2

?

y2

2

特别的, a ? a ? a ? a Ⅹ

2

2

或者 a ? a ? a

如果 a ? ?x1 , y 1 ? , b ? ?x2 , y 2 ? 且a ? 0 , 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 特别的 , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

若正n边形A1 A2 ? ? ? An的中心为O , 则OA1 ? OA2 ? ? ? ? ? OAn ? 0
三角形中的三角问题 ?
A? B?C ?? , A? B?C ? ? 2 2 , A? B ? C ? 2 2 2
? A? B? ?C ? Sin? ? ? Cos? ? ? 2 ? ?2?

Sin? A ? B ? ? Sin?C ?

Cos? A ? B ? ? ?Cos?C?

? A? B? ?C ? Cos? ? ? Sin? ? ? 2 ? ?2?

? 正弦定理:

a b c a?b?c ? ? ? 2R ? SinA SinB SinC SinA ? SinB ? SinC

余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bcCosA , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2acCosB c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abCosC

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CosA ?
变形:

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 , CosB ? 2bc 2ac 2 2 2 a ?b ?c CosC ? 2ab

? 3.

tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.

?????????????????????????????????????????????? 补充 1.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

2.

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

?

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决 b 定, tan ? ? ). a
3. 三倍角公式 : sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? ? 4sin ? sin(
3

?

? ? ) sin( ? ? ) . 3 3

?

cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3
1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 2 2 2

4.三角形面积定理:(1) S ?

边上的高). (2) S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2
在△ABC 中,有

5.三角形内角和定理

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?

C ? A? B ? ? 2 2 2

第 16 页 共 17 页

? 2C ? 2? ? 2( A ? B) .
6. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ?
k? ?

?
2

??

?

对称中心 (k ? Z ) ;

为(

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函 数、余弦函数的有界性了吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1” 的种种代换有着广泛的应用. 3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出 现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )

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