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(人教版)直线与方程预习提纲--人教版高中数学必修2教案全部)


直线与方程教案
例 1:已知直线 l1 的倾斜角α 1=300,直线 l2⊥l1,求 l1、l2 的斜率。

例 2:一条直线经过点 P1(-2,3),倾斜角 ? =45°,求这条直线方程,并画出图形.

例 3:三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3) 、C(0,2) ,求这个三角形三边所在直线的方 程。

/>例 4:已知直线 m 的倾斜角θ 的余弦值等于

4 ,在 y 轴上的截距为-2,求直线方程。 5

例 5:求过点 P(-5,-4) ,且与 y 轴夹角为

π 的直线方程。 3

例 6:一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形面积为 1,求这直线的方

程。

例 7:求通过点 P(2,3) ,并在两坐标轴上截距相等的直线方程。

例 8:求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长 m 的直线方程。

例 9:已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6,且过点(4,4) ,求其直线方程。

4 例 10:已知直线经过点 A(6,-4),斜率为- ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

例 11:把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截

距,并画图.

例 12:直线 l 过 P(3,2)且与 l′:x+3y-9 = 0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形, 求直线 l 的方程。

例 13:已知点 P(6,4)和直线 l1:y = 4x,求过 P 点的直线 l,使它与直线 l1 以及 x 轴在第 一象限内围成的三角形的面积最小。

例 14:若一直线 l 被直线 l1:4x+y+6 = 0 和 l2:3x-5y-6 = 0 截得的线段的中点恰好在坐 标原点,求这条直线方程。

例 15:已知直线方程 l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,证明 l1∥l2

例 16:求过点 A(1,-4)且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线的方程.

例 17:求与直线 l1:Ax+By+C = 0 平行的直线方程。

例 18:求和直线 2x+6y-11=0 平行,且与坐标轴围成的三角形面积为 6 的直线方程。

例 19:△ABC 中,A(1,1),B(3,5),C(5,-1),直线 l∥AC,且 l 平分△ABC 的面积,求 l 的 方程。

例 20:求过点 A(2,1),且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程.

例 21:已知三角形两顶点是 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2) ,求第三个顶点 C 的坐标。

例 22:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:

l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0, l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0

例 23:已知两条直线 l1:x+my+6=0,l2: (m-2)x+3y+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2(1) 相交(2)平行(3)重合

例 24:已知两条直线 l1:x+m y+6=0,l2: (m-2)x+3my+2m=0,问当 m 为何值时, l1 与 l2 (1)平行(2)重合(3)相交

2

例 25:求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1) 2 x ? y ? 10 ? 0; (2)3x ? 2.

例 26:求平行线 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 和 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 的距离.

例 27:已知 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求 l1 与 l2 间的距离。

例 28:求与直线 3x-7y+5 = 0 的距离为 2 的直线方程。

例 29:求两直线 l1:x+y-2 = 0,l2:7x-y+4 = 0 所成角的平分线方程。

例 30:求过点 P(1,2)且与两点 A(2,3) ,B(4,-5)距离相等的直线 l 的方程。

例 31:求过点 P(1,1)且被两平行直线 3x-4y-13 = 0 与 3x-4y+7 = 0 截得线段的长为 4 2 的直线方程。

例 32:求经过两已知直线 l1:x+3y+5 = 0 和 l2:x-2y+7 = 0 的交点及点 A(2,1)的直线 l 的方程。

例 33:设直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5 = 0,求证:不论 m 为何值时,所 给的直线经过一定点。

4 例 4:已知直线 m 的倾斜角θ 的余弦值等于 5 ,在 y 轴上的截距为-

2,求直线方程。 4 解:∵cosθ = 5 ,0≤θ <π 3 3 ∴k = tanθ =4 ,得 y = 4 x-2 π 例 5:求过点 P(-5,-4) ,且与 y 轴夹角为 3 的直线方程。 x- 3 y+5-4 3 = 0 或 x+ 3 y+5+4 3 = 0 例 6:一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形面 积为 1,求这直线的方程。 x y 解法一:设直线方程为 a +b -2 2 ? ? a +b = 1 = 1,则有:? 1 ? ? 2 ︱ab︱= 1

解得 a = -1,b = -2 或 a = 2,b = 1 ∴直线方程为 x y x y + = 1 或 2 +1 = 1 -1 -2

解法二:令 y-2 = k(x+2) 2 从 y = 0 得 x = -k -2 从 x = 0 得 y = 2k+2 1 2 ∴2 ︱(k +2) (2k+2)︱=1 1 得 k = -2 或 k = -2

例 7:求通过点 P(2,3) ,并在两坐标轴上截距相等的直线方程。 x y 解:设直线方程为 a +a = 1,则有: 2 3 a +a = 1 得a=5

x y ∴直线方程为 5 +5 = 1 3 又:直线过原点 k = 2 3 ∴y = 2 x

例 8:求斜率为 k 且被两坐标轴截得线段为定长 m 的直线方程。 解:设直线方程为 y = kx+b,则有: b2 b +k2 = m2
2

即 b= ±

km 1+k2

∴y = kx±

km 1+k2

例 9: 已知直线 l 在 x 轴上的截距比 y 轴上的截距大 6, 且过点 (4, 4) , 求其直线方程。 解:设直线方程为 y-4 = k(x-4) ,则: 4 (4-k ,0) , (0,4-4k) 4 ∴4-k = 4-4k+6 1 得 k = 2 或 k = -2

1 即 y-4 = 2(x-4)或 y-4 = -2 (x-4)

4 例 10:已知直线经过点 A(6,-4),斜率为-3 ,求直线的点斜式和一般式 方程. 4 解:经过点 A(6,-4)并且斜率等于-3 的直线方程的点斜式是: 4 y+4=-3 (x-6)化成一般式,得 4x+3y-12=0. 例 11: 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式, 求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画图. 解:将原方程移项,得 2y=x+6 1 两边除以 2,得斜截式 y=2 x+3 1 因此,直线 l 的斜率 k=2 ,它在 y 轴上的截距是 3, 在上面的方程中令 y=0, 可得 x=-6, 即直线 l 在 x 轴上的截距是 -6. 由上述内容可得直线 l 与 x 轴、y 轴的交点为 A(-6,0) 、B(0, 3) ,过点 A、B 作直线,就得直线 l.(如右图). 例 12:直线 l 过 P(3,2)且与 l′:x+3y-9 = 0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形,求直线 l 的方程。 解法一:求 k 解法二:求 l 与 x 轴的交点坐标

例 13:已知点 P(6,4)和直线 l1:y = 4x,求过 P 点的直线 l,使它 与直线 l1 以及 x 轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。 解:设 l 与 l1 的交点为 Q(x1,4x1) (x1>1) ,则直线 l 的方程为 y-4 = 4x1-4 (x-6) x1-6 5x1 ∴ l 与 x 轴的交点为 R( ,0) x1-1 10x12 S△= x1-1 10x12-Sx1+S = 0 由△≥0,得:S≥40 当 S=40 时,x1=2,此时: x+y-10 = 0 例 14:若一直线 l 被直线 l1:4x+y+6 = 0 和 l2:3x-5y-6 = 0 截得 的线段的中点恰好在坐标原点,求这条直线方程。 解:设 l:y = kx
?y = kx 由? ?4x+y+6 = 0 ?y = kx 由? ?3x-5y-6 = 0

得x= - 得x=

6 4+k

6 3-5k 1 k = -6

6 6 ∴- + =0 4+k 3-5k 得 l:x+6y = 0

例 15:已知直线方程 l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,证明 l1∥l2 1 7 1 5 证明:把 l1、l2 的方程写成斜截式 l1:y=2 x+4 ,l2:y=2 x+2
? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ,? l1 ∥ l 2

例 16:求过点 A(1,-4)且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线的方程. 2 解:已知直线的斜率是-3 ,因为所求直线与已知直线平行 ,因此它的 2 斜率也是-3 . 根据点斜式,得到所求直线的方程是: y ? 4 ? ? ( x ? 1) 即 2x ? 3 y ? 10 ? 0 . 例 17:求与直线 l1:Ax+By+C = 0 平行的直线方程。 A 解:∵所求直线 l 的斜率 k=-B A ∴所求直线方程为:y = -B x+b 即:Ax+By-Bb = 0 也就是 Ax+By+b′= 0 例 18:求和直线 2x+6y-11=0 平行,且与坐标轴围成的三角形面积 为 6 的直线方程。 解: 设所求直线方程为 2x+6y+b=0 b b 则有: (0,-6 ),(-2 ,0)
2 3

1 b2 ∴S = 2 12 = 6 b2 = 144 b = ±12

即:2x+6y+12=0 或 2x+6y-12=0 例 19:△ABC 中,A(1,1),B(3,5),C(5,-1),直线 l∥AC,且 l 平分 △ABC 的面积,求 l 的方程。 解:∵kAC= -1-1 1 = -2 5-1

1 ∴设 l:y =-2 x+b 且交 AB 于 D ∵l 平分△ABC 的面积 BD 1 ∴BA = 2 BD DA = 1 = 2-1 2 +1

4+ 2 6+ 2 ∴D 点坐标:x = ,y = 2+ 2 2+ 2 6+ 2 1 4+ 2 则: = -2 +b 2+ 2 2+ 2 得 b = 13-5 2 2

∴l:x+2y-13+5 2 = 0 例 20:求过点 A(2,1),且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程. 解 :直线 2 x ? y ? 10 ? 0 的斜率是-2, 因为直线 l 与已知直线垂直 , 所以它 的斜率为: k ? ?
1 1 ? ?2 2

根据点斜式,得到 l 的方程: y ? 1 ? ( x ? 2), 即 x ? 2 y ? 0 . 解法二: 设所求直线方程为 x-2y+b = 0 则:2-2?1+b = 0 ∴l: x ? 2 y ? 0 例 21:已知三角形两顶点是 A(-10,2),B(6,4),垂心是 H(5,2) ,求 第三个顶点 C 的坐标。 解:∵kBH = 2 1 ∴kAC = -2 得b = 0

1 2

1 ∴lAC:y-2 = -2 (x+10) 又 BC∥y 轴 1 解法二:∵kAB = 8 ∴C(6,-6) ∴kCH = -8 又 H(5,2)

∴lCH:y-2 = -8(x-5) 又 BC∥y 轴 ∴C(6,-6)

例 22:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0, l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0

解:解方程组 ?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? 2 得? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2

所以, l1 与 l2 的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为 y ? kx ,把点(2,2)的坐标代入以上方程, 得 k ? 1 ,所以所求直线方程为 y ? x.

例 23:已知两条直线 l1:x+my+6=0,l2: (m-2)x+3y+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2(1)相交(2)平行(3)重合 A1 B1 1 m 解: 当A = B 时, = 3 ,解得 m = -1 或 m = 3 m-2 2 2 A1 C1 1 6 当A = C 时, = 2m ,解得 m = 3 m-2 2 2 ∴(1)当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交 (2)当 m =-1 时,l1∥l2 (3)当 m = 3 时,l1 与 l2 重合。 例 24:已知两条直线 l1:x+m 2y+6=0,l2: (m-2)x+3my+2m=0, 问当 m 为何值时,

l1 与 l2 (1)平行(2)重合(3)相交
解: 当 m = 0 时,l1:x+6 = 0,l2: x = 0,此时 l1∥l2 m-2 3m 当 m≠0 时, 1 = m2 得 m = 3 或 m = -1 m-2 2m = 1 6 得m=3 ∴(1)当 m = 0 或 m = -1 时,l1∥l2 (2)当 m = 3 时,l1 与 l2 重合 (3)当 m≠0,m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交。 例 25:求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1) 2 x ? y ? 10 ? 0; (2)3x ? 2.

解: (1)根据点到直线的距离公式得 d ?

2 ? (?1) ? 2 ? 10 2 2 ? 12

?

10 5

? 2 5.

(2)因为直线 3 x ? 2 平行于 y 轴,所以 d ?

2 5 ? (?1) ? . 3 3

例 26:求平行线 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 和 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 的距离. 解:在直线 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 上任取一点,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线
2 x ? 7 y ? 8 ? 0 的距离就是两平行线间的距离.因此:

d?

2?3? 7?0 ? 8 2 ? (?7)
2 2

?

14 53

?

14 53 . 53

例 27:已知 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求 l1 与 l2 间 的距离。 C1 略解: (0,- B )∈l1 C1 d =︱A?0+B?(- B )+C 2︱/ A2+B2 =︱C 2-C 1︱/ A2+B2 例 28:求与直线 3x-7y+5 = 0 的距离为 2 的直线方程。 解:设 P(x,y)是所求直线上一点,则: ︱3x-7y+5︱ =2 9+49 ︱3x-7y+5︱= 2 58 ∴ 3x-7y+5±2 58 = 0 例 29:求两直线 l1:x+y-2 = 0,l2:7x-y+4 = 0 所成角的平分线方 程。

解一:设 P(x,y)是角平分线上任意一点,则: ︱x+y-2︱ ︱7x-y+4︱ = 2 5 2 +4) 即:x-3y+7 = 0(舍)或 6x+2y-3 = 0 解二:∵k1= -1,k2= 7 ∴ k+1 7 -k = 1-k 1+7k 1 得 k = 3 (舍)或 k = -3 得 5(x + y-2)=±( 7x- y

例 30:求过点 P(1,2)且与两点 A(2,3) ,B(4,-5)距离相等 的直线 l 的方程。 解:∵l 与 x 轴不垂直 ∴可设 l 的方程为:y-2 = k (x-1) 即:kx-y+2-k = 0

︱2k-3+2-k︱ ︱4k+5+2-k︱ 得: = 2 k +1 k 2+1 3 k = -2 或 k = -4 ∴所求直线方程为:4x+y-6 = 0 或 3x+2y-7 = 0 例 31:求过点 P(1,1)且被两平行直线 3x-4y-13 = 0 与 3x-4y+ 7 = 0 截得线段的长为 4 2 的直线方程。 ︱7-(-13)︱ 解:∵两平行线间的距离为: =4 3 2+4 2 ∴所求直线与平行线的夹角为 45 0,设其斜率为 k,则:

︱ 3 ︱= 1 1+4 k

3 k-4

1 解得 k = -7 或 k = 7

1 所求直线方程为:y-1 = 7(x-1) 或 y-1 = -7 (x-1) 即:7x-y-6 = 0 或 x+7y-8 = 0 例 32:求经过两已知直线 l1:x+3y+5 = 0 和 l2:x-2y+7 = 0 的交点 及点 A(2,1)的直线 l 的方程。 略解:x+3y+5+λ (x-2y+7) = 0 10 将 A(2,1)代入得:λ =- 7 ∴l:3x-41y+35 = 0 例 33:设直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5 = 0,求证: 不论 m 为何值时,所给的直线经过一定点。 略证:方程化为 x-2y+5+m(2x+3y-18)= 0
?x-2y+5 = 0 ∴ ? ?2x+3y-18 = 0

得(3,4)


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